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1.下列命题:①相等的圆心角所对的弦不一定相等;②圆心角不等,所对的弦就不相等;③相等的弦所对的圆心角相等;④两条弧不相等,它们所对的圆心角有可能相等;⑤两条弧不相等,它们所对的弦就不相等.其中真命题有(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
)A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
1.C
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆心角、弧、弦三者相等关系的成立前提：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等，反之对应的结论也成立。缺少“同圆或等圆”这个前提时，相关结论不一定成立。我们可以结合这个前提逐个判断5个命题的真假，最终统计真命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析命题：
1. 命题①：相等的圆心角所对的弦不一定相等。如果两个圆半径不同，即使圆心角相等，弦长也会不同，只有在同圆或等圆中相等圆心角对的弦才相等，因此该说法正确，是真命题。
2. 命题②：圆心角不等，所对的弦就不相等。举反例：半径为2的圆中60°圆心角对的弦长为2，半径为1的圆中180°圆心角对的弦长也为2，圆心角不等但弦相等，因此该说法错误，是假命题。
3. 命题③：相等的弦所对的圆心角相等。缺少同圆或等圆的前提，和命题②的反例对应，弦长相等的情况下圆心角可能不等，因此该说法错误，是假命题。
4. 命题④：两条弧不相等，它们所对的圆心角有可能相等。举反例：半径分别为1和2的两个圆中，90°圆心角对应的弧长分别为$\frac{π}{2}$和$π$，弧长不等但圆心角相等，因此该说法正确，是真命题。
5. 命题⑤：两条弧不相等，它们所对的弦就不相等。举反例：同圆中，100°的劣弧和260°的优弧长度不等，但二者对应的弦是同一条弦，长度相等，因此该说法错误，是假命题。
综上，真命题为①和④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 真假命题判断
【点评】
本题容易出错的点是忽略“同圆或等圆”这个圆心角、弧、弦相等关系的适用前提，直接根据字面表述判断命题真假。解题时要注意相关定理的适用条件，必要时可通过举反例验证命题的真假。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是明确圆心角、弧、弦三者相等关系的成立前提：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等，反之对应的结论也成立。缺少“同圆或等圆”这个前提时，相关结论不一定成立。我们可以结合这个前提逐个判断5个命题的真假，最终统计真命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析命题：
1. 命题①：相等的圆心角所对的弦不一定相等。如果两个圆半径不同，即使圆心角相等，弦长也会不同，只有在同圆或等圆中相等圆心角对的弦才相等，因此该说法正确，是真命题。
2. 命题②：圆心角不等，所对的弦就不相等。举反例：半径为2的圆中60°圆心角对的弦长为2，半径为1的圆中180°圆心角对的弦长也为2，圆心角不等但弦相等，因此该说法错误，是假命题。
3. 命题③：相等的弦所对的圆心角相等。缺少同圆或等圆的前提，和命题②的反例对应，弦长相等的情况下圆心角可能不等，因此该说法错误，是假命题。
4. 命题④：两条弧不相等，它们所对的圆心角有可能相等。举反例：半径分别为1和2的两个圆中，90°圆心角对应的弧长分别为$\frac{π}{2}$和$π$，弧长不等但圆心角相等，因此该说法正确，是真命题。
5. 命题⑤：两条弧不相等，它们所对的弦就不相等。举反例：同圆中，100°的劣弧和260°的优弧长度不等，但二者对应的弦是同一条弦，长度相等，因此该说法错误，是假命题。
综上，真命题为①和④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 真假命题判断
【点评】
本题容易出错的点是忽略“同圆或等圆”这个圆心角、弧、弦相等关系的适用前提，直接根据字面表述判断命题真假。解题时要注意相关定理的适用条件，必要时可通过举反例验证命题的真假。
【难度系数】
0.6
2. 下列选项中的角是圆心角的是（
A
）答案
2.A
解析
【分析】
要判断哪个角是圆心角，首先回忆圆心角的定义，明确判定圆心角的两个核心条件：一是角的顶点必须在圆的圆心位置，二是角的两条边都是圆的半径（两边端点落在圆周上）。接下来用这两个条件逐一排查每个选项即可。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边均与圆相交的角为圆心角。
选项A：角的顶点与圆心O重合，两条边都是圆的半径，符合圆心角的定义；
选项B：角的顶点不在圆心O处，不符合要求；
选项C：角的顶点在圆周上，未与圆心重合，不符合要求；
选项D：角的顶点在圆外，不符合要求。
综上，只有选项A的角是圆心角。
【答案】
A
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点在于对圆心角定义的识记与理解，抓住“顶点在圆心”这一核心特征即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪个角是圆心角，首先回忆圆心角的定义，明确判定圆心角的两个核心条件：一是角的顶点必须在圆的圆心位置，二是角的两条边都是圆的半径（两边端点落在圆周上）。接下来用这两个条件逐一排查每个选项即可。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边均与圆相交的角为圆心角。
选项A：角的顶点与圆心O重合，两条边都是圆的半径，符合圆心角的定义；
选项B：角的顶点不在圆心O处，不符合要求；
选项C：角的顶点在圆周上，未与圆心重合，不符合要求；
选项D：角的顶点在圆外，不符合要求。
综上，只有选项A的角是圆心角。
【答案】
A
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点在于对圆心角定义的识记与理解，抓住“顶点在圆心”这一核心特征即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
