1. 判断下列命题的真假。若是真命题，在括号内打“√”，否则在括号内打“×”。
（1）各边都相等的多边形是正多边形。 （）
（2）各内角都相等的多边形是正多边形。 （）
（3）每条边都相等的圆内接多边形是正多边形。 （）

1. (1) × (2) × (3) √

【分析】
解题时首先要明确正多边形的判定核心：需同时满足各边相等、各内角相等两个条件，二者缺一不可。接下来逐个分析命题：①对于前两个未限定前提的多边形命题，可通过举反例判断是否同时满足两个条件，能找到反例即为假命题；②第三个命题带有“圆内接多边形”的前提，需要结合圆的弦、弧、圆周角的对应关系，判断能否由“各边相等”推导出“各内角也相等”，若两个条件都能满足则为真命题。
【解析】
（1）正多边形需要同时满足各边相等、各内角相等两个要求。反例：菱形的四条边都相等，但它的邻角不一定相等，内角不全相等，因此菱形不是正多边形，故该命题为假命题。
（2）同理，反例：矩形的四个内角都是90°，全部相等，但它的长和宽不一定相等，边长不全相等，因此矩形不是正多边形，故该命题为假命题。
（3）对于圆内接多边形，若每条边都相等，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得各边所对的劣弧都相等；每个内角作为圆周角，所对的弧也全部相等，因此各个内角也相等。该多边形同时满足各边相等、各内角相等，属于正多边形，故该命题为真命题。
【答案】
(1) × (2) × (3) √
【知识点】
正多边形的判定；同圆弦与弧的关系；圆内接多边形性质
【点评】
本题属于正多边形判定的基础题，易错点是容易忽略正多边形需要同时满足边等和角等两个条件，以及忽略“圆内接”这一特殊前提带来的性质推导，解题时注意区分普通多边形和有附加条件的多边形的判定差异。
【难度系数】
0.75

2. 一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为$72°$，则该正多边形的边数是（）。

A.3
B.4
C.5
D.6

2. C

【分析】
拿到本题首先回忆圆内接正多边形的性质：正多边形的各边长度相等，因此每条边所对的圆心角都相等，且所有边对应的圆心角之和为周角$360°$。要求正多边形的边数，只需用总圆心角$360°$除以单条边对应的圆心角度数即可，解题思路清晰直接。
【解析】
解：设该正多边形的边数为$n$。
∵圆内接正多边形的所有边所对的圆心角之和为$360°$，且正多边形各边对应的圆心角度数相等，
∴可得等式：$n×72°=360°$
解得：$n=360°÷72°=5$
因此该正多边形的边数是5。
【答案】
C
【知识点】
1.正多边形与圆的关系
2.正多边形中心角性质
【点评】
本题属于基础题，考查正多边形中心角与边数的对应关系，熟练掌握正多边形中心角总和为$360°$的性质即可快速求解，是正多边形模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9

3. (1) 已知正多边形的一个内角为$135°$,则该正多边形是正边形。
(2) 已知一个正多边形的每个外角都等于$36°$,那么它是正边形。

3. (1) 八 (2) 十

【分析】
(1) 已知正多边形的一个内角度数，有两种解题思路：思路一，先根据“正多边形的内角与相邻外角互补”求出单个外角的度数，再结合“任意多边形的外角和恒为360°”，用外角和除以单个外角度数即可得到边数，该方法更简便；思路二，设边数为n，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，结合“正多边形内角和=单个内角度数×边数”列方程求解。
(2) 已知正多边形的单个外角度数，直接利用多边形外角和为360°，用外角和除以单个外角度数即可求出边数。
【解析】
(1)
∵正多边形的一个内角为$135°$，且内角与相邻外角互补
∴该正多边形的一个外角度数为$180° - 135° = 45°$
∵任意多边形的外角和为$360°$，正多边形各外角相等
∴边数$n = 360° ÷ 45° = 8$，即该正多边形为正八边形。
(2)
∵正多边形的每个外角为$36°$，多边形外角和为$360°$
∴边数$n = 360° ÷ 36° = 10$，即该正多边形为正十边形。
【答案】
(1) 八；(2) 十
【知识点】
正多边形的性质；多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题是正多边形相关的基础计算题，核心考查正多边形内角与外角的关系，利用外角和恒为360°的性质计算边数比用内角和公式更快捷，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85

4. 如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，点F为AE的中点，则$∠ ABF$的度数是。

4. 18°

【分析】
解题时首先回忆正多边形与外接圆的关系：正n边形内接于圆时，各边所对的劣弧度数相等，均为360°÷n。结合本题正五边形，可先算出每段劣弧的度数；再根据F是AE中点，求出弧AF的度数；最后利用圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，找到∠ABF所对的弧，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴正五边形的各边所对的劣弧度数相等，
每段劣弧的度数为：$360°÷5=72°$，即$\overset{\frown}{AE}=72°$。
∵点F为$\overset{\frown}{AE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AF}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AE}=\frac{1}{2}×72°=36°$。
∵$∠ ABF$是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AF}$，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴$∠ ABF=\frac{1}{2}×36°=18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
正多边形与圆、弧的中点性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆与正多边形结合的基础题，解题核心是将正多边形的边的关系转化为外接圆上弧的关系，再结合圆周角定理求解角度，是这部分知识的常考题型。
【难度系数】
0.7

