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1. 观察下列选项中的各图及相应推理，其中正确的是（
B
）答案
1.B
解析
【分析】
解题时需结合圆的相关性质逐一判断选项：首先明确弧、弦、圆心角的相等关系仅在同圆或等圆中成立；其次掌握垂径定理的适用条件，以及整个圆周对应的圆心角为$360°$，再对四个选项依次推导验证即可得出正确结论。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：弧、弦、圆心角的相等关系需在同圆或等圆中成立，图中为同心圆，半径不相等，虽然$∠ AOB=∠ A'OB'$，但$\overset{\frown}{AB} ≠ \overset{\frown}{A'B'}$，因此A错误。
2. 选项B：在同圆$\odot O$中，已知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，两边同时加公共弧$\overset{\frown}{AC}$，可得$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，根据同圆中等弧对等弦，可推出$AB=CD$，因此B正确。
3. 选项C：整圆圆心角为$360°$，$\overset{\frown}{AB}$占$\odot O$的$\frac{1}{9}$，则$∠ AOB=360° × \frac{1}{9}=40° ≠ 20°$，因此C错误。
4. 选项D：垂径定理要求“垂直于弦的直径”才能平分弦所对的弧，图中MN不是$\odot O$的直径，无法推出$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{ME}$，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
弧弦圆心角关系、垂径定理、圆心角计算
【点评】
本题属于圆的基础性质考查题，易错点是容易忽略弧、弦、圆心角相等关系的适用前提，以及垂径定理中“直径”的限制条件，解题时需注意牢记定理的完整内容。
【难度系数】
0.7
解题时需结合圆的相关性质逐一判断选项：首先明确弧、弦、圆心角的相等关系仅在同圆或等圆中成立；其次掌握垂径定理的适用条件，以及整个圆周对应的圆心角为$360°$，再对四个选项依次推导验证即可得出正确结论。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：弧、弦、圆心角的相等关系需在同圆或等圆中成立，图中为同心圆，半径不相等，虽然$∠ AOB=∠ A'OB'$，但$\overset{\frown}{AB} ≠ \overset{\frown}{A'B'}$，因此A错误。
2. 选项B：在同圆$\odot O$中，已知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，两边同时加公共弧$\overset{\frown}{AC}$，可得$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，根据同圆中等弧对等弦，可推出$AB=CD$，因此B正确。
3. 选项C：整圆圆心角为$360°$，$\overset{\frown}{AB}$占$\odot O$的$\frac{1}{9}$，则$∠ AOB=360° × \frac{1}{9}=40° ≠ 20°$，因此C错误。
4. 选项D：垂径定理要求“垂直于弦的直径”才能平分弦所对的弧，图中MN不是$\odot O$的直径，无法推出$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{ME}$，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
弧弦圆心角关系、垂径定理、圆心角计算
【点评】
本题属于圆的基础性质考查题，易错点是容易忽略弧、弦、圆心角相等关系的适用前提，以及垂径定理中“直径”的限制条件，解题时需注意牢记定理的完整内容。
【难度系数】
0.7
2.如图29－2－18，已知AB，CD是$\odot O$的两条直径，且$∠ AOC=50°$，过点A作$AE// CD$交$\odot O$于点E，则$\overset{\frown}{AE}$的度数为（
A.$65°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$80°$
D
）A.$65°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$80°$
答案
2.D 点拨:连接 OE. $\because AE// CD,\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DE}$. 又 $\because ∠ AOC = 50°,\therefore ∠ EOD= 50°$,$\therefore ∠ AOE=80°$.
