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1.计算:
(1)$(\dfrac{1}{3})^{-1} × (-2)^{-2} =$;
(2)$(a^{-1}b^{2})^{-3} =$.
(1)$(\dfrac{1}{3})^{-1} × (-2)^{-2} =$;
(2)$(a^{-1}b^{2})^{-3} =$.
答案
解：
(1) 原式$= 3 × \dfrac{1}{(-2)^2}$
$= 3 × \dfrac{1}{4}$
$= \dfrac{3}{4}$
(2) 原式$= (a^{-1})^{-3} · (b^2)^{-3}$
$= a^{(-1)×(-3)} · b^{2×(-3)}$
$= a^3 b^{-6}$
$= \dfrac{a^3}{b^6}$
(1) 原式$= 3 × \dfrac{1}{(-2)^2}$
$= 3 × \dfrac{1}{4}$
$= \dfrac{3}{4}$
(2) 原式$= (a^{-1})^{-3} · (b^2)^{-3}$
$= a^{(-1)×(-3)} · b^{2×(-3)}$
$= a^3 b^{-6}$
$= \dfrac{a^3}{b^6}$
解析
【分析】
解决本题需要熟练运用整数指数幂的相关运算法则：①负整数指数幂：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；②幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$；③积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$。
第(1)题思路：先分别计算两个负整数指数幂的结果，再将两个结果相乘即可。先根据负指数法则计算$(\dfrac{1}{3})^{-1}$和$(-2)^{-2}$，再做乘法运算。
第(2)题思路：先运用积的乘方法则，将括号内的两个因式分别乘$-3$次方，再运用幂的乘方法则计算每个因式的结果，最后将负指数幂转化为正指数幂的形式即可。
【解析】
(1) 先根据负整数指数幂的法则计算：
原式$= 3 × \dfrac{1}{(-2)^2}$
$= 3 × \dfrac{1}{4}$
$= \dfrac{3}{4}$
(2) 先运用积的乘方法则展开，再用幂的乘方法则计算：
原式$= (a^{-1})^{-3} · (b^2)^{-3}$
$= a^{(-1)×(-3)} · b^{2×(-3)}$
$= a^3 b^{-6}$
$= \dfrac{a^3}{b^6}$
【答案】
(1)$\dfrac{3}{4}$；(2)$\dfrac{a^3}{b^6}$
【知识点】
负整数指数幂运算，幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题属于整数指数幂的基础运算题，主要考查对整数指数幂相关运算法则的掌握程度，运算时需注意指数的符号变化，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
解决本题需要熟练运用整数指数幂的相关运算法则：①负整数指数幂：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；②幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$；③积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$。
第(1)题思路：先分别计算两个负整数指数幂的结果，再将两个结果相乘即可。先根据负指数法则计算$(\dfrac{1}{3})^{-1}$和$(-2)^{-2}$，再做乘法运算。
第(2)题思路：先运用积的乘方法则，将括号内的两个因式分别乘$-3$次方，再运用幂的乘方法则计算每个因式的结果，最后将负指数幂转化为正指数幂的形式即可。
【解析】
(1) 先根据负整数指数幂的法则计算：
原式$= 3 × \dfrac{1}{(-2)^2}$
$= 3 × \dfrac{1}{4}$
$= \dfrac{3}{4}$
(2) 先运用积的乘方法则展开，再用幂的乘方法则计算：
原式$= (a^{-1})^{-3} · (b^2)^{-3}$
$= a^{(-1)×(-3)} · b^{2×(-3)}$
$= a^3 b^{-6}$
$= \dfrac{a^3}{b^6}$
【答案】
(1)$\dfrac{3}{4}$；(2)$\dfrac{a^3}{b^6}$
【知识点】
负整数指数幂运算，幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题属于整数指数幂的基础运算题，主要考查对整数指数幂相关运算法则的掌握程度，运算时需注意指数的符号变化，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
2.若$(x-3)^0 - 2(3x - 6)^{-2}$有意义，则x的取值范围是。
答案
解：要使$(x-3)^0 - 2(3x - 6)^{-2}$有意义，需满足零次幂的底数不为0，负整数指数幂的底数不为0，即：
$\begin{cases}x-3 ≠ 0 \\3x-6 ≠ 0\end{cases}$
解得$x≠3$且$x≠2$。
$x≠2$且$x≠3$
$\begin{cases}x-3 ≠ 0 \\3x-6 ≠ 0\end{cases}$
解得$x≠3$且$x≠2$。
