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10.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$BC$，$AC$边上的点，$∠ ADE=∠ C$。
(1)若$∠ 1=65°$，求$∠ 2$的度数；
(2)若$AD=AB$，$BD=10$，$CD=12$，$CE=14$，求$AE$的长。
(1)若$∠ 1=65°$，求$∠ 2$的度数；
(2)若$AD=AB$，$BD=10$，$CD=12$，$CE=14$，求$AE$的长。
答案
10. 解:(1)$\because∠ ADE=∠ C,∠ EAD=∠ DAC,$
$\therefore∠ AED=∠ ADC$。
$\because ∠ AED + ∠ 1 = 180°, ∠ ADC + ∠ 2=180°,$
$\therefore∠ 1=∠ 2$。
又$\because∠ 1=65°,\therefore∠ 2=65°$。
(2)$\because AD=AB,\therefore∠ B=∠ 2,$
$\therefore∠ B=∠ 1$。
$\because∠ C=∠ C,\therefore△ CBA∽△ CED$。
$\therefore \dfrac{BC}{CE}=\dfrac{AC}{CD}$。
设$AE=x$,则$\dfrac{10+12}{14}=\dfrac{x+14}{12},$
解得$x=\dfrac{34}{7}$,即$AE=\dfrac{34}{7}$。
$\therefore∠ AED=∠ ADC$。
$\because ∠ AED + ∠ 1 = 180°, ∠ ADC + ∠ 2=180°,$
$\therefore∠ 1=∠ 2$。
又$\because∠ 1=65°,\therefore∠ 2=65°$。
(2)$\because AD=AB,\therefore∠ B=∠ 2,$
$\therefore∠ B=∠ 1$。
$\because∠ C=∠ C,\therefore△ CBA∽△ CED$。
$\therefore \dfrac{BC}{CE}=\dfrac{AC}{CD}$。
设$AE=x$,则$\dfrac{10+12}{14}=\dfrac{x+14}{12},$
解得$x=\dfrac{34}{7}$,即$AE=\dfrac{34}{7}$。
解析
【分析】
(1)求解第一问时，先观察到∠ADE=∠C，且△ADE和△ACD有公共角∠EAD=∠DAC，结合三角形内角和定理可推出∠AED=∠ADC；再根据平角的性质，∠AED与∠1互补，∠ADC与∠2互补，由等角的补角相等即可得到∠2=∠1，代入已知角度即可得解。
(2)求解第二问时，先由AD=AB，根据等腰三角形等边对等角的性质得∠B=∠2，结合第一问的结论∠1=∠2可推出∠B=∠1；再结合公共角∠C=∠C判定△CBA∽△CED，根据相似三角形对应边成比例列等式，设AE长为x，代入各边长解方程即可求出AE的长度。
【解析】
(1)
∵∠ADE=∠C，∠EAD=∠DAC（公共角），
根据三角形内角和为180°，可得∠AED=180°-∠ADE-∠EAD，∠ADC=180°-∠C-∠DAC，
∴∠AED=∠ADC。
∵∠AED + ∠1 = 180°，∠ADC + ∠2 = 180°（平角的定义），
∴∠1=∠2（等角的补角相等）。
又
∵∠1=65°，
∴∠2=65°。
(2)
∵AD=AB，
∴∠B=∠2（等腰三角形等边对等角），
由(1)可知∠1=∠2，
∴∠B=∠1。
又
∵∠C=∠C（公共角），
∴△CBA∽△CED（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\dfrac{BC}{CE}=\dfrac{AC}{CD}$（相似三角形对应边成比例）。
设$AE=x$，则$AC=x+14$，$BC=BD+CD=10+12=22$，
代入比例式得：$\dfrac{22}{14}=\dfrac{x+14}{12}$，
解得$x=\dfrac{34}{7}$，即$AE=\dfrac{34}{7}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠2=65°}$
(2) $\boldsymbol{AE=\dfrac{34}{7}}$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 补角的性质
【点评】
本题前后问关联性较强，第一问通过基础的角的等量代换即可求解，第二问需要借助第一问的结论判定相似三角形，再列方程求解，既考查了三角形角的基本性质，也考查了相似三角形的应用，解题时注意利用已得的前问结论可以简化推导过程。
【难度系数】
0.7
(1)求解第一问时，先观察到∠ADE=∠C，且△ADE和△ACD有公共角∠EAD=∠DAC，结合三角形内角和定理可推出∠AED=∠ADC；再根据平角的性质，∠AED与∠1互补，∠ADC与∠2互补，由等角的补角相等即可得到∠2=∠1，代入已知角度即可得解。
(2)求解第二问时，先由AD=AB，根据等腰三角形等边对等角的性质得∠B=∠2，结合第一问的结论∠1=∠2可推出∠B=∠1；再结合公共角∠C=∠C判定△CBA∽△CED，根据相似三角形对应边成比例列等式，设AE长为x，代入各边长解方程即可求出AE的长度。
【解析】
(1)
∵∠ADE=∠C，∠EAD=∠DAC（公共角），
根据三角形内角和为180°，可得∠AED=180°-∠ADE-∠EAD，∠ADC=180°-∠C-∠DAC，
∴∠AED=∠ADC。
∵∠AED + ∠1 = 180°，∠ADC + ∠2 = 180°（平角的定义），
∴∠1=∠2（等角的补角相等）。
又
∵∠1=65°，
∴∠2=65°。
(2)
∵AD=AB，
∴∠B=∠2（等腰三角形等边对等角），
由(1)可知∠1=∠2，
∴∠B=∠1。
又
∵∠C=∠C（公共角），
∴△CBA∽△CED（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\dfrac{BC}{CE}=\dfrac{AC}{CD}$（相似三角形对应边成比例）。
设$AE=x$，则$AC=x+14$，$BC=BD+CD=10+12=22$，
代入比例式得：$\dfrac{22}{14}=\dfrac{x+14}{12}$，
解得$x=\dfrac{34}{7}$，即$AE=\dfrac{34}{7}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠2=65°}$
(2) $\boldsymbol{AE=\dfrac{34}{7}}$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 补角的性质
【点评】
本题前后问关联性较强，第一问通过基础的角的等量代换即可求解，第二问需要借助第一问的结论判定相似三角形，再列方程求解，既考查了三角形角的基本性质，也考查了相似三角形的应用，解题时注意利用已得的前问结论可以简化推导过程。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在矩形$ABCD$中,$BC=12\ \mathrm{cm}$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$P,Q$分别是$AB,BC$上运动的两点。若点$P$自点$A$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$AB$方向向点$B$运动,同时,点$Q$自点$B$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$BC$方向向点$C$运动,一点到达终点后,则另一点也停止运动,经过几秒,以$P,B,Q$为顶点的三角形与$△ BDC$相似?
