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9. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$CD ⊥$直径$AB$于点$D$，$E$为半径$OA$上一点，连结$CE$并延长，交$\odot O$于点$F$，且$AF=EF$。
（1）求证：$CE$平分$∠ ACD$。
（2）若$OD=OE=1$，求半径$OA$的长度。
（1）求证：$CE$平分$∠ ACD$。
（2）若$OD=OE=1$，求半径$OA$的长度。
答案
9. （1）连结BF。因为AF=EF,所以$∠ FAE=∠ FEA=∠ CED$。因为AB 为$\odot O$的直径,所以$∠ ABF+∠ FAE=90°$。因为$∠ CED+∠ ECD=90°$,$∠ ACF=∠ ABF$,所以$∠ ACE=∠ ECD$,所以CE 平分$∠ ACD$。
（2）因为$∠ FAE=∠ FEA=∠ CED$,$∠ FAE=∠ BCE$,所以$∠ CEB=∠ BCE$,所以BE=BC。设$\odot O$的半径为r,由$AC^2-AD^2=CD^2=BC^2-BD^2$,$AC^2=AB^2-BC^2$,可得$(2r)^2-(r+1)^2-(r+1)^2=CD^2=(r+1)^2-(r-1)^2$,即$r^2-4r-1=0$,解得$r=2+\sqrt{5}$或$r=2-\sqrt{5}$(舍去),所以$OA=2+\sqrt{5}$。
（2）因为$∠ FAE=∠ FEA=∠ CED$,$∠ FAE=∠ BCE$,所以$∠ CEB=∠ BCE$,所以BE=BC。设$\odot O$的半径为r,由$AC^2-AD^2=CD^2=BC^2-BD^2$,$AC^2=AB^2-BC^2$,可得$(2r)^2-(r+1)^2-(r+1)^2=CD^2=(r+1)^2-(r-1)^2$,即$r^2-4r-1=0$,解得$r=2+\sqrt{5}$或$r=2-\sqrt{5}$(舍去),所以$OA=2+\sqrt{5}$。
解析
【分析】
（1）要证明CE平分∠ACD，即需证∠ACE=∠ECD。我们可以先连结辅助线BF，利用等腰三角形等边对等角、对顶角相等的性质得到角的相等关系，再结合直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等、直角三角形两锐角互余的性质，通过等量代换即可证明角相等，得到角平分线的结论。
（2）要求半径OA的长度，先通过角的等量代换推导出BE=BC，再设半径为r，将图中相关线段用含r的代数式表示，利用CD作为公共直角边，结合勾股定理建立关于r的方程，解方程后舍去不符合实际意义的负根，即可得到半径长度。
【解析】
（1）证明：连结BF。
∵$AF=EF$，
∴$∠FAE=∠FEA$，
∵$∠FEA$与$∠CED$是对顶角，
∴$∠FEA=∠CED$，即$∠FAE=∠CED$。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠AFB=90°$，即$∠ABF+∠FAE=90°$。
∵$CD⊥AB$，
∴$∠CDE=90°$，即$∠CED+∠ECD=90°$。
又
∵$∠ACF$和$∠ABF$都是弧AF所对的圆周角，
∴$∠ACF=∠ABF$，
通过等量代换可得$∠ACE=∠ECD$，因此CE平分$∠ACD$。
（2）解：
∵$∠FAE=∠FEA=∠CED$，且$∠FAE$与$∠BCE$都是弧BF所对的圆周角，
∴$∠FAE=∠BCE$，即$∠CED=∠BCE$。
∵AB为直径，
∴$∠ACB=90°$，即$∠BCE+∠ACE=90°$，
又
∵$CD⊥AB$，
∴$∠CEB+∠ECD=90°$，结合（1）中$∠ACE=∠ECD$，可得$∠CEB=∠BCE$，
∴$BE=BC$。
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OB=r$，
∵$OD=OE=1$，
∴$AD=OA+OD=r+1$，$BD=OB-OD=r-1$，$BE=OB+OE=r+1$，即$BC=r+1$。
在$Rt△ACD$和$Rt△BCD$中，由勾股定理得$CD^2=AC^2-AD^2$，$CD^2=BC^2-BD^2$，
又
