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9. $2^3,3^3$和$4^3$分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，类似地，$6^3$也能按此规律进行“分裂”。$6^3$“分裂”出的奇数中，最大的是(
A.41
B.39
C.31
D.29
A
)。A.41
B.39
C.31
D.29
答案
A
解析
【分析】
这是一道数字规律探究题，解题时先观察已知示例的特征：首先明确底数是几，对应立方就分裂成几个连续奇数的和；再分别找到2³、3³、4³分裂出的最大奇数，对比最大奇数和底数的数量关系，总结通用规律，最后将底数6代入规律求解即可。
【解析】
解：观察已知的分裂规律：
1. 底数为2时，$2^3$分裂为2个连续奇数，最大奇数是5，满足$\boldsymbol{5=2^2+2-1}$；
2. 底数为3时，$3^3$分裂为3个连续奇数，最大奇数是11，满足$\boldsymbol{11=3^2+3-1}$；
3. 底数为4时，$4^3$分裂为4个连续奇数，最大奇数是19，满足$\boldsymbol{19=4^2+4-1}$。
由此归纳得到通用规律：若底数为$m$，则$m^3$分裂出的$m$个连续奇数中，最大的奇数为$m^2+m-1$。
当$m=6$时，代入公式计算：
$6^2+6-1=36+6-1=41$
【答案】
A
【知识点】
数字规律探究，有理数的乘方
【点评】
本题重点考查观察归纳能力，需要从给出的示例中找到底数和分裂最大奇数的数量关系，再代入数值计算，属于规律题中比较基础的类型。
【难度系数】
0.7
这是一道数字规律探究题，解题时先观察已知示例的特征：首先明确底数是几，对应立方就分裂成几个连续奇数的和；再分别找到2³、3³、4³分裂出的最大奇数，对比最大奇数和底数的数量关系，总结通用规律，最后将底数6代入规律求解即可。
【解析】
解：观察已知的分裂规律：
1. 底数为2时，$2^3$分裂为2个连续奇数，最大奇数是5，满足$\boldsymbol{5=2^2+2-1}$；
2. 底数为3时，$3^3$分裂为3个连续奇数，最大奇数是11，满足$\boldsymbol{11=3^2+3-1}$；
3. 底数为4时，$4^3$分裂为4个连续奇数，最大奇数是19，满足$\boldsymbol{19=4^2+4-1}$。
由此归纳得到通用规律：若底数为$m$，则$m^3$分裂出的$m$个连续奇数中，最大的奇数为$m^2+m-1$。
当$m=6$时，代入公式计算：
$6^2+6-1=36+6-1=41$
【答案】
A
【知识点】
数字规律探究，有理数的乘方
【点评】
本题重点考查观察归纳能力，需要从给出的示例中找到底数和分裂最大奇数的数量关系，再代入数值计算，属于规律题中比较基础的类型。
【难度系数】
0.7
10. 计算：
(1) $(-1)^4 × ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) ÷ ( -\frac{1}{6} )$；
(2) $-\frac{1}{2} × |-6|$
$( -\frac{3}{4} ) ÷ ( -\frac{3}{8} )$。
(1) $(-1)^4 × ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) ÷ ( -\frac{1}{6} )$；
(2) $-\frac{1}{2} × |-6|$
$( -\frac{3}{4} ) ÷ ( -\frac{3}{8} )$。答案
(1) $-1$ (2) $-1$
解析
【分析】
本题是有理数混合运算题，需遵循“先算乘方与绝对值、再算乘除、最后算加减，有括号先算括号内内容”的运算规则，同时注意运算过程中的符号判断：同号运算得正，异号运算得负。
第(1)题解题思路：先计算乘方$(-1)^4$，再计算括号内的分数减法，最后按从左到右的顺序计算乘除即可；
第(2)题解题思路：先计算绝对值$|-6|$，再分别计算乘法部分和除法部分，最后将两部分结果相加即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}&(-1)^4 × ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) ÷ ( -\frac{1}{6} )\\=&1 × ( \frac{3}{6} - \frac{2}{6} ) × (-6)\\=&1 × \frac{1}{6} × (-6)\\=&-1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&-\frac{1}{2} × |-6| + ( -\frac{3}{4} ) ÷ ( -\frac{3}{8} )\\=&-\frac{1}{2} × 6 + ( -\frac{3}{4} ) × ( -\frac{8}{3} )\\=&-3 + 2\\=&-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
有理数混合运算，绝对值化简，乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查有理数混合运算的顺序以及符号判断规则，熟练掌握运算法则、计算时注意符号即可正确求解，是巩固有理数运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.85
