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12. 某考察队于上午8时从营地乘汽车出发，汽车行驶的平均速度为50千米/时。汽车先向东行驶50千米，工作1小时后向西行驶2小时，再工作1小时，然后一直向东行驶。问：下午1时30分考察队在营地的东面或西面多少千米处？
答案
记汽车向东行驶为正。$50÷50=1$(时),$5.5-(1+1+2+1)=0.5$(时),$50+2×(-50)+0.5×50=50×(1-2+0.5)=-25$(千米)。下午1时30分考察队在营地西面25千米处。
解析
【分析】
解题时首先用正负数表示相反意义的量，我们规定向东为正、向西为负，方便计算相对营地的位移。第一步先算出从上午8时到下午1时30分的总时长，第二步依次统计向东行驶50千米、两次工作、向西行驶2小时消耗的总时间，得到最后一段向东行驶的时长，第三步分别计算各段行驶的位移后求和，结果为正说明在营地东面，结果为负说明在营地西面。
【解析】
解：记向东行驶为正方向，向西行驶为负方向。
1. 计算总时长：上午8时到下午1时30分（即13时30分），总时长为 $13.5-8=5.5$（小时）
2. 计算向东行驶50千米的耗时：$50÷50=1$（小时）
3. 计算前几个阶段已消耗的时间：$1\mathrm{（向东行驶）}+1\mathrm{（工作）}+2\mathrm{（向西行驶）}+1\mathrm{（工作）}=5$（小时）
4. 计算最后向东行驶的时长：$5.5-5=0.5$（小时）
5. 计算总位移：
$50 + 2×(-50) + 0.5×50$
$=50-100+25$
$=-25$（千米）
负号代表方向为西，即位于营地西面25千米处。
【答案】
下午1时30分考察队在营地西面25千米处。
【知识点】
正负数的应用；有理数混合运算；行程问题计算
【点评】
本题结合实际考察场景出题，解题核心是用正负数区分相反的行驶方向，需准确梳理各阶段的时间分配，结合行程公式计算各段位移后求和，即可快速判断最终位置。
【难度系数】
0.7
解题时首先用正负数表示相反意义的量，我们规定向东为正、向西为负，方便计算相对营地的位移。第一步先算出从上午8时到下午1时30分的总时长，第二步依次统计向东行驶50千米、两次工作、向西行驶2小时消耗的总时间，得到最后一段向东行驶的时长，第三步分别计算各段行驶的位移后求和，结果为正说明在营地东面，结果为负说明在营地西面。
【解析】
解：记向东行驶为正方向，向西行驶为负方向。
1. 计算总时长：上午8时到下午1时30分（即13时30分），总时长为 $13.5-8=5.5$（小时）
2. 计算向东行驶50千米的耗时：$50÷50=1$（小时）
3. 计算前几个阶段已消耗的时间：$1\mathrm{（向东行驶）}+1\mathrm{（工作）}+2\mathrm{（向西行驶）}+1\mathrm{（工作）}=5$（小时）
4. 计算最后向东行驶的时长：$5.5-5=0.5$（小时）
5. 计算总位移：
$50 + 2×(-50) + 0.5×50$
$=50-100+25$
$=-25$（千米）
负号代表方向为西，即位于营地西面25千米处。
【答案】
下午1时30分考察队在营地西面25千米处。
【知识点】
正负数的应用；有理数混合运算；行程问题计算
【点评】
本题结合实际考察场景出题，解题核心是用正负数区分相反的行驶方向，需准确梳理各阶段的时间分配，结合行程公式计算各段位移后求和，即可快速判断最终位置。
【难度系数】
0.7
13. 观察下列等式，发现规律，并解决问题。
……
（1）由上述式子的规律，计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{9×10}=$
（2）类比第(1)题，计算：
……
（1）由上述式子的规律，计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{9×10}=$
$\frac{9}{10}$
。（2）类比第(1)题，计算：
答案
(1) 原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$。
(2) 观察算式特征,发现:$1+2=\frac{2×3}{2},1+2+3=\frac{3×4}{2},1+2+3+4=\frac{4×5}{2},…,1+2+3+4+…+19+20=\frac{20×21}{2}$,
所以原式$=\frac{2}{2×3}+\frac{2}{3×4}+\frac{2}{4×5}+…+\frac{2}{20×21}$
$=2(\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{20×21})$
$=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{20}-\frac{1}{21})$
$=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{21})=\frac{19}{21}$。
(2) 观察算式特征,发现:$1+2=\frac{2×3}{2},1+2+3=\frac{3×4}{2},1+2+3+4=\frac{4×5}{2},…,1+2+3+4+…+19+20=\frac{20×21}{2}$,
所以原式$=\frac{2}{2×3}+\frac{2}{3×4}+\frac{2}{4×5}+…+\frac{2}{20×21}$