3. 如图29－2－12，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$AB=3$，则$AC$的长为（
A.$1$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$3$
D.$4$
C
）A.$1$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$3$
D.$4$
答案
3.C
解析
【分析】
拿到这道题，我们先梳理已知条件：图形是同一个圆$\odot O$，给出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，且弦$AB$长为3，要求弦$AC$的长度。首先回忆圆的基本性质：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦长度相等。本题属于同圆的前提，满足性质的适用条件，因此可以直接通过等弧推出等弦，代入已知数值即可得到结果。
【解析】
根据圆的性质：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等。
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{AC}$所对的弦相等，即$AB=AC$，
又
∵ $AB=3$，
∴ $AC=3$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
同圆中等弧对等弦
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆中弧与弦的对应性质，熟练掌握相关定理即可快速得出答案，无计算难度。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，我们先梳理已知条件：图形是同一个圆$\odot O$，给出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，且弦$AB$长为3，要求弦$AC$的长度。首先回忆圆的基本性质：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦长度相等。本题属于同圆的前提，满足性质的适用条件，因此可以直接通过等弧推出等弦，代入已知数值即可得到结果。
【解析】
根据圆的性质：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等。
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{AC}$所对的弦相等，即$AB=AC$，
又
∵ $AB=3$，
∴ $AC=3$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
同圆中等弧对等弦
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆中弧与弦的对应性质，熟练掌握相关定理即可快速得出答案，无计算难度。
【难度系数】
0.9
4.如图29－2－13，在$\odot O$中，$DE$，$CF$是直径，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB=35°$，则$∠ EOF$的度数是（
A.$50°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$35°$
D
）A.$50°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$35°$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件中的弧相等，想到同圆中等弧对应的圆心角相等，先求出弧CD对应的圆心角∠COD的度数；再观察所求角∠EOF与∠COD的位置关系，由于DE、CF都是圆的直径，两条直径交于圆心，两个角是对顶角，根据对顶角相等即可求出∠EOF的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，
∴ $∠ COD = ∠ AOB = 35°$，
又
∵ DE、CF是$\odot O$的直径，两条直径相交于圆心O，
∴ $∠ EOF$与$∠ COD$是对顶角，根据对顶角相等，
∴ $∠ EOF = ∠ COD = 35°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
弧与圆心角的关系；对顶角的性质
【点评】
本题是基础题，重点考查同圆中弧和对应圆心角的关系以及对顶角的性质，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合已知条件中的弧相等，想到同圆中等弧对应的圆心角相等，先求出弧CD对应的圆心角∠COD的度数；再观察所求角∠EOF与∠COD的位置关系，由于DE、CF都是圆的直径，两条直径交于圆心，两个角是对顶角，根据对顶角相等即可求出∠EOF的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，
∴ $∠ COD = ∠ AOB = 35°$，
又
∵ DE、CF是$\odot O$的直径，两条直径相交于圆心O，
∴ $∠ EOF$与$∠ COD$是对顶角，根据对顶角相等，
∴ $∠ EOF = ∠ COD = 35°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
弧与圆心角的关系；对顶角的性质
【点评】
本题是基础题，重点考查同圆中弧和对应圆心角的关系以及对顶角的性质，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5.如图29－2－14，A,B,C,D都是⊙O上的点，AB为⊙O的直径.若CD＝BD，∠AOC＝108°,则∠AOD的度数是（
A.140°
B.144°
C.146°
D.150°
B
）A.140°
B.144°
C.146°
D.150°
