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1.一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 120 km所用时间与以最大航速逆流航行 60 km所用时间相同，则江水的流速为 km/h.
答案
解：设江水的流速为$x\ \mathrm{km/h}$，则轮船顺流航行速度为$(30+x)\ \mathrm{km/h}$，逆流航行速度为$(30-x)\ \mathrm{km/h}$。
根据题意列方程：
$\frac{120}{30+x} = \frac{60}{30-x}$
方程两边同乘$(30+x)(30-x)$，得：
$120(30-x) = 60(30+x)$
去括号：
$3600 - 120x = 1800 + 60x$
移项、合并同类项：
$180x = 1800$
系数化为1：
$x=10$
检验：当$x=10$时，$(30+x)(30-x) ≠ 0$，$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：江水的流速为$\boldsymbol{10}\ \mathrm{km/h}$。
根据题意列方程：
$\frac{120}{30+x} = \frac{60}{30-x}$
方程两边同乘$(30+x)(30-x)$，得：
$120(30-x) = 60(30+x)$
去括号：
$3600 - 120x = 1800 + 60x$
移项、合并同类项：
$180x = 1800$
系数化为1：
$x=10$
检验：当$x=10$时，$(30+x)(30-x) ≠ 0$，$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：江水的流速为$\boldsymbol{10}\ \mathrm{km/h}$。
解析
【分析】
本题属于流水行船类的行程应用题，解题思路如下：首先明确流水行船的速度关系：顺流航行速度=静水速度+江水速度，逆流航行速度=静水速度-江水速度；再抓住题干中“两次航行时间相同”的核心条件，结合“时间=路程÷速度”的公式，确定等量关系为“顺流航行120km的时间=逆流航行60km的时间”；接下来设江水的流速为未知数，根据等量关系列分式方程求解，最后注意分式方程需要检验根的合理性，既要保证分母不为0，也要符合实际意义。
【解析】
解：设江水的流速为$x\ \mathrm{km/h}$，则轮船顺流航行速度为$(30+x)\ \mathrm{km/h}$，逆流航行速度为$(30-x)\ \mathrm{km/h}$。
根据题意列方程：
$\frac{120}{30+x} = \frac{60}{30-x}$
方程两边同乘$(30+x)(30-x)$，得：
$120(30-x) = 60(30+x)$
去括号：
$3600 - 120x = 1800 + 60x$
移项、合并同类项：
$180x = 1800$
系数化为1：
$x=10$
检验：当$x=10$时，$(30+x)(30-x) ≠ 0$，$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：江水的流速为$\boldsymbol{10}\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
10
【知识点】
分式方程的应用；流水行船问题；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心考查学生从题干中提取等量关系列方程的能力，解题时要牢记分式方程必须检验，避免出现增根，同时要注意解需符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.75
本题属于流水行船类的行程应用题，解题思路如下：首先明确流水行船的速度关系：顺流航行速度=静水速度+江水速度，逆流航行速度=静水速度-江水速度；再抓住题干中“两次航行时间相同”的核心条件，结合“时间=路程÷速度”的公式，确定等量关系为“顺流航行120km的时间=逆流航行60km的时间”；接下来设江水的流速为未知数，根据等量关系列分式方程求解，最后注意分式方程需要检验根的合理性，既要保证分母不为0，也要符合实际意义。
【解析】
解：设江水的流速为$x\ \mathrm{km/h}$，则轮船顺流航行速度为$(30+x)\ \mathrm{km/h}$，逆流航行速度为$(30-x)\ \mathrm{km/h}$。
根据题意列方程：
$\frac{120}{30+x} = \frac{60}{30-x}$
方程两边同乘$(30+x)(30-x)$，得：
$120(30-x) = 60(30+x)$
去括号：
$3600 - 120x = 1800 + 60x$
移项、合并同类项：
$180x = 1800$
系数化为1：
$x=10$
检验：当$x=10$时，$(30+x)(30-x) ≠ 0$，$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：江水的流速为$\boldsymbol{10}\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
10
【知识点】
分式方程的应用；流水行船问题；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心考查学生从题干中提取等量关系列方程的能力，解题时要牢记分式方程必须检验，避免出现增根，同时要注意解需符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.75
2.某市为绿化环境计划植树2 400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务.若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为.