本题是有理数混合运算题，需遵循“先算乘方与绝对值、再算乘除、最后算加减，有括号先算括号内内容”的运算规则，同时注意运算过程中的符号判断：同号运算得正，异号运算得负。
第(1)题解题思路：先计算乘方$(-1)^4$，再计算括号内的分数减法，最后按从左到右的顺序计算乘除即可；
第(2)题解题思路：先计算绝对值$|-6|$，再分别计算乘法部分和除法部分，最后将两部分结果相加即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}&(-1)^4 × ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) ÷ ( -\frac{1}{6} )\\=&1 × ( \frac{3}{6} - \frac{2}{6} ) × (-6)\\=&1 × \frac{1}{6} × (-6)\\=&-1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&-\frac{1}{2} × |-6| + ( -\frac{3}{4} ) ÷ ( -\frac{3}{8} )\\=&-\frac{1}{2} × 6 + ( -\frac{3}{4} ) × ( -\frac{8}{3} )\\=&-3 + 2\\=&-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
有理数混合运算，绝对值化简，乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查有理数混合运算的顺序以及符号判断规则，熟练掌握运算法则、计算时注意符号即可正确求解，是巩固有理数运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.85
11. 面积为1$\mathrm{m}^2$的长方形纸片，第1次裁去一半，第2次裁去剩下长方形纸片的一半，如此裁下去，裁第6次后剩下的纸片面积是多少？
答案
第1次裁后剩下纸片的面积为$\frac{1}{2}\mathrm{m}^2$;第2次裁后剩下纸片的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}(\mathrm{m}^2)$;第6次裁后剩下纸片的面积为$(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{64}(\mathrm{m}^2)$。
解析
【分析】
我们可以先从简单的前几次裁剪后剩余的面积入手寻找规律：每次裁去一半，意味着每次裁剪后剩下的面积都是裁剪前面积的$\frac{1}{2}$。第1次裁剪后剩下的是原面积的$\frac{1}{2}$，第2次是第1次剩下的$\frac{1}{2}$也就是原面积的$(\frac{1}{2})^2$，以此类推，第n次裁剪后剩下的面积就是原面积乘以$(\frac{1}{2})^n$，最后代入n=6计算即可。
【解析】
已知原长方形纸片面积为$1\mathrm{m}^2$：
第1次裁去一半后，剩下的纸片面积为$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{m}^2$；
第2次裁去剩下的一半后，剩下的纸片面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\mathrm{m}^2$；
按照此规律可得，第$n$次裁剪后剩下的纸片面积为$(\frac{1}{2})^n\mathrm{m}^2$。
因此裁第6次后，剩下的纸片面积为$(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{64}\mathrm{m}^2$。
【答案】
$\frac{1}{64}\mathrm{m}^2$
【知识点】
乘方的应用；有理数乘方运算；规律归纳
【点评】
本题解题的核心是先通过前几次的计算归纳出剩余面积的变化规律，再结合乘方的定义进行计算，需要注意裁剪次数和乘方指数的对应关系，避免指数写错。
【难度系数】
0.8
我们可以先从简单的前几次裁剪后剩余的面积入手寻找规律：每次裁去一半，意味着每次裁剪后剩下的面积都是裁剪前面积的$\frac{1}{2}$。第1次裁剪后剩下的是原面积的$\frac{1}{2}$，第2次是第1次剩下的$\frac{1}{2}$也就是原面积的$(\frac{1}{2})^2$，以此类推，第n次裁剪后剩下的面积就是原面积乘以$(\frac{1}{2})^n$，最后代入n=6计算即可。
【解析】
已知原长方形纸片面积为$1\mathrm{m}^2$：
第1次裁去一半后，剩下的纸片面积为$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{m}^2$；
第2次裁去剩下的一半后，剩下的纸片面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\mathrm{m}^2$；
按照此规律可得，第$n$次裁剪后剩下的纸片面积为$(\frac{1}{2})^n\mathrm{m}^2$。
因此裁第6次后，剩下的纸片面积为$(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{64}\mathrm{m}^2$。
【答案】
$\frac{1}{64}\mathrm{m}^2$
【知识点】
乘方的应用；有理数乘方运算；规律归纳
【点评】
本题解题的核心是先通过前几次的计算归纳出剩余面积的变化规律，再结合乘方的定义进行计算，需要注意裁剪次数和乘方指数的对应关系，避免指数写错。
【难度系数】
0.8