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先利用直径所对的圆心角为平角，先求出∠COB的度数；再根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，得出∠BOD等于∠COB的一半；最后用平角180°减去∠BOD即可得到∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，
∵∠AOC=108°，
∴∠COB=∠AOB-∠AOC=180°-108°=72°，
又
∵CD=BD，在同圆中相等的弦所对的圆心角相等，
∴∠COD=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠COB=$\frac{1}{2}$×72°=36°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=180°-36°=144°。
【答案】
B
【知识点】
同圆中弦与圆心角的关系、平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是掌握同圆中弦和对应圆心角的等量关系，结合平角的性质逐步推导即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用直径所对的圆心角为平角，先求出∠COB的度数；再根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，得出∠BOD等于∠COB的一半；最后用平角180°减去∠BOD即可得到∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，
∵∠AOC=108°，
∴∠COB=∠AOB-∠AOC=180°-108°=72°，
又
∵CD=BD，在同圆中相等的弦所对的圆心角相等，
∴∠COD=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠COB=$\frac{1}{2}$×72°=36°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=180°-36°=144°。
【答案】
B
【知识点】
同圆中弦与圆心角的关系、平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是掌握同圆中弦和对应圆心角的等量关系，结合平角的性质逐步推导即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 如图29－2－15，AB为$\odot O$的直径，D为半圆上的一点，且$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数是$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角度数的2倍，则$∠ BOD=$
60°
。答案
6.60°
解析
【分析】
拿到本题首先梳理已知条件：第一，AB是圆O的直径，可推出直径对应的圆心角∠AOB为平角180°，即∠AOD与∠BOD的和为180°；第二，弧AD对应的圆心角度数是弧BD对应圆心角的2倍，根据“圆心角的度数等于它所对弧的度数”，可得∠AOD=2∠BOD。结合两角的和与倍数关系，用和倍计算即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，即$∠ AOD + ∠ BOD = 180°$，
∵圆心角的度数等于它所对弧的度数，且$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数是$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角度数的2倍，
∴$∠ AOD=2∠ BOD$，
将$∠ AOD=2∠ BOD$代入$∠ AOD + ∠ BOD = 180°$，得：
$2∠ BOD + ∠ BOD = 180°$，
$3∠ BOD=180°$，
解得$∠ BOD=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 平角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握圆心角和对应弧的度数相等的性质，结合直径对应的圆心角为180°的特点建立等量关系计算即可。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先梳理已知条件：第一，AB是圆O的直径，可推出直径对应的圆心角∠AOB为平角180°，即∠AOD与∠BOD的和为180°；第二，弧AD对应的圆心角度数是弧BD对应圆心角的2倍，根据“圆心角的度数等于它所对弧的度数”，可得∠AOD=2∠BOD。结合两角的和与倍数关系，用和倍计算即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，即$∠ AOD + ∠ BOD = 180°$，
∵圆心角的度数等于它所对弧的度数，且$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数是$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角度数的2倍，
∴$∠ AOD=2∠ BOD$，
将$∠ AOD=2∠ BOD$代入$∠ AOD + ∠ BOD = 180°$，得：
$2∠ BOD + ∠ BOD = 180°$，
$3∠ BOD=180°$，
解得$∠ BOD=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 平角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握圆心角和对应弧的度数相等的性质，结合直径对应的圆心角为180°的特点建立等量关系计算即可。
【难度系数】
0.8
7.如图29－2－16，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$∠ BOC=40°$，则$∠ AOE$等于
60°
。答案
7.60°
解析
【分析】
