8. 已知:如图,在圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC,BD交于点P。
(1) 求∠APD的度数。
(2) 求证:四边形EAPD是菱形。

8. (1) 108° (2) 略

【分析】
(1) 求解∠APD度数时，先利用多边形内角和公式算出正五边形每个内角的度数，再结合正五边形各边相等得到等腰三角形，算出对应底角的度数，最后利用三角形内角和与邻补角的性质即可得出结果；
(2) 证明四边形EAPD是菱形时，先通过角度计算得到两组对边分别平行，证明该四边形是平行四边形，再结合正五边形邻边相等的性质，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵五边形ABCDE是圆内接正五边形
∴$AB=BC=CD$，正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
∴$∠ ABC=∠ BCD=108°$
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=108°$
∴$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-108°}{2}=36°$
同理可得$∠ CBD=36°$
∴$∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$
在$△ ABP$中，$∠ APB=180°-∠ BAC-∠ ABD=180°-36°-72°=72°$
∵$∠ APB+∠ APD=180°$
∴$∠ APD=180°-72°=108°$
(2) 证明：
∵五边形ABCDE是正五边形
∴$EA=ED$，$∠ EAB=∠ AED=∠ EDC=108°$
∵$∠ EAC=∠ EAB-∠ BAC=108°-36°=72°$
∴$∠ EAC+∠ APD=72°+108°=180°$，可得$EA// PD$
同理可得$∠ EDB=∠ EDC-∠ BDC=108°-36°=72°$
∴$∠ EDB+∠ APD=72°+108°=180°$，可得$ED// AP$
∴四边形EAPD是平行四边形
又
∵$EA=ED$
∴平行四边形EAPD是菱形
【答案】
(1) $108°$
(2) 证明见解析
【知识点】
正多边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定
【点评】
本题是正多边形性质与特殊四边形判定的综合题，解题核心是准确计算正五边形的内角、相关三角形的底角度数，熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.65

9. 如图是正六边形ABCDEF和正方形EFGH拼成的图形，连结BH。线段BH把如图图形分成两部分，这两部分的面积有什么关系？请说明理由。

9. 面积相等。提示:连结BF,CE。

【分析】
要判断BH分割的两部分面积关系，首先明确整体面积是正六边形与正方形的面积和，只需证明其中一部分面积等于整体面积的一半即可。结合提示连接BF、CE，先利用正六边形的性质，可将正六边形分割为两个全等的三角形和一个矩形，得到对应部分的面积关系；再结合正方形的性质，利用同底等高的三角形面积相等进行等积转化，即可推导得到一侧的面积恰好为整体面积的一半，进而判断两部分面积相等。
【解析】
两部分面积相等，理由如下：
1. 连接BF、CE。
2. 因为六边形ABCDEF是正六边形，所以AB=AF=CD=DE，∠A=∠D=120°，BC与EF平行且相等，可证四边形BCEF是矩形，且△ABF≌△CDE（SAS），因此$S_{△ ABF}=S_{△ CDE}$，$S_{△ BFE}=\frac{1}{2}S_{矩形BCEF}$。
3. 正六边形的面积$S_六 = S_{△ ABF} + S_{矩形BCEF} + S_{△ CDE} = 2(S_{△ ABF} + S_{△ BFE})$，即$S_{△ ABF} + S_{△ BFE} = \frac{1}{2}S_六$。
4. 因为四边形EFGH是正方形，所以EF⊥EH，又BF⊥EF，因此BF//EH，△BFH和△BFE同底BF，高为平行线BF与EH的距离，故$S_{△ BFH}=S_{△ BFE}$。
5. 经等积转化可得，BH分割后的任意一侧面积均为$\frac{1}{2}(S_六 + S_正)$，即等于整体面积的一半，因此两部分面积相等。
【答案】
面积相等
【知识点】
正多边形的性质，正方形的性质，等积变换
【点评】
本题结合正六边形和正方形的性质考查面积关系判断，解题的关键是合理添加辅助线，利用等积变换将未知面积转化为已知图形的面积，能较好地考查学生对几何图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.6