$x≠2$且$x≠3$
解析
【分析】
要确定式子有意义的x的取值范围，需先回忆整数指数幂的相关规则：①零指数幂$a^0$有意义的前提是底数$a≠0$，否则无意义；②负整数指数幂$a^{-p}$（$p$为正整数）本质是$\frac{1}{a^p}$，因此要求底数$a≠0$，否则分母为0无意义。我们只需让式子中两个幂的底数都不为0，分别列出不等式求解，再合并取值范围即可。
【解析】
要使$(x-3)^0 - 2(3x - 6)^{-2}$有意义，需同时满足零指数幂和负整数指数幂的底数不为0，据此列不等式组：
$\begin{cases}x-3 ≠ 0 \\3x-6 ≠ 0\end{cases}$
解第一个不等式$x-3≠0$，得$x≠3$；
解第二个不等式$3x-6≠0$，移项得$3x≠6$，系数化为1得$x≠2$；
综合两个不等式的解，可得x的取值范围。
【答案】
$x≠2$且$x≠3$
【知识点】
零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，解一元一次不等式
【点评】
本题属于整数指数幂的基础题型，核心考察各类整数指数幂有意义的前提条件，易错点是容易遗漏其中一个底数不为0的限制，解题时要逐一核查每个幂的底数要求，再取所有限制条件的公共范围即可。
【难度系数】
0.7
要确定式子有意义的x的取值范围，需先回忆整数指数幂的相关规则：①零指数幂$a^0$有意义的前提是底数$a≠0$，否则无意义；②负整数指数幂$a^{-p}$（$p$为正整数）本质是$\frac{1}{a^p}$，因此要求底数$a≠0$，否则分母为0无意义。我们只需让式子中两个幂的底数都不为0，分别列出不等式求解，再合并取值范围即可。
【解析】
要使$(x-3)^0 - 2(3x - 6)^{-2}$有意义，需同时满足零指数幂和负整数指数幂的底数不为0，据此列不等式组：
$\begin{cases}x-3 ≠ 0 \\3x-6 ≠ 0\end{cases}$
解第一个不等式$x-3≠0$，得$x≠3$；
解第二个不等式$3x-6≠0$，移项得$3x≠6$，系数化为1得$x≠2$；
综合两个不等式的解，可得x的取值范围。
【答案】
$x≠2$且$x≠3$
【知识点】
零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，解一元一次不等式
【点评】
本题属于整数指数幂的基础题型，核心考察各类整数指数幂有意义的前提条件，易错点是容易遗漏其中一个底数不为0的限制，解题时要逐一核查每个幂的底数要求，再取所有限制条件的公共范围即可。
【难度系数】
0.7
3. 下列运算错误的是()
A.$(a^{-2})^3=a^{-6}$
B.$(a^2)^3=a^5$
C.$a^2÷ a^3=a^{-1}$
D.$a^2· a^3=a^5$
A.$(a^{-2})^3=a^{-6}$
B.$(a^2)^3=a^5$
C.$a^2÷ a^3=a^{-1}$
D.$a^2· a^3=a^5$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查整数指数幂的基本运算规则，解题时需要我们依次回忆幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则，逐个验证每个选项的运算是否正确，最终选出运算错误的选项即可。
【解析】
我们根据整数指数幂的运算法则逐一分析选项：
1. 幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$a≠0$，$m、n$为整数）
选项A：$(a^{-2})^3=a^{(-2)×3}=a^{-6}$，运算正确，不符合题意；
选项B：$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^5$，运算错误，符合题意；
2. 同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为整数）
选项C：$a^2÷ a^3=a^{2-3}=a^{-1}$，运算正确，不符合题意；
3. 同底数幂的乘法法则：$a^m· a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m、n$为整数）
选项D：$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$，运算正确，不符合题意。
综上，运算错误的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整数指数幂的运算法则，解题的关键是准确区分不同运算中指数的计算规则，避免出现幂的乘方时指数相加的低级错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查整数指数幂的基本运算规则，解题时需要我们依次回忆幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则，逐个验证每个选项的运算是否正确，最终选出运算错误的选项即可。
【解析】
我们根据整数指数幂的运算法则逐一分析选项：
1. 幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$a≠0$，$m、n$为整数）
选项A：$(a^{-2})^3=a^{(-2)×3}=a^{-6}$，运算正确，不符合题意；