答案
解：
原计划每天植树$x$棵，则实际每天植树$(1+20\%)x$棵。
原计划完成任务用时$\frac{2400}{x}$天，实际完成任务用时$\frac{2400}{(1+20\%)x}$天。
根据题意，得：
$\frac{2400}{x} - \frac{2400}{(1+20\%)x} = 8$
原计划每天植树$x$棵，则实际每天植树$(1+20\%)x$棵。
原计划完成任务用时$\frac{2400}{x}$天，实际完成任务用时$\frac{2400}{(1+20\%)x}$天。
根据题意，得：
$\frac{2400}{x} - \frac{2400}{(1+20\%)x} = 8$
解析
【分析】
解本题的核心是找准等量关系，本题的等量关系为：原计划完成任务的天数 - 实际完成任务的天数 = 8天。首先我们已知总植树量（工作总量）是2400棵，原计划每天植树x棵（原计划工作效率），根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可先表示出原计划的工作时间；再结合“实际每天植树数量比原计划多20%”求出实际的工作效率，进而表示出实际的工作时间，最后将两个时间代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设原计划每天植树$x$棵，则实际每天植树的数量为原计划的$(1+20\%)$，即$(1+20\%)x$棵。
原计划完成2400棵植树任务的用时为：$\frac{2400}{x}$天
实际完成2400棵植树任务的用时为：$\frac{2400}{(1+20\%)x}$天
根据“提前8天完成任务”，即原计划用时比实际用时多8天，可列方程：
$\frac{2400}{x} - \frac{2400}{(1+20\%)x} = 8$
【答案】
$\frac{2400}{x} - \frac{2400}{(1+20\%)x} = 8$
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用中的基础工程类题型，解题关键是抓住“提前8天完成”这一核心等量关系，正确表示出原计划和实际的工作时间，列方程时注意不要颠倒两个时间的前后顺序。
【难度系数】
0.7
解本题的核心是找准等量关系，本题的等量关系为：原计划完成任务的天数 - 实际完成任务的天数 = 8天。首先我们已知总植树量（工作总量）是2400棵，原计划每天植树x棵（原计划工作效率），根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可先表示出原计划的工作时间；再结合“实际每天植树数量比原计划多20%”求出实际的工作效率，进而表示出实际的工作时间，最后将两个时间代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设原计划每天植树$x$棵，则实际每天植树的数量为原计划的$(1+20\%)$，即$(1+20\%)x$棵。
原计划完成2400棵植树任务的用时为：$\frac{2400}{x}$天
实际完成2400棵植树任务的用时为：$\frac{2400}{(1+20\%)x}$天
根据“提前8天完成任务”，即原计划用时比实际用时多8天，可列方程：
$\frac{2400}{x} - \frac{2400}{(1+20\%)x} = 8$
【答案】
$\frac{2400}{x} - \frac{2400}{(1+20\%)x} = 8$
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用中的基础工程类题型，解题关键是抓住“提前8天完成”这一核心等量关系，正确表示出原计划和实际的工作时间，列方程时注意不要颠倒两个时间的前后顺序。
【难度系数】
0.7
3.目前,步行已成为人们最喜爱的健身方式之一,通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现:小琼步行13 500步与小刚步行9 000步消耗的能量相同.若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步,则小刚每消耗1千卡能量需要行走步.