解题时首先回忆圆心角的相关性质：在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等。已知AB是圆的直径，直径对应的圆心角是180°的平角，即∠AOB=180°。结合题目给出的三段等弧条件，先求出这三段弧对应的总圆心角，再用平角180°减去该总圆心角，即可得到∠AOE的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$
∴ 相等的弧所对的圆心角相等，即$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$
已知$∠ BOC=40°$，因此$∠ BOC+∠ COD+∠ DOE=3×40°=120°$
又
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOB=180°$
∴ $∠ AOE=∠ AOB - (∠ BOC+∠ COD+∠ DOE)=180° - 120°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
等弧对等圆心角；平角的定义
【点评】
本题是圆心角性质的基础应用，解题关键是熟练掌握同圆中等弧与等圆心角的对应关系，计算时注意数清楚等弧的数量，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆心角的相关性质：在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等。已知AB是圆的直径，直径对应的圆心角是180°的平角，即∠AOB=180°。结合题目给出的三段等弧条件，先求出这三段弧对应的总圆心角，再用平角180°减去该总圆心角，即可得到∠AOE的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$
∴ 相等的弧所对的圆心角相等，即$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$
已知$∠ BOC=40°$，因此$∠ BOC+∠ COD+∠ DOE=3×40°=120°$
又
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOB=180°$
∴ $∠ AOE=∠ AOB - (∠ BOC+∠ COD+∠ DOE)=180° - 120°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
等弧对等圆心角；平角的定义
【点评】
本题是圆心角性质的基础应用，解题关键是熟练掌握同圆中等弧与等圆心角的对应关系，计算时注意数清楚等弧的数量，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
8.如图29－2－17，AB是$\odot O$的直径，C，D是半圆上两点，且$BC=CD=DA$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，则AD的长为
5
cm.答案
8.5
解析
【分析】
解题时先利用同圆中相等的弦对应相等的圆心角这一性质，结合半圆对应的圆心角为180°，求出弦AD对应的圆心角度数；再结合圆的半径相等，判断△AOD的形状，即可求出AD的长度。具体思考步骤：1.做辅助线连接OC、OD，构造圆心角；2.根据三条弦相等，推出三个对应的圆心角相等，计算得∠AOD=60°；3.结合OA、OD都是半径长度相等，判断△AOD为等边三角形，进而得到AD等于半径长度。
【解析】
解：连接OC、OD。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴半圆AB对应的圆心角$∠ AOB=180°$。
∵$BC=CD=DA$，且在同圆中相等的弦所对的圆心角相等，
∴$∠ BOC=∠ COD=∠ DOA=180°÷3=60°$。
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$，$\odot O$的半径$OA=OD=AB÷2=5\ \mathrm{cm}$，
∴在$△ AOD$中，$OA=OD$，$∠ AOD=60°$，
∴$△ AOD$是等边三角形，
∴$AD=OA=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
1.弦与圆心角的关系
2.等边三角形判定
3.圆的半径与直径
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是通过等弦对等圆心角求出$∠ AOD$的度数，再结合等边三角形的性质得到线段长度，熟练掌握圆的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先利用同圆中相等的弦对应相等的圆心角这一性质，结合半圆对应的圆心角为180°，求出弦AD对应的圆心角度数；再结合圆的半径相等，判断△AOD的形状，即可求出AD的长度。具体思考步骤：1.做辅助线连接OC、OD，构造圆心角；2.根据三条弦相等，推出三个对应的圆心角相等，计算得∠AOD=60°；3.结合OA、OD都是半径长度相等，判断△AOD为等边三角形，进而得到AD等于半径长度。
【解析】
解：连接OC、OD。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴半圆AB对应的圆心角$∠ AOB=180°$。
∵$BC=CD=DA$，且在同圆中相等的弦所对的圆心角相等，
∴$∠ BOC=∠ COD=∠ DOA=180°÷3=60°$。
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$，$\odot O$的半径$OA=OD=AB÷2=5\ \mathrm{cm}$，
∴在$△ AOD$中，$OA=OD$，$∠ AOD=60°$，
∴$△ AOD$是等边三角形，
∴$AD=OA=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
1.弦与圆心角的关系
2.等边三角形判定
3.圆的半径与直径
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是通过等弦对等圆心角求出$∠ AOD$的度数，再结合等边三角形的性质得到线段长度，熟练掌握圆的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