选项B：$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^5$，运算错误，符合题意；
2. 同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为整数）
选项C：$a^2÷ a^3=a^{2-3}=a^{-1}$，运算正确，不符合题意；
3. 同底数幂的乘法法则：$a^m· a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m、n$为整数）
选项D：$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$，运算正确，不符合题意。
综上，运算错误的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整数指数幂的运算法则，解题的关键是准确区分不同运算中指数的计算规则，避免出现幂的乘方时指数相加的低级错误。
【难度系数】
0.8
4.计算$\frac{x^{-1}y^{-4}(-2x^{-2}y^{-3})^{2}}{4x^{-4}y^{-6}}$，正确的是( 
)
)答案
解：先计算分子中的乘方运算：
$(-2x^{-2}y^{-3})^2 = (-2)^2 · (x^{-2})^2 · (y^{-3})^2 = 4x^{-4}y^{-6}$
将结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x^{-1}y^{-4} · 4x^{-4}y^{-6}}{4x^{-4}y^{-6}}\\&=\frac{4x^{-5}y^{-10}}{4x^{-4}y^{-6}}\\&=x^{-5-(-4)} · y^{-10-(-6)}\\&=x^{-1}y^{-4}\\&=\frac{1}{xy^4}\end{aligned}$
所以正确答案是选项A。
$(-2x^{-2}y^{-3})^2 = (-2)^2 · (x^{-2})^2 · (y^{-3})^2 = 4x^{-4}y^{-6}$
将结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x^{-1}y^{-4} · 4x^{-4}y^{-6}}{4x^{-4}y^{-6}}\\&=\frac{4x^{-5}y^{-10}}{4x^{-4}y^{-6}}\\&=x^{-5-(-4)} · y^{-10-(-6)}\\&=x^{-1}y^{-4}\\&=\frac{1}{xy^4}\end{aligned}$
所以正确答案是选项A。
解析
【分析】
这是整数指数幂的混合运算题，解题遵循整式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除。第一步先计算分子中的积的乘方运算，按照积的乘方法则，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方要遵循底数不变、指数相乘的规则；第二步将乘方结果代入原式，分子部分按照同底数幂相乘的法则计算，底数不变、指数相加；第三步计算分式的除法，按照同底数幂相除的法则，底数不变、指数相减；最后把负指数幂转化为正指数幂的形式（即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$），对应选项即可得到答案。
【解析】
先计算分子中的乘方运算：
$(-2x^{-2}y^{-3})^2 = (-2)^2 · (x^{-2})^2 · (y^{-3})^2 = 4x^{-4}y^{-6}$
将结果代入原式，按顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x^{-1}y^{-4} · 4x^{-4}y^{-6}}{4x^{-4}y^{-6}}\\&=\frac{4x^{-1+(-4)}y^{-4+(-6)}}{4x^{-4}y^{-6}}\\&=\frac{4x^{-5}y^{-10}}{4x^{-4}y^{-6}}\\&=x^{-5-(-4)} · y^{-10-(-6)}\\&=x^{-1}y^{-4}\\&=\frac{1}{xy^4}\end{aligned}$
所以正确答案是选项A。
【答案】A
【知识点】
1.整数指数幂运算
2.积的乘方
3.同底数幂乘除
【点评】
本题考查整数指数幂的基础运算，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，运算时注意先确定运算顺序，再准确计算指数，避免符号和指数运算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
这是整数指数幂的混合运算题，解题遵循整式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除。第一步先计算分子中的积的乘方运算，按照积的乘方法则，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方要遵循底数不变、指数相乘的规则；第二步将乘方结果代入原式，分子部分按照同底数幂相乘的法则计算，底数不变、指数相加；第三步计算分式的除法，按照同底数幂相除的法则，底数不变、指数相减；最后把负指数幂转化为正指数幂的形式（即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$），对应选项即可得到答案。
【解析】
先计算分子中的乘方运算：