答案
解：设小刚每消耗1千卡能量需要行走$ x $步，则小琼每消耗1千卡能量需要行走$ (x+15) $步。
根据题意，列方程：
$\frac{13500}{x+15} = \frac{9000}{x}$
方程两边同乘$ x(x+15) $，得：
$13500x = 9000(x+15)$
展开并整理：
$13500x = 9000x + 135000$
$4500x = 135000$
解得：
$x = 30$
检验：当$ x=30 $时，$ x(x+15) ≠ 0 $，所以$ x=30 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：小刚每消耗1千卡能量需要行走30步。
根据题意，列方程：
$\frac{13500}{x+15} = \frac{9000}{x}$
方程两边同乘$ x(x+15) $，得：
$13500x = 9000(x+15)$
展开并整理：
$13500x = 9000x + 135000$
$4500x = 135000$
解得：
$x = 30$
检验：当$ x=30 $时，$ x(x+15) ≠ 0 $，所以$ x=30 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：小刚每消耗1千卡能量需要行走30步。
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系：小琼步行13500步消耗的能量=小刚步行9000步消耗的能量。消耗能量的计算公式为：消耗的能量=行走总步数÷每消耗1千卡能量需要行走的步数。我们可以设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步，那么小琼每消耗1千卡需要行走的步数就是(x+15)步，分别表示出两人的消耗能量后，根据等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程求出解后必须检验是否符合原方程和实际意义。
【解析】
解：设小刚每消耗1千卡能量需要行走$ x $步，则小琼每消耗1千卡能量需要行走$ (x+15) $步。
根据题意，列方程：
$\frac{13500}{x+15} = \frac{9000}{x}$
方程两边同乘$ x(x+15) $，得：
$13500x = 9000(x+15)$
展开并整理：
$13500x = 9000x + 135000$
$4500x = 135000$
解得：
$x = 30$
检验：当$ x=30 $时，$ x(x+15) ≠ 0 $，所以$ x=30 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：小刚每消耗1千卡能量需要行走30步。
【答案】
30
【知识点】
分式方程的应用、分式方程的解法、列方程解应用题
【点评】
本题结合生活健身场景出题，属于基础类分式方程应用题，解题关键是从题干中提取有效信息构建等量关系，同时要注意分式方程的特殊性，求解后必须完成两步检验：一是检验是否为原方程的解，二是检验是否符合实际情况，整体侧重考察学生的信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系：小琼步行13500步消耗的能量=小刚步行9000步消耗的能量。消耗能量的计算公式为：消耗的能量=行走总步数÷每消耗1千卡能量需要行走的步数。我们可以设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步，那么小琼每消耗1千卡需要行走的步数就是(x+15)步，分别表示出两人的消耗能量后，根据等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程求出解后必须检验是否符合原方程和实际意义。
【解析】
解：设小刚每消耗1千卡能量需要行走$ x $步，则小琼每消耗1千卡能量需要行走$ (x+15) $步。
根据题意，列方程：
$\frac{13500}{x+15} = \frac{9000}{x}$
方程两边同乘$ x(x+15) $，得：
$13500x = 9000(x+15)$
展开并整理：
$13500x = 9000x + 135000$
$4500x = 135000$
解得：
$x = 30$
检验：当$ x=30 $时，$ x(x+15) ≠ 0 $，所以$ x=30 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：小刚每消耗1千卡能量需要行走30步。
【答案】
30
【知识点】
分式方程的应用、分式方程的解法、列方程解应用题
【点评】
本题结合生活健身场景出题，属于基础类分式方程应用题，解题关键是从题干中提取有效信息构建等量关系，同时要注意分式方程的特殊性，求解后必须完成两步检验：一是检验是否为原方程的解，二是检验是否符合实际情况，整体侧重考察学生的信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
4. 两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲、乙两地相距7 500米，第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地.设第二组的步行速度为$x$千米/时，根据题意可列方程()
A.$\frac{7500}{x} - \frac{7500}{1.2x} = 15$
B.$\frac{7500}{x} - \frac{7500}{1.2x} = \frac{1}{4}$