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AE}$的度数，首先回忆圆的性质：弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此问题可转化为求$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角$∠ AOE$的大小。我们可以通过连接辅助线$OE$构造圆心角，结合已知的平行线条件和同圆半径相等的性质，推导角的数量关系，最终求出$∠ AOE$的度数即可得到弧的度数。
【解析】
解：连接$OE$
$\because AE// CD$
$\therefore ∠ OAE=∠ AOC=50°$（两直线平行，内错角相等）
又$\because OA$、$OE$均为$\odot O$的半径
$\therefore OA=OE$，即$△ OAE$为等腰三角形
$\therefore ∠ OEA=∠ OAE=50°$
在$△ OAE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AOE=180°-∠ OAE-∠ OEA=180°-50°-50°=80°$
$\because$弧的度数等于它所对圆心角的度数
$\therefore \overset{\frown}{AE}$的度数为$80°$
【答案】
D
【知识点】
弧与圆心角的关系、平行线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆基础性质的综合应用题，解题核心是将求弧度数的问题转化为求对应圆心角的问题，通过连接半径构造等腰三角形即可结合已知条件求解，属于圆章节的常规基础考题。
【难度系数】
0.75
要计算$\overset{\frown}{AE}$的度数，首先回忆圆的性质：弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此问题可转化为求$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角$∠ AOE$的大小。我们可以通过连接辅助线$OE$构造圆心角，结合已知的平行线条件和同圆半径相等的性质，推导角的数量关系，最终求出$∠ AOE$的度数即可得到弧的度数。
【解析】
解：连接$OE$
$\because AE// CD$
$\therefore ∠ OAE=∠ AOC=50°$（两直线平行，内错角相等）
又$\because OA$、$OE$均为$\odot O$的半径
$\therefore OA=OE$，即$△ OAE$为等腰三角形
$\therefore ∠ OEA=∠ OAE=50°$
在$△ OAE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AOE=180°-∠ OAE-∠ OEA=180°-50°-50°=80°$
$\because$弧的度数等于它所对圆心角的度数
$\therefore \overset{\frown}{AE}$的度数为$80°$
【答案】
D
【知识点】
弧与圆心角的关系、平行线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆基础性质的综合应用题，解题核心是将求弧度数的问题转化为求对应圆心角的问题，通过连接半径构造等腰三角形即可结合已知条件求解，属于圆章节的常规基础考题。
【难度系数】
0.75
3.在$\odot O$中，弦AB与半径OC互相垂直平分，则弦AB所对的圆心角为
120°
。答案
3.120°
解析
【分析】
首先设弦AB与半径OC的交点为M，根据“AB与半径OC互相垂直平分”的条件，结合圆的半径相等的性质，可得到直角△OAM中直角边OM与斜边OA的倍半关系，再利用直角三角形的边角关系求出∠AOM的度数，同理求出∠BOM的度数，二者相加即可得到弦AB所对的圆心角的度数。
【解析】
设弦AB与半径OC交于点M。
∵ 弦AB与半径OC互相垂直平分，
∴ OM⊥AB，$OM=\frac{1}{2}OC$，且AM=BM。
∵ OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴ OA=OC，
∴ $OM=\frac{1}{2}OA$。
在$Rt△ OAM$中，$∠ OMA=90°$，$OM=\frac{1}{2}OA$，
∴ $∠ OAM=30°$，
∴ $∠ AOM=90°-30°=60°$。
同理可得$∠ BOM=60°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOM+∠ BOM=60°+60°=120°$，即弦AB所对的圆心角为$120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
垂径定理，直角三角形性质，圆心角计算
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题，核心是结合垂直平分的条件和圆半径相等的性质，构造特殊直角三角形求解角度，熟练掌握圆的基本性质和直角三角形的边角关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先设弦AB与半径OC的交点为M，根据“AB与半径OC互相垂直平分”的条件，结合圆的半径相等的性质，可得到直角△OAM中直角边OM与斜边OA的倍半关系，再利用直角三角形的边角关系求出∠AOM的度数，同理求出∠BOM的度数，二者相加即可得到弦AB所对的圆心角的度数。
【解析】
设弦AB与半径OC交于点M。
∵ 弦AB与半径OC互相垂直平分，
∴ OM⊥AB，$OM=\frac{1}{2}OC$，且AM=BM。
∵ OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴ OA=OC，
∴ $OM=\frac{1}{2}OA$。
在$Rt△ OAM$中，$∠ OMA=90°$，$OM=\frac{1}{2}OA$，
∴ $∠ OAM=30°$，
∴ $∠ AOM=90°-30°=60°$。
同理可得$∠ BOM=60°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOM+∠ BOM=60°+60°=120°$，即弦AB所对的圆心角为$120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
垂径定理，直角三角形性质，圆心角计算
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题，核心是结合垂直平分的条件和圆半径相等的性质，构造特殊直角三角形求解角度，熟练掌握圆的基本性质和直角三角形的边角关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.如图29-2-19,在△ABC中,∠A=80°,且⊙O在三边上截得的弦长相等,则∠BOC的度数为
130°
.答案