5. 一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和为$1620°$,则它是正边形。

5. 九

【分析】
解题时首先回忆多边形的相关性质：任意多边形的外角和恒为360°，n边形的内角和为$(n-2)×180°$（n为边数，n≥3且为整数）。题目给出内角和与外角和的总和，我们可以先减去固定的外角和得到内角和，再代入内角和公式列方程求解边数n即可。
【解析】
设该正多边形的边数为n。
∵ 任意多边形的外角和均为$360°$
∴ 该正多边形的内角和为$1620° - 360° = 1260°$
根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180° = 1260°$
等式两边同时除以$180°$得：$n-2 = 7$
解得：$n=9$
【答案】
九
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，核心是对多边形内角和、外角和性质的应用，只要牢记相关公式和固定结论，通过简单的方程计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8

6. （多选题）下列用尺规等分圆周的说法中，正确的是()。

A.在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆
B.作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆
C.按选项A的方法将圆六等分，再平分六条弦，就可以十二等分圆
D.按选项A的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆

6. ABCD

【分析】
本题考查尺规等分圆周的判断，解题思路是结合圆的性质、圆心角与等分圆周的关系：将圆周n等分，等价于将周角360°分成n个相等的圆心角，每个圆心角为$\frac{360°}{n}$，据此逐个验证每个选项的操作能否得到符合要求的相等圆心角即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若弦长等于半径，那么弦的两个端点和圆心构成等边三角形，对应圆心角为60°，$\frac{360°}{60°}=6$，因此依次截取等于半径的弦可将圆六等分，该选项正确。
B选项：相互垂直的两条直径将周角分成4个90°的圆心角，$\frac{360°}{90°}=4$，因此可将圆四等分，该选项正确。
C选项：六等分圆时每个圆心角为60°，用尺规作弦的垂直平分线可平分对应弦和其所对的弧，平分后每个圆心角变为30°，$\frac{360°}{30°}=12$，因此可以十二等分圆，该选项正确。
D选项：六等分圆的每个圆心角为60°，取三个不相邻的等分点，相邻两点对应的圆心角为$60°×2=120°$，$\frac{360°}{120°}=3$，因此这三个点可三等分圆，该选项正确。
综上四个选项均正确。
【答案】
ABCD
【知识点】
正多边形与圆；尺规作图；等分圆周
【点评】
本题围绕常见的尺规等分圆周的方法命题，需要熟练掌握圆心角和圆周等分的对应关系，以及3、4、6、12等常见等分数的操作方法，对基础概念的掌握要求较高，做题时注意不要漏选正确选项。
【难度系数】
0.7

7. 用直尺和圆规作如图图案(尺寸大小不限)。 (第7题)

解：
作法如下：
1. 任取一点O，以适当长度为半径作⊙O；
2. 过点O作⊙O的任意一条直径AC，再作直径AC的垂线，交⊙O于B、D两点，得到互相垂直的两条直径AC、BD，将⊙O四等分，顺次连接A、B、C、D，得到第一个圆内接正方形；
3. 分别作∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOA的角平分线，四条角平分线分别交⊙O于点E、F、G、H，此时点A、E、B、F、C、G、D、H将⊙O八等分；
4. 顺次连接E、F、G、H，得到第二个旋转了45°的同圆内接正方形；
5. 保留所作的⊙O和两个正方形的所有边，即可得到题图所示的图案。

【分析】
观察图案可知，该图案由1个圆和2个内接于同圆、夹角为45°的正方形组成。作图时可按照从整体到局部的思路分步操作：首先作基础的圆；其次将圆四等分，顺次连接四等分点得到第一个正方形；接着将圆八等分，取其中间隔的四个等分点顺次连接，得到旋转45°的第二个正方形；最后保留作图痕迹即可得到目标图案。
【解析】
按照尺规作图的规范步骤操作如下：
1. 任取一点O，以适当长度为半径作⊙O；
2. 过点O作⊙O的任意一条直径AC，再用尺规作AC的垂线，交⊙O于B、D两点，得到互相垂直的两条直径AC、BD，此时A、B、C、D为⊙O的四等分点，顺次连接A、B、C、D，得到第一个圆内接正方形；
3. 分别用尺规作∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOA的角平分线，四条角平分线分别交⊙O于点E、F、G、H，此时A、E、B、F、C、G、D、H将⊙O八等分；
4. 顺次连接E、F、G、H，得到第二个与第一个正方形夹角为45°的同圆内接正方形；
5. 保留所作的⊙O和两个正方形的所有边，即为所求图案。
【答案】
作法如下：
1. 任取一点O，以适当长度为半径作⊙O；
2. 过点O作⊙O的任意一条直径AC，再作直径AC的垂线，交⊙O于B、D两点，得到互相垂直的两条直径AC、BD，将⊙O四等分，顺次连接A、B、C、D，得到第一个圆内接正方形；
3. 分别作∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOA的角平分线，四条角平分线分别交⊙O于点E、F、G、H，此时点A、E、B、F、C、G、D、H将⊙O八等分；
4. 顺次连接E、F、G、H，得到第二个旋转了45°的同圆内接正方形；
5. 保留所作的⊙O和两个正方形的所有边，即可得到题图所示的图案。
【知识点】
1. 尺规作图
2. 正多边形与圆
3. 垂线与角平分线作图
【点评】
本题属于尺规作图基础应用题，需要先拆解图案的构成要素，结合圆的等分方法分步完成作图，重点考查对基本尺规作图操作的掌握和图案分析能力。
【难度系数】
0.8