$(-2x^{-2}y^{-3})^2 = (-2)^2 · (x^{-2})^2 · (y^{-3})^2 = 4x^{-4}y^{-6}$
将结果代入原式，按顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x^{-1}y^{-4} · 4x^{-4}y^{-6}}{4x^{-4}y^{-6}}\\&=\frac{4x^{-1+(-4)}y^{-4+(-6)}}{4x^{-4}y^{-6}}\\&=\frac{4x^{-5}y^{-10}}{4x^{-4}y^{-6}}\\&=x^{-5-(-4)} · y^{-10-(-6)}\\&=x^{-1}y^{-4}\\&=\frac{1}{xy^4}\end{aligned}$
所以正确答案是选项A。
【答案】A
【知识点】
1.整数指数幂运算
2.积的乘方
3.同底数幂乘除
【点评】
本题考查整数指数幂的基础运算，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，运算时注意先确定运算顺序，再准确计算指数，避免符号和指数运算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
5.给出下列四个式子(其中的字母都不等于0):
①$a^4 ÷ a^5 = a^{4-5} = a^{-1} = \frac{1}{a}$；
②$a^{100} ÷ a^{100} = a^{100-100} = a^0 = 0$；
③$(-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} = \frac{1}{64}$；
④$(0.0001)^0 = (1000)^0$。
其中正确的有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
①$a^4 ÷ a^5 = a^{4-5} = a^{-1} = \frac{1}{a}$；
②$a^{100} ÷ a^{100} = a^{100-100} = a^0 = 0$；
③$(-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} = \frac{1}{64}$；
④$(0.0001)^0 = (1000)^0$。
其中正确的有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
C
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路是先回忆同底数幂除法法则、零指数幂规定、负整数指数幂规定，再逐个验证4个式子的运算是否正确，最后统计正确式子的个数选出答案。首先明确三个核心规则：①同底数幂相除，底数不变，指数相减（底数不为0）；②任何不等于0的数的0次幂都等于1；③任何不等于0的数的-p次幂（p是正整数），等于这个数的p次幂的倒数。
【解析】
我们逐个判断四个式子的正误：
1. 分析式子①：已知a≠0，根据同底数幂除法法则，$a^4 ÷ a^5 = a^{4-5} = a^{-1}$，再根据负整数指数幂的定义，$a^{-1}=\frac{1}{a}$，因此①运算正确。
2. 分析式子②：已知a≠0，$a^{100} ÷ a^{100} = a^{100-100}=a^0$，根据零指数幂的规定，非零数的0次幂等于1，即$a^0=1≠0$，因此②运算错误。
3. 分析式子③：根据负整数指数幂的定义，$(-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3}$，计算$(-4)^3=-64$，因此结果为$\frac{1}{-64}=-\frac{1}{64}≠\frac{1}{64}$，因此③运算错误。
4. 分析式子④：因为$0.0001≠0$，$1000≠0$，根据零指数幂的规定，$(0.0001)^0=1$，$(1000)^0=1$，因此二者相等，④运算正确。
综上，正确的式子是①和④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是熟练掌握整数指数幂的运算规则，尤其要注意零指数幂和负整数指数幂的前提是底数不为0，运算负指数幂时要注意底数的符号，避免因符号判断失误出错。
【难度系数】
0.7
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路是先回忆同底数幂除法法则、零指数幂规定、负整数指数幂规定，再逐个验证4个式子的运算是否正确，最后统计正确式子的个数选出答案。首先明确三个核心规则：①同底数幂相除，底数不变，指数相减（底数不为0）；②任何不等于0的数的0次幂都等于1；③任何不等于0的数的-p次幂（p是正整数），等于这个数的p次幂的倒数。
【解析】
我们逐个判断四个式子的正误：
1. 分析式子①：已知a≠0，根据同底数幂除法法则，$a^4 ÷ a^5 = a^{4-5} = a^{-1}$，再根据负整数指数幂的定义，$a^{-1}=\frac{1}{a}$，因此①运算正确。
2. 分析式子②：已知a≠0，$a^{100} ÷ a^{100} = a^{100-100}=a^0$，根据零指数幂的规定，非零数的0次幂等于1，即$a^0=1≠0$，因此②运算错误。
3. 分析式子③：根据负整数指数幂的定义，$(-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3}$，计算$(-4)^3=-64$，因此结果为$\frac{1}{-64}=-\frac{1}{64}≠\frac{1}{64}$，因此③运算错误。