$=2(\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{20×21})$
$=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{20}-\frac{1}{21})$
$=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{21})=\frac{19}{21}$。
解析
【分析】
（1）观察算式中每一项的结构，可发现规律：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（n为正整数），利用该规律将每一项拆分后，中间的项会相互抵消，仅剩余首尾两项，直接计算即可得到结果。
（2）先分析每一项的分母特征：分母是从1开始的连续正整数的和，根据连续正整数求和公式$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，可将每一项转化为$\frac{2}{n(n+1)}$的形式，提取公因式2后，即可沿用第（1）问的裂项相消法计算。
【解析】
（1）根据裂项规律拆分各项：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$
中间项全部抵消，得：
原式$=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$
（2）先根据连续正整数求和公式转化各项：
由$1+2=\frac{2×3}{2}$，$1+2+3=\frac{3×4}{2}$，……，$1+2+\dots+20=\frac{20×21}{2}$，可得每一项的倒数为$\frac{2}{n(n+1)}$，因此：
原式$=\frac{2}{2×3}+\frac{2}{3×4}+\frac{2}{4×5}+\dots+\frac{2}{20×21}$
提取公因式2：
$=2×(\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\dots+\frac{1}{20×21})$
裂项拆分：
$=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{20}-\frac{1}{21})$
中间项抵消后计算：
$=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{21})=2×\frac{19}{42}=\frac{19}{21}$
【答案】
（1）$\frac{9}{10}$；（2）$\frac{19}{21}$
【知识点】
裂项相消法；有理数混合运算；数字规律探究
【点评】
本题重点考查数字变化规律的探究与应用，核心是掌握裂项相消的简便运算技巧，通过拆分复杂分数简化运算过程，对学生的规律观察能力和运算化简能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
（1）观察算式中每一项的结构，可发现规律：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（n为正整数），利用该规律将每一项拆分后，中间的项会相互抵消，仅剩余首尾两项，直接计算即可得到结果。
（2）先分析每一项的分母特征：分母是从1开始的连续正整数的和，根据连续正整数求和公式$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，可将每一项转化为$\frac{2}{n(n+1)}$的形式，提取公因式2后，即可沿用第（1）问的裂项相消法计算。
【解析】
（1）根据裂项规律拆分各项：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$
中间项全部抵消，得：
原式$=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$
（2）先根据连续正整数求和公式转化各项：
由$1+2=\frac{2×3}{2}$，$1+2+3=\frac{3×4}{2}$，……，$1+2+\dots+20=\frac{20×21}{2}$，可得每一项的倒数为$\frac{2}{n(n+1)}$，因此：
原式$=\frac{2}{2×3}+\frac{2}{3×4}+\frac{2}{4×5}+\dots+\frac{2}{20×21}$
提取公因式2：
$=2×(\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\dots+\frac{1}{20×21})$
裂项拆分：
$=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{20}-\frac{1}{21})$
中间项抵消后计算：
$=2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{21})=2×\frac{19}{42}=\frac{19}{21}$
【答案】
（1）$\frac{9}{10}$；（2）$\frac{19}{21}$
【知识点】
裂项相消法；有理数混合运算；数字规律探究
【点评】
本题重点考查数字变化规律的探究与应用，核心是掌握裂项相消的简便运算技巧，通过拆分复杂分数简化运算过程，对学生的规律观察能力和运算化简能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