4.130° 点拨:过 O 作 $OM⊥ AB,ON⊥ AC$,$OP⊥ BC$,垂足分别为 M,N,P. $\because ∠ A=80°,\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 100°$. 又$\because OM=ON=OP,\therefore O$ 是$∠ ABC$和$∠ ACB$ 平分线的交点. $\therefore ∠ BOC = 180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB) = 180°-\frac{1}{2}× 100°=130°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件“⊙O在三边上截得的弦长相等”入手，回忆圆的性质：同圆中相等的弦对应的弦心距相等，因此过O向△ABC三边作垂线，可得三条垂线段长度相等；再根据角平分线的判定定理，可推出O是△ABC的内心，即BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB；最后结合三角形内角和定理，先求出∠ABC+∠ACB的度数，再计算∠BOC的度数即可。
【解析】
过点O作$OM⊥AB$于M，$ON⊥AC$于N，$OP⊥BC$于P。
∵⊙O在三边上截得的弦长相等，同圆中相等的弦所对的弦心距相等，
∴$OM=ON=OP$，
∴点O是△ABC内角平分线的交点，即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。
在△ABC中，∠A=80°，由三角形内角和定理得：
$∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 80° = 100°$，
∴$∠OBC + ∠OCB = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB) = \frac{1}{2}×100° = 50°$，
在△BOC中，再由三角形内角和定理得：
$∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 50° = 130°$。
【答案】
$130°$
【知识点】
同圆弦与弦心距的关系；角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形角平分线、内角和的综合应用题，解题的核心是将“弦长相等”的条件转化为“圆心到三边距离相等”，进而推导出圆心是三角形的内心，考查了知识的迁移与转化能力。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知条件“⊙O在三边上截得的弦长相等”入手，回忆圆的性质：同圆中相等的弦对应的弦心距相等，因此过O向△ABC三边作垂线，可得三条垂线段长度相等；再根据角平分线的判定定理，可推出O是△ABC的内心，即BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB；最后结合三角形内角和定理，先求出∠ABC+∠ACB的度数，再计算∠BOC的度数即可。
【解析】
过点O作$OM⊥AB$于M，$ON⊥AC$于N，$OP⊥BC$于P。
∵⊙O在三边上截得的弦长相等，同圆中相等的弦所对的弦心距相等，
∴$OM=ON=OP$，
∴点O是△ABC内角平分线的交点，即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。
在△ABC中，∠A=80°，由三角形内角和定理得：
$∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 80° = 100°$，
∴$∠OBC + ∠OCB = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB) = \frac{1}{2}×100° = 50°$，
在△BOC中，再由三角形内角和定理得：
$∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 50° = 130°$。
【答案】
$130°$
【知识点】
同圆弦与弦心距的关系；角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形角平分线、内角和的综合应用题，解题的核心是将“弦长相等”的条件转化为“圆心到三边距离相等”，进而推导出圆心是三角形的内心，考查了知识的迁移与转化能力。
【难度系数】
0.65
1. 如图29－2－20①，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，以$BC$为直径的$\odot O$分别交$AB$，$AC$于$D$，$E$.
(1)若$AB=AC$，求证：$△ DOE$是等边三角形；
(2)如图29－2－20②所示，$AB≠AC$，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
(1)若$AB=AC$，求证：$△ DOE$是等边三角形；
(2)如图29－2－20②所示，$AB≠AC$，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
答案
(1)证明:$\because ∠ A=60°,AB=AC$,
$\therefore△ ABC$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ DBO=60°$.
又$\because OB=OD,\therefore△ BOD$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ BOD=60°$.
同理$∠ COE=60°$,
$\therefore ∠ DOE=180°-∠ BOD-∠ COE=180°-60°-60°=60°$.
又$\because OD=OE,\therefore△ DOE$ 是等边三角形.
(2)解:$△ DOE$ 仍然是等边三角形.
理由如下：
$\because BO=DO,\therefore ∠ B=∠ BDO$,
$\therefore ∠ BOD=180°-2∠ B$.
同理$∠ EOC=180°-2∠ C$.
$\therefore ∠ DOE=180°-(∠ BOD+∠ EOC)=180°-[(180°-2∠ B)+(180°-2∠ C)]=180°-[360°-2(∠ B+∠ C)]=2(∠ B+∠ C)-180°=2(180°-∠ A)-180°=2×(180°-60°)-180°=60°$.
又$\because OD=OE$,
$\therefore△ DOE$ 是等边三角形.
$\therefore△ ABC$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ DBO=60°$.
又$\because OB=OD,\therefore△ BOD$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ BOD=60°$.
同理$∠ COE=60°$,
$\therefore ∠ DOE=180°-∠ BOD-∠ COE=180°-60°-60°=60°$.
又$\because OD=OE,\therefore△ DOE$ 是等边三角形.
(2)解:$△ DOE$ 仍然是等边三角形.
理由如下：
$\because BO=DO,\therefore ∠ B=∠ BDO$,
$\therefore ∠ BOD=180°-2∠ B$.
同理$∠ EOC=180°-2∠ C$.