4. 分析式子④：因为$0.0001≠0$，$1000≠0$，根据零指数幂的规定，$(0.0001)^0=1$，$(1000)^0=1$，因此二者相等，④运算正确。
综上，正确的式子是①和④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是熟练掌握整数指数幂的运算规则，尤其要注意零指数幂和负整数指数幂的前提是底数不为0，运算负指数幂时要注意底数的符号，避免因符号判断失误出错。
【难度系数】
0.7
6.若$m=(\dfrac{1}{2})^{-2}$，$n=(-2)^3$，$p=-(-\dfrac{1}{2})^0$，则$m,n,p$的大小关系是（）
A.$n＜p＜m$
B.$n＜m＜p$
C.$p＜n＜m$
D.$m＜p＜n$
A.$n＜p＜m$
B.$n＜m＜p$
C.$p＜n＜m$
D.$m＜p＜n$
答案
A
解析
【分析】
要比较m、n、p的大小，首先需要根据整数指数幂的相关运算法则，分别计算出m、n、p三个数的具体值，再按照有理数大小比较的规则排序，最后对应选项即可。解题时要注意负号的位置、负整数指数幂和零指数幂的运算规则，避免符号出错。
【解析】
1. 计算m的值：根据负整数指数幂运算法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，可得$m=(\dfrac{1}{2})^{-2}=2^2=4$；
2. 计算n的值：根据乘方的定义，$n=(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$；
3. 计算p的值：根据零指数幂运算法则$a^0=1(a≠0)$，可得$(-\dfrac{1}{2})^0=1$，因此$p=-(-\dfrac{1}{2})^0=-1$；
4. 大小比较：将三个数排序得$-8 ＜ -1 ＜ 4$，即$n ＜ p ＜ m$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.负整数指数幂运算；2.零指数幂运算；3.有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整数指数幂的运算法则，解题时需注意区分负号在幂内还是幂外，避免符号运算错误，熟练掌握相关法则即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要比较m、n、p的大小，首先需要根据整数指数幂的相关运算法则，分别计算出m、n、p三个数的具体值，再按照有理数大小比较的规则排序，最后对应选项即可。解题时要注意负号的位置、负整数指数幂和零指数幂的运算规则，避免符号出错。
【解析】
1. 计算m的值：根据负整数指数幂运算法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，可得$m=(\dfrac{1}{2})^{-2}=2^2=4$；
2. 计算n的值：根据乘方的定义，$n=(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$；
3. 计算p的值：根据零指数幂运算法则$a^0=1(a≠0)$，可得$(-\dfrac{1}{2})^0=1$，因此$p=-(-\dfrac{1}{2})^0=-1$；
4. 大小比较：将三个数排序得$-8 ＜ -1 ＜ 4$，即$n ＜ p ＜ m$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.负整数指数幂运算；2.零指数幂运算；3.有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整数指数幂的运算法则，解题时需注意区分负号在幂内还是幂外，避免符号运算错误，熟练掌握相关法则即可快速求解。
【难度系数】
0.85
7. 计算$\sqrt{9} + |-4| + (-1)^0 - (\frac{1}{2})^{-1}$的值
是（）
A.4
B.6
C.8
D.10
是（）
A.4
B.6
C.8
D.10
答案
B
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题时先分别计算出每一项的结果，再进行加减运算即可。首先回忆相关运算规则：①算术平方根是非负数，$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的正的平方根；②负数的绝对值等于它的相反数；③任何非零数的0次幂等于1；④一个数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数（底数不为0），按规则逐一计算每项后合并结果。
【解析】
解：分别计算每一项的值：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{9}=3$；
2. 化简绝对值：$|-4|=4$；
3. 计算零指数幂：$(-1)^0=1$（底数$-1≠0$，符合零指数幂运算规则）；
4. 计算负整数指数幂：$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$；
将各项结果代入原式计算：
$\sqrt{9} + |-4| + (-1)^0 - (\frac{1}{2})^{-1}=3+4+1-2=6$
【答案】
B
【知识点】