C.$\frac{7.5}{x} - \frac{7.5}{1.2x} = 15$
D.$\frac{7.5}{x} - \frac{7.5}{1.2x} = \frac{1}{4}$
A.$\frac{7500}{x} - \frac{7500}{1.2x} = 15$
B.$\frac{7500}{x} - \frac{7500}{1.2x} = \frac{1}{4}$
C.$\frac{7.5}{x} - \frac{7.5}{1.2x} = 15$
D.$\frac{7.5}{x} - \frac{7.5}{1.2x} = \frac{1}{4}$
答案
D
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程列写题，解题首先要明确行程问题的基本公式：时间=路程÷速度，其次要注意单位统一：题目中路程单位是米，速度单位是千米/时，时间单位是分钟，列方程前需要先把三个量的单位对应一致，再找等量关系：第二组的行驶时间 - 第一组的行驶时间 = 15分钟（换算为小时），最后代入对应量列方程即可。
【解析】
第一步：统一单位
7500米 = 7.5千米，15分钟 = $\frac{15}{60}$ = $\frac{1}{4}$小时
第二步：表示两组的行驶时间
已知第二组速度为$x$千米/时，则第一组速度为$1.2x$千米/时
第二组从甲地到乙地的时间为：$\frac{7.5}{x}$小时
第一组从甲地到乙地的时间为：$\frac{7.5}{1.2x}$小时
第三步：根据时间差列方程
因为第一组比第二组早$\frac{1}{4}$小时到达，所以第二组用时减去第一组用时等于$\frac{1}{4}$小时，可得方程：
$\frac{7.5}{x} - \frac{7.5}{1.2x} = \frac{1}{4}$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用，行程问题公式，单位换算
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，易错点是列方程时忽略单位统一，直接用不匹配的单位计算导致方程错误，解题时只要先统一单位，再抓住时间差的等量关系即可正确列写方程。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的分式方程列写题，解题首先要明确行程问题的基本公式：时间=路程÷速度，其次要注意单位统一：题目中路程单位是米，速度单位是千米/时，时间单位是分钟，列方程前需要先把三个量的单位对应一致，再找等量关系：第二组的行驶时间 - 第一组的行驶时间 = 15分钟（换算为小时），最后代入对应量列方程即可。
【解析】
第一步：统一单位
7500米 = 7.5千米，15分钟 = $\frac{15}{60}$ = $\frac{1}{4}$小时
第二步：表示两组的行驶时间
已知第二组速度为$x$千米/时，则第一组速度为$1.2x$千米/时
第二组从甲地到乙地的时间为：$\frac{7.5}{x}$小时
第一组从甲地到乙地的时间为：$\frac{7.5}{1.2x}$小时
第三步：根据时间差列方程
因为第一组比第二组早$\frac{1}{4}$小时到达，所以第二组用时减去第一组用时等于$\frac{1}{4}$小时，可得方程：
$\frac{7.5}{x} - \frac{7.5}{1.2x} = \frac{1}{4}$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用，行程问题公式，单位换算
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，易错点是列方程时忽略单位统一，直接用不匹配的单位计算导致方程错误，解题时只要先统一单位，再抓住时间差的等量关系即可正确列写方程。
【难度系数】
0.7
5.赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完，他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读$ x $页，则下面所列方程中，正确的是()
A.$\frac{140}{x} + \frac{140}{x - 21} = 14$
B.$\frac{280}{x} + \frac{280}{x + 21} = 14$
C.$\frac{140}{x} + \frac{140}{x + 21} = 14$
D.$\frac{10}{x} + \frac{10}{x + 21} = 1$
A.$\frac{140}{x} + \frac{140}{x - 21} = 14$
B.$\frac{280}{x} + \frac{280}{x + 21} = 14$
C.$\frac{140}{x} + \frac{140}{x + 21} = 14$
D.$\frac{10}{x} + \frac{10}{x + 21} = 1$
答案
C
解析
【分析】
解题首先要明确题目中的等量关系：读前一半页数的时间 + 读后一半页数的时间 = 两周总天数（14天）。首先确定已知量：书总页数280页，一半就是140页；设读前一半时平均每天读x页，那么读后一半时每天读的页数就是(x+21)页。再根据“时间=阅读总页数÷每天阅读页数”分别表示出两段的阅读时间，相加等于总天数14，就能列出对应的方程。
【解析】
首先换算时间：两周 = 14天；
计算书的一半页数：$280÷2=140$页；
读前一半140页的时间：每天读x页，所以时间为$\frac{140}{x}$天；