$\therefore ∠ DOE=180°-(∠ BOD+∠ EOC)=180°-[(180°-2∠ B)+(180°-2∠ C)]=180°-[360°-2(∠ B+∠ C)]=2(∠ B+∠ C)-180°=2(180°-∠ A)-180°=2×(180°-60°)-180°=60°$.
又$\because OD=OE$,
$\therefore△ DOE$ 是等边三角形.
解析
【分析】
(1) 要证明△DOE是等边三角形，已知OD、OE均为⊙O的半径，因此OD=OE，只需证明∠DOE=60°即可。首先由∠A=60°且AB=AC，可推出△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°；再结合OB=OD、OC=OE都是半径，可得△BOD、△COE都是等边三角形，从而得到∠BOD=∠COE=60°，最后利用平角为180°算出∠DOE=60°，即可完成证明。
(2) 判断AB≠AC时结论是否成立，同样只需验证∠DOE是否仍为60°。利用等腰三角形两底角相等的性质，将∠BOD、∠COE分别用∠B、∠C表示，再结合三角形内角和定理得到∠B+∠C=180°-∠A=120°，代入计算即可得到∠DOE=60°，因此结论仍然成立。
【解析】
(1) 证明:$\because ∠ A=60°,AB=AC$,
$\therefore△ ABC$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ DBO=60°$.
又$\because OB=OD,\therefore△ BOD$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ BOD=60°$.
同理$∠ COE=60°$,
$\therefore ∠ DOE=180°-∠ BOD-∠ COE=180°-60°-60°=60°$.
又$\because OD=OE,\therefore△ DOE$ 是等边三角形.
(2) 解:$△ DOE$ 仍然是等边三角形.
理由如下：
$\because BO=DO,\therefore ∠ B=∠ BDO$,
$\therefore ∠ BOD=180°-2∠ B$.
同理$∠ EOC=180°-2∠ C$.
$\therefore ∠ DOE=180°-(∠ BOD+∠ EOC)=180°-[(180°-2∠ B)+(180°-2∠ C)]=180°-[360°-2(∠ B+∠ C)]=2(∠ B+∠ C)-180°=2(180°-∠ A)-180°=2×(180°-60°)-180°=60°$.
又$\because OD=OE$,
$\therefore△ DOE$ 是等边三角形.
【答案】
(1) 已证△DOE为等边三角形；
(2) 结论成立，△DOE仍是等边三角形。
【知识点】
等边三角形的判定、三角形内角和定理、圆的基本性质
【点评】
本题结合圆的性质考查等边三角形的判定，解题核心是建立∠DOE与已知角∠A的数量关系，从特殊的AB=AC到一般的AB≠AC的探究过程，体现了特殊到一般的数学思想，能有效锻炼角度转化的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明△DOE是等边三角形，已知OD、OE均为⊙O的半径，因此OD=OE，只需证明∠DOE=60°即可。首先由∠A=60°且AB=AC，可推出△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°；再结合OB=OD、OC=OE都是半径，可得△BOD、△COE都是等边三角形，从而得到∠BOD=∠COE=60°，最后利用平角为180°算出∠DOE=60°，即可完成证明。
(2) 判断AB≠AC时结论是否成立，同样只需验证∠DOE是否仍为60°。利用等腰三角形两底角相等的性质，将∠BOD、∠COE分别用∠B、∠C表示，再结合三角形内角和定理得到∠B+∠C=180°-∠A=120°，代入计算即可得到∠DOE=60°，因此结论仍然成立。
【解析】
(1) 证明:$\because ∠ A=60°,AB=AC$,
$\therefore△ ABC$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ DBO=60°$.
又$\because OB=OD,\therefore△ BOD$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ BOD=60°$.
同理$∠ COE=60°$,
$\therefore ∠ DOE=180°-∠ BOD-∠ COE=180°-60°-60°=60°$.
又$\because OD=OE,\therefore△ DOE$ 是等边三角形.
(2) 解:$△ DOE$ 仍然是等边三角形.
理由如下：
$\because BO=DO,\therefore ∠ B=∠ BDO$,
$\therefore ∠ BOD=180°-2∠ B$.
同理$∠ EOC=180°-2∠ C$.
$\therefore ∠ DOE=180°-(∠ BOD+∠ EOC)=180°-[(180°-2∠ B)+(180°-2∠ C)]=180°-[360°-2(∠ B+∠ C)]=2(∠ B+∠ C)-180°=2(180°-∠ A)-180°=2×(180°-60°)-180°=60°$.
又$\because OD=OE$,
$\therefore△ DOE$ 是等边三角形.