算术平方根化简；绝对值的性质；整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对各类基础运算规则的掌握程度，计算时只要牢记各个运算的定义和限制条件，注意运算顺序，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
这是一道实数混合运算题，解题时先分别计算出每一项的结果，再进行加减运算即可。首先回忆相关运算规则：①算术平方根是非负数，$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的正的平方根；②负数的绝对值等于它的相反数；③任何非零数的0次幂等于1；④一个数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数（底数不为0），按规则逐一计算每项后合并结果。
【解析】
解：分别计算每一项的值：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{9}=3$；
2. 化简绝对值：$|-4|=4$；
3. 计算零指数幂：$(-1)^0=1$（底数$-1≠0$，符合零指数幂运算规则）；
4. 计算负整数指数幂：$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$；
将各项结果代入原式计算：
$\sqrt{9} + |-4| + (-1)^0 - (\frac{1}{2})^{-1}=3+4+1-2=6$
【答案】
B
【知识点】
算术平方根化简；绝对值的性质；整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对各类基础运算规则的掌握程度，计算时只要牢记各个运算的定义和限制条件，注意运算顺序，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
8.计算：
(1)$(a^{-3}b^{4})^{2} · (3a^{2}b)^{-2}$；
(2)$\dfrac{(a^{2}b^{-2})^{2} · (b^{2}c)^{2}}{2a^{-2}c^{-2}}$；
(3)$[4^{-1} - 3 × (\dfrac{2}{3})^{-2}] ÷ [2^{2} + (-2)^{0} - (\dfrac{1}{2})^{-1}]$。
(1)$(a^{-3}b^{4})^{2} · (3a^{2}b)^{-2}$；
(2)$\dfrac{(a^{2}b^{-2})^{2} · (b^{2}c)^{2}}{2a^{-2}c^{-2}}$；
(3)$[4^{-1} - 3 × (\dfrac{2}{3})^{-2}] ÷ [2^{2} + (-2)^{0} - (\dfrac{1}{2})^{-1}]$。
答案
解：
(1) 原式$=a^{-6}b^{8} · 3^{-2}a^{-4}b^{-2}$
$=\frac{1}{9}a^{-6-4}b^{8-2}$
$=\frac{1}{9}a^{-10}b^{6}$
$=\frac{b^{6}}{9a^{10}}$
(2) 原式$=\frac{a^{4}b^{-4} · b^{4}c^{2}}{2a^{-2}c^{-2}}$
$=\frac{a^{4}c^{2}}{2a^{-2}c^{-2}}$
$=\frac{1}{2}a^{4-(-2)}c^{2-(-2)}$
$=\frac{a^{6}c^{4}}{2}$
(3) 原式$=( \frac{1}{4} - 3 × (\frac{3}{2})^2 ) ÷ ( 2^2 + (-2)^0 - 2 )$
$=( \frac{1}{4} - 3 × \frac{9}{4} ) ÷ (4+1-2)$
$=( \frac{1}{4} - \frac{27}{4} ) ÷ 3$
$= -\frac{26}{4} ÷ 3$
$= -\frac{13}{6}$
(1) 原式$=a^{-6}b^{8} · 3^{-2}a^{-4}b^{-2}$
$=\frac{1}{9}a^{-6-4}b^{8-2}$
$=\frac{1}{9}a^{-10}b^{6}$
$=\frac{b^{6}}{9a^{10}}$
(2) 原式$=\frac{a^{4}b^{-4} · b^{4}c^{2}}{2a^{-2}c^{-2}}$
$=\frac{a^{4}c^{2}}{2a^{-2}c^{-2}}$
$=\frac{1}{2}a^{4-(-2)}c^{2-(-2)}$
$=\frac{a^{6}c^{4}}{2}$
(3) 原式$=( \frac{1}{4} - 3 × (\frac{3}{2})^2 ) ÷ ( 2^2 + (-2)^0 - 2 )$
$=( \frac{1}{4} - 3 × \frac{9}{4} ) ÷ (4+1-2)$
$=( \frac{1}{4} - \frac{27}{4} ) ÷ 3$
$= -\frac{26}{4} ÷ 3$
$= -\frac{13}{6}$
解析
【分析】
这三道题均考查整数指数幂的相关运算，解题思路如下：
1. 对于(1)(2)题，先依据幂的乘方（底数不变，指数相乘）、积的乘方（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）法则分别化简每个乘方式，再根据同底数幂的乘除法则（同底数幂相乘/相除，底数不变，指数相加/相减）合并同类项，最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式（$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$）即可。