∵$∠ACB=90°$，在$Rt△ABC$中$AC^2=AB^2-BC^2=(2r)^2-(r+1)^2$，
代入上述等式可得：
$(2r)^2-(r+1)^2-(r+1)^2=(r+1)^2-(r-1)^2$
整理得$r^2-4r-1=0$，解得$r=2+\sqrt{5}$或$r=2-\sqrt{5}$（半径为正，舍去负根），
因此$OA=2+\sqrt{5}$。
【答案】
（1）CE平分$∠ACD$，证明成立；
（2）$OA=2+\sqrt{5}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 等腰三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合类基础题，解题的核心是灵活运用圆周角的性质完成角的等量代换，再结合等腰三角形和勾股定理的知识建立方程求解，能够很好地考查学生对圆相关性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明CE平分∠ACD，即需证∠ACE=∠ECD。我们可以先连结辅助线BF，利用等腰三角形等边对等角、对顶角相等的性质得到角的相等关系，再结合直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等、直角三角形两锐角互余的性质，通过等量代换即可证明角相等，得到角平分线的结论。
（2）要求半径OA的长度，先通过角的等量代换推导出BE=BC，再设半径为r，将图中相关线段用含r的代数式表示，利用CD作为公共直角边，结合勾股定理建立关于r的方程，解方程后舍去不符合实际意义的负根，即可得到半径长度。
【解析】
（1）证明：连结BF。
∵$AF=EF$，
∴$∠FAE=∠FEA$，
∵$∠FEA$与$∠CED$是对顶角，
∴$∠FEA=∠CED$，即$∠FAE=∠CED$。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠AFB=90°$，即$∠ABF+∠FAE=90°$。
∵$CD⊥AB$，
∴$∠CDE=90°$，即$∠CED+∠ECD=90°$。
又
∵$∠ACF$和$∠ABF$都是弧AF所对的圆周角，
∴$∠ACF=∠ABF$，
通过等量代换可得$∠ACE=∠ECD$，因此CE平分$∠ACD$。
（2）解：
∵$∠FAE=∠FEA=∠CED$，且$∠FAE$与$∠BCE$都是弧BF所对的圆周角，
∴$∠FAE=∠BCE$，即$∠CED=∠BCE$。
∵AB为直径，
∴$∠ACB=90°$，即$∠BCE+∠ACE=90°$，
又
∵$CD⊥AB$，
∴$∠CEB+∠ECD=90°$，结合（1）中$∠ACE=∠ECD$，可得$∠CEB=∠BCE$，
∴$BE=BC$。
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OB=r$，
∵$OD=OE=1$，
∴$AD=OA+OD=r+1$，$BD=OB-OD=r-1$，$BE=OB+OE=r+1$，即$BC=r+1$。
在$Rt△ACD$和$Rt△BCD$中，由勾股定理得$CD^2=AC^2-AD^2$，$CD^2=BC^2-BD^2$，
又
∵$∠ACB=90°$，在$Rt△ABC$中$AC^2=AB^2-BC^2=(2r)^2-(r+1)^2$，
代入上述等式可得：
$(2r)^2-(r+1)^2-(r+1)^2=(r+1)^2-(r-1)^2$
整理得$r^2-4r-1=0$，解得$r=2+\sqrt{5}$或$r=2-\sqrt{5}$（半径为正，舍去负根），
因此$OA=2+\sqrt{5}$。
【答案】
（1）CE平分$∠ACD$，证明成立；
（2）$OA=2+\sqrt{5}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 等腰三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合类基础题，解题的核心是灵活运用圆周角的性质完成角的等量代换，再结合等腰三角形和勾股定理的知识建立方程求解，能够很好地考查学生对圆相关性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