【答案】
(1) 已证△DOE为等边三角形；
(2) 结论成立，△DOE仍是等边三角形。
【知识点】
等边三角形的判定、三角形内角和定理、圆的基本性质
【点评】
本题结合圆的性质考查等边三角形的判定，解题核心是建立∠DOE与已知角∠A的数量关系，从特殊的AB=AC到一般的AB≠AC的探究过程，体现了特殊到一般的数学思想，能有效锻炼角度转化的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
2.如图29－2－21，点A是半圆上一个三等分点（靠近点N这一侧），点B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，点P是直径MN上的一个动点，若$\odot O$的半径为3，求$AP+BP$的最小值。
答案
解:作点 A 关于直线 MN 的对称点 C,连接 CB,交 MN 于点 P,此时 $AP+BP$ 的值最小,等于 BC,连接 OC,OA,OB.
$\because$ 点 A 与点 C 关于直线 MN 对称,点A 是半圆上的一个三等分点，
$\therefore ∠ CON=∠ AON=180°÷3=60°$.
$\because$ 点 B 是$\overset{\frown}{AN}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BN}$,
$\therefore ∠ AOB=∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$.
$\therefore ∠ COB=∠ CON+∠ BON=90°$.
又$\because OB=OC=3$,
$\therefore CB=\sqrt{OB^2+OC^2}=3\sqrt{2}$.
$\therefore AP+BP$ 的最小值为 $3\sqrt{2}$.
$\because$ 点 A 与点 C 关于直线 MN 对称,点A 是半圆上的一个三等分点，
$\therefore ∠ CON=∠ AON=180°÷3=60°$.
$\because$ 点 B 是$\overset{\frown}{AN}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BN}$,
$\therefore ∠ AOB=∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$.
$\therefore ∠ COB=∠ CON+∠ BON=90°$.
又$\because OB=OC=3$,
$\therefore CB=\sqrt{OB^2+OC^2}=3\sqrt{2}$.
$\therefore AP+BP$ 的最小值为 $3\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题属于“将军饮马”类几何最值问题，解题思路如下：1. 对于直线上动点到两定点的距离和最小值问题，优先考虑轴对称转化：作其中一个定点关于直线MN的对称点，根据两点之间线段最短，对称点与另一定点的连线长度就是AP+BP的最小值；2. 结合圆的性质，利用题中三等分点、弧中点的条件求出对应圆心角的度数；3. 构造直角三角形，用勾股定理计算线段长度即可得到结果。
【解析】
作点A关于直线MN的对称点C，连接CB，交MN于点P，此时$AP+BP$的值最小，等于BC的长度，连接OC，OA，OB。
$\because$ 点A与点C关于直线MN对称，点A是半圆上靠近N侧的三等分点，
$\therefore ∠ CON=∠ AON=180°÷3=60°$。
$\because$ 点B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BN}$，
$\therefore ∠ AOB=∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$，
$\therefore ∠ COB=∠ CON+∠ BON=60°+30°=90°$。
又$\because OB=OC=3$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore$ 在$Rt△ COB$中，$CB=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
即$AP+BP$的最小值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
最短路径问题，圆心角与弧的关系，勾股定理
【点评】
本题是轴对称性质与圆的性质结合的经典最值题型，解题核心是通过对称将线段和转化为可求的定长线段，再结合圆心角计算构造直角三角形求解，能有效考查学生对几何最值模型和圆相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6
本题属于“将军饮马”类几何最值问题，解题思路如下：1. 对于直线上动点到两定点的距离和最小值问题，优先考虑轴对称转化：作其中一个定点关于直线MN的对称点，根据两点之间线段最短，对称点与另一定点的连线长度就是AP+BP的最小值；2. 结合圆的性质，利用题中三等分点、弧中点的条件求出对应圆心角的度数；3. 构造直角三角形，用勾股定理计算线段长度即可得到结果。
【解析】
作点A关于直线MN的对称点C，连接CB，交MN于点P，此时$AP+BP$的值最小，等于BC的长度，连接OC，OA，OB。
$\because$ 点A与点C关于直线MN对称，点A是半圆上靠近N侧的三等分点，
$\therefore ∠ CON=∠ AON=180°÷3=60°$。
$\because$ 点B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BN}$，
$\therefore ∠ AOB=∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$，
$\therefore ∠ COB=∠ CON+∠ BON=60°+30°=90°$。
又$\because OB=OC=3$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore$ 在$Rt△ COB$中，$CB=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
即$AP+BP$的最小值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
最短路径问题，圆心角与弧的关系，勾股定理
【点评】
本题是轴对称性质与圆的性质结合的经典最值题型，解题核心是通过对称将线段和转化为可求的定长线段，再结合圆心角计算构造直角三角形求解，能有效考查学生对几何最值模型和圆相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6