2. 对于(3)题，按照实数混合运算顺序，先计算括号内的运算：先算乘方（含零指数幂$a^0=1$，$a≠0$、负整数指数幂的转换），再算乘除，后算加减，最后计算括号外的除法得到结果。
【解析】
(1) 先根据积的乘方、幂的乘方法则展开：
原式$=a^{-6}b^{8} · 3^{-2}a^{-4}b^{-2}$
再根据同底数幂的乘法法则计算，合并系数：
$=\frac{1}{9}a^{-6-4}b^{8-2}$
$=\frac{1}{9}a^{-10}b^{6}$
将负指数化为正指数形式：
$=\frac{b^{6}}{9a^{10}}$
(2) 先分别计算分子中各乘方式，展开化简：
原式$=\frac{a^{4}b^{-4} · b^{4}c^{2}}{2a^{-2}c^{-2}}$
合并分子中同底数幂：
$=\frac{a^{4}c^{2}}{2a^{-2}c^{-2}}$
根据同底数幂的除法法则计算：
$=\frac{1}{2}a^{4-(-2)}c^{2-(-2)}$
$=\frac{a^{6}c^{4}}{2}$
(3) 先分别计算两个括号内的运算，先转换负指数、零指数，计算乘方：
原式$=( \frac{1}{4} - 3 × (\frac{3}{2})^2 ) ÷ ( 2^2 + (-2)^0 - 2 )$
计算括号内的乘方：
$=( \frac{1}{4} - 3 × \frac{9}{4} ) ÷ (4+1-2)$
再计算括号内的乘除、加减：
$=( \frac{1}{4} - \frac{27}{4} ) ÷ 3$
$= -\frac{26}{4} ÷ 3$
最后计算除法化简：
$= -\frac{13}{6}$
【答案】
(1)$\frac{b^{6}}{9a^{10}}$；(2)$\frac{a^{6}c^{4}}{2}$；(3)$-\frac{13}{6}$
【知识点】
整数指数幂运算；零指数幂；负整数指数幂
【点评】
本题重点考查整数指数幂的运算法则及实数混合运算顺序，解题时需牢记各类指数幂的运算规则，注意运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的内容，计算指数时注意符号，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
这三道题均考查整数指数幂的相关运算，解题思路如下：
1. 对于(1)(2)题，先依据幂的乘方（底数不变，指数相乘）、积的乘方（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）法则分别化简每个乘方式，再根据同底数幂的乘除法则（同底数幂相乘/相除，底数不变，指数相加/相减）合并同类项，最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式（$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$）即可。
2. 对于(3)题，按照实数混合运算顺序，先计算括号内的运算：先算乘方（含零指数幂$a^0=1$，$a≠0$、负整数指数幂的转换），再算乘除，后算加减，最后计算括号外的除法得到结果。
【解析】
(1) 先根据积的乘方、幂的乘方法则展开：
原式$=a^{-6}b^{8} · 3^{-2}a^{-4}b^{-2}$
再根据同底数幂的乘法法则计算，合并系数：
$=\frac{1}{9}a^{-6-4}b^{8-2}$
$=\frac{1}{9}a^{-10}b^{6}$
将负指数化为正指数形式：
$=\frac{b^{6}}{9a^{10}}$
(2) 先分别计算分子中各乘方式，展开化简：
原式$=\frac{a^{4}b^{-4} · b^{4}c^{2}}{2a^{-2}c^{-2}}$
合并分子中同底数幂：
$=\frac{a^{4}c^{2}}{2a^{-2}c^{-2}}$
根据同底数幂的除法法则计算：
$=\frac{1}{2}a^{4-(-2)}c^{2-(-2)}$
$=\frac{a^{6}c^{4}}{2}$
(3) 先分别计算两个括号内的运算，先转换负指数、零指数，计算乘方：
原式$=( \frac{1}{4} - 3 × (\frac{3}{2})^2 ) ÷ ( 2^2 + (-2)^0 - 2 )$
计算括号内的乘方：
$=( \frac{1}{4} - 3 × \frac{9}{4} ) ÷ (4+1-2)$
再计算括号内的乘除、加减：
$=( \frac{1}{4} - \frac{27}{4} ) ÷ 3$
$= -\frac{26}{4} ÷ 3$
最后计算除法化简：
$= -\frac{13}{6}$
【答案】
(1)$\frac{b^{6}}{9a^{10}}$；(2)$\frac{a^{6}c^{4}}{2}$；(3)$-\frac{13}{6}$
【知识点】
整数指数幂运算；零指数幂；负整数指数幂
【点评】
本题重点考查整数指数幂的运算法则及实数混合运算顺序，解题时需牢记各类指数幂的运算规则，注意运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的内容，计算指数时注意符号，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
9.已知$a+a^{-1}=3$，求值：