读后一半140页时，每天多读21页，即每天读$(x+21)$页，所以时间为$\frac{140}{x+21}$天；
根据总借期为14天，可列方程：$\frac{140}{x} + \frac{140}{x + 21} = 14$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，解题核心是找准总时间的等量关系，清晰区分前后两段阅读的效率和对应阅读页数，避免混淆效率的增减即可正确解题。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确题目中的等量关系：读前一半页数的时间 + 读后一半页数的时间 = 两周总天数（14天）。首先确定已知量：书总页数280页，一半就是140页；设读前一半时平均每天读x页，那么读后一半时每天读的页数就是(x+21)页。再根据“时间=阅读总页数÷每天阅读页数”分别表示出两段的阅读时间，相加等于总天数14，就能列出对应的方程。
【解析】
首先换算时间：两周 = 14天；
计算书的一半页数：$280÷2=140$页；
读前一半140页的时间：每天读x页，所以时间为$\frac{140}{x}$天；
读后一半140页时，每天多读21页，即每天读$(x+21)$页，所以时间为$\frac{140}{x+21}$天；
根据总借期为14天，可列方程：$\frac{140}{x} + \frac{140}{x + 21} = 14$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，解题核心是找准总时间的等量关系，清晰区分前后两段阅读的效率和对应阅读页数，避免混淆效率的增减即可正确解题。
【难度系数】
0.7
6.某工程队改造一条长1600 m的人行步道，为尽量减少施工对交通的影响，施工时，设实际施工每天改造$x$ m，可列方程$\frac{1600}{x-18}=\frac{1600}{x}+15$，
则横线上的信息可以是()
A.每天比原计划多铺设18 m，结果提前15天完成
B.每天比原计划多铺设18 m，结果延期15天完成
C.每天比原计划少铺设18 m，结果延期15天完成
D.每天比原计划少铺设18 m，结果提前15天完成
则横线上的信息可以是()
A.每天比原计划多铺设18 m，结果提前15天完成
B.每天比原计划多铺设18 m，结果延期15天完成
C.每天比原计划少铺设18 m，结果延期15天完成
D.每天比原计划少铺设18 m，结果提前15天完成
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆工程问题的核心等量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。首先明确题中给出的未知数x是实际每天改造的长度，接下来先分析方程中x-18的含义，再分别判断两个分式对应的是哪种情况下的工作时间，最后结合等式的数量关系，就能反推出横线上缺失的条件。
【解析】
步骤1：明确效率的含义
已知实际施工每天改造x m，方程中出现x-18，说明x-18是原计划每天改造的长度，即实际每天比原计划多铺设18 m。
步骤2：分析分式对应的时间
工作总量为1600 m，因此$\frac{1600}{x-18}$代表原计划完成工程需要的总天数，$\frac{1600}{x}$代表实际完成工程需要的总天数。
步骤3：分析时间的数量关系
方程$\frac{1600}{x-18}=\frac{1600}{x}+15$表示：原计划总天数 = 实际总天数 + 15天，说明实际施工用的天数比原计划少15天，即结果提前15天完成。
综上，横线上的信息对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的实际应用，工程问题等量关系
【点评】
本题属于根据分式方程反推题干条件的题型，解题的关键是明确未知数的意义，结合工程问题的基本公式判断每个代数式的含义，理清不同施工方案的时间差，是分式方程应用部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆工程问题的核心等量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。首先明确题中给出的未知数x是实际每天改造的长度，接下来先分析方程中x-18的含义，再分别判断两个分式对应的是哪种情况下的工作时间，最后结合等式的数量关系，就能反推出横线上缺失的条件。
【解析】
步骤1：明确效率的含义
已知实际施工每天改造x m，方程中出现x-18，说明x-18是原计划每天改造的长度，即实际每天比原计划多铺设18 m。
步骤2：分析分式对应的时间
工作总量为1600 m，因此$\frac{1600}{x-18}$代表原计划完成工程需要的总天数，$\frac{1600}{x}$代表实际完成工程需要的总天数。
步骤3：分析时间的数量关系
方程$\frac{1600}{x-18}=\frac{1600}{x}+15$表示：原计划总天数 = 实际总天数 + 15天，说明实际施工用的天数比原计划少15天，即结果提前15天完成。
综上，横线上的信息对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的实际应用，工程问题等量关系
【点评】
本题属于根据分式方程反推题干条件的题型，解题的关键是明确未知数的意义，结合工程问题的基本公式判断每个代数式的含义，理清不同施工方案的时间差，是分式方程应用部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