(1)$a^2+a^{-2}$；
(2)$a^4+a^{-4}$。
(1)$a^2+a^{-2}$；
(2)$a^4+a^{-4}$。
答案
解：
(1) 已知$a + a^{-1} = 3$，将等式两边同时平方：
$(a + a^{-1})^2 = 3^2$
展开完全平方得：
$a^2 + 2· a · a^{-1} + a^{-2} = 9$
由整数指数幂运算性质，$a· a^{-1}=1$，代入得：
$a^2 + 2 + a^{-2} = 9$
整理得：
$a^2 + a^{-2} = 7$
(2) 由(1)得$a^2 + a^{-2} =7$，将等式两边同时平方：
$(a^2 + a^{-2})^2 = 7^2$
展开完全平方得：
$a^4 + 2· a^2 · a^{-2} + a^{-4} = 49$
由整数指数幂运算性质，$a^2· a^{-2}=1$，代入得：
$a^4 + 2 + a^{-4} = 49$
整理得：
$a^4 + a^{-4} = 47$
(1) 已知$a + a^{-1} = 3$，将等式两边同时平方：
$(a + a^{-1})^2 = 3^2$
展开完全平方得：
$a^2 + 2· a · a^{-1} + a^{-2} = 9$
由整数指数幂运算性质，$a· a^{-1}=1$，代入得：
$a^2 + 2 + a^{-2} = 9$
整理得：
$a^2 + a^{-2} = 7$
(2) 由(1)得$a^2 + a^{-2} =7$，将等式两边同时平方：
$(a^2 + a^{-2})^2 = 7^2$
展开完全平方得：
$a^4 + 2· a^2 · a^{-2} + a^{-4} = 49$
由整数指数幂运算性质，$a^2· a^{-2}=1$，代入得：
$a^4 + 2 + a^{-4} = 49$
整理得：
$a^4 + a^{-4} = 47$
解析
【分析】
这道题是已知含负指数幂的一次式的值，求更高次代数式的值，解题核心是利用完全平方公式的结构特征，将已知等式两边平方，借助整数指数幂的运算性质$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得$a·a^{-1}=a^2·a^{-2}=1$，通过整理就能计算出所求式子的值；第一问直接对已知条件平方计算，第二问对第一问的结果再平方即可求解。
【解析】
(1) 已知$a + a^{-1} = 3$，将等式两边同时平方：
$(a + a^{-1})^2 = 3^2$
根据完全平方公式展开得：
$a^2 + 2· a · a^{-1} + a^{-2} = 9$
根据整数指数幂的运算性质，$a· a^{-1}=a^{1+(-1)}=a^0=1$，代入上式得：
$a^2 + 2 + a^{-2} = 9$
移项整理得：
$a^2 + a^{-2} = 9-2=7$
(2) 由(1)得$a^2 + a^{-2} =7$，将这个等式两边同时平方：
$(a^2 + a^{-2})^2 = 7^2$
根据完全平方公式展开得：
$a^4 + 2· a^2 · a^{-2} + a^{-4} = 49$
根据整数指数幂的运算性质，$a^2· a^{-2}=a^{2+(-2)}=a^0=1$，代入上式得：
$a^4 + 2 + a^{-4} = 49$
移项整理得：
$a^4 + a^{-4} = 49-2=47$
【答案】
(1)$\boxed{7}$；(2)$\boxed{47}$
【知识点】
完全平方公式，整数指数幂运算
【点评】
本题属于整数指数幂的常规求值题，解题的关键是抓住$a^n·a^{-n}=1$的运算特点，通过对已知或已求式子平方的方式整体代入计算，是解决同类型代数式求值的常用技巧。
【难度系数】
0.8
这道题是已知含负指数幂的一次式的值，求更高次代数式的值，解题核心是利用完全平方公式的结构特征，将已知等式两边平方，借助整数指数幂的运算性质$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得$a·a^{-1}=a^2·a^{-2}=1$，通过整理就能计算出所求式子的值；第一问直接对已知条件平方计算，第二问对第一问的结果再平方即可求解。
【解析】
(1) 已知$a + a^{-1} = 3$，将等式两边同时平方：
$(a + a^{-1})^2 = 3^2$
根据完全平方公式展开得：
$a^2 + 2· a · a^{-1} + a^{-2} = 9$
根据整数指数幂的运算性质，$a· a^{-1}=a^{1+(-1)}=a^0=1$，代入上式得：
$a^2 + 2 + a^{-2} = 9$
移项整理得：
$a^2 + a^{-2} = 9-2=7$
(2) 由(1)得$a^2 + a^{-2} =7$，将这个等式两边同时平方：
$(a^2 + a^{-2})^2 = 7^2$
根据完全平方公式展开得：
$a^4 + 2· a^2 · a^{-2} + a^{-4} = 49$
根据整数指数幂的运算性质，$a^2· a^{-2}=a^{2+(-2)}=a^0=1$，代入上式得：
$a^4 + 2 + a^{-4} = 49$
移项整理得：
$a^4 + a^{-4} = 49-2=47$
【答案】
(1)$\boxed{7}$；(2)$\boxed{47}$
【知识点】
完全平方公式，整数指数幂运算
【点评】
本题属于整数指数幂的常规求值题，解题的关键是抓住$a^n·a^{-n}=1$的运算特点，通过对已知或已求式子平方的方式整体代入计算，是解决同类型代数式求值的常用技巧。
【难度系数】
0.8