答案
11. 解:设经过$x$ s后,$△ PBQ$与$△ BCD$相似,由题意知$∠ PBQ=∠ BCD=90°$。
①如图,当$∠ 1=∠ 2$时,有$△ PBQ∽△ DCB$,
$\therefore \dfrac{PB}{DC}=\dfrac{BQ}{BC}$,即$\dfrac{8-x}{8}=\dfrac{2x}{12}$,解得$x=\dfrac{24}{7}$。
②如图,当$∠ 1=∠ 3$时,有$△ PBQ∽△ BCD$,
$\therefore \dfrac{PB}{BC}=\dfrac{BQ}{DC}$,即$\dfrac{8-x}{12}=\dfrac{2x}{8}$,解得$x=2$。
$\therefore$经过$\dfrac{24}{7}$ s或2 s,以$P,B,Q$为顶点的三角形与$△ BDC$相似。
解析
【分析】
本题属于动点引发的相似三角形判定问题，解题思路如下：1. 首先由矩形性质可知，△PBQ和△BDC均为直角三角形，且∠PBQ=∠BCD=90°，因此两个三角形相似只需满足两组直角边对应成比例，对应关系有两种，需要分类讨论；2. 设运动时间为x s，根据点P、Q的运动速度可表示出边长：AP=x cm，故PB=(8-x)cm，BQ=2x cm，同时明确运动时间的取值范围：0＜x≤6（因为点Q6秒即可到达终点，运动随即停止）；3. 分别按照两种相似的对应边关系列比例方程，解方程后检验解是否在取值范围内，最终得到符合条件的时间。
【解析】
设经过$x$ s后，$△ PBQ$与$△ BCD$相似，由矩形的性质可得$∠ PBQ=∠ BCD=90°$。
①当$∠ 1=∠ 2$时，$△ PBQ∽△ DCB$，此时两组直角边对应成比例：
$\therefore \dfrac{PB}{DC}=\dfrac{BQ}{BC}$，即$\dfrac{8-x}{8}=\dfrac{2x}{12}$，
交叉相乘得$12(8-x)=16x$，整理得$28x=96$，解得$x=\dfrac{24}{7}$，$\dfrac{24}{7}＜6$，符合题意。
②当$∠ 1=∠ 3$时，$△ PBQ∽△ BCD$，此时两组直角边对应成比例：
$\therefore \dfrac{PB}{BC}=\dfrac{BQ}{DC}$，即$\dfrac{8-x}{12}=\dfrac{2x}{8}$，
交叉相乘得$8(8-x)=24x$，整理得$32x=64$，解得$x=2$，$2＜6$，符合题意。
【答案】
经过$\dfrac{24}{7}$ s或2 s，以$P,B,Q$为顶点的三角形与$△ BDC$相似。
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的动点相似问题，解题的核心是抓住两个三角形直角相等的前提，根据角的对应关系分情况讨论，列比例式求解，同时要注意结合运动的实际限制检验解的合理性，避免出现漏解或不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
本题属于动点引发的相似三角形判定问题，解题思路如下：1. 首先由矩形性质可知，△PBQ和△BDC均为直角三角形，且∠PBQ=∠BCD=90°，因此两个三角形相似只需满足两组直角边对应成比例，对应关系有两种，需要分类讨论；2. 设运动时间为x s，根据点P、Q的运动速度可表示出边长：AP=x cm，故PB=(8-x)cm，BQ=2x cm，同时明确运动时间的取值范围：0＜x≤6（因为点Q6秒即可到达终点，运动随即停止）；3. 分别按照两种相似的对应边关系列比例方程，解方程后检验解是否在取值范围内，最终得到符合条件的时间。
【解析】
设经过$x$ s后，$△ PBQ$与$△ BCD$相似，由矩形的性质可得$∠ PBQ=∠ BCD=90°$。
①当$∠ 1=∠ 2$时，$△ PBQ∽△ DCB$，此时两组直角边对应成比例：
$\therefore \dfrac{PB}{DC}=\dfrac{BQ}{BC}$，即$\dfrac{8-x}{8}=\dfrac{2x}{12}$，
交叉相乘得$12(8-x)=16x$，整理得$28x=96$，解得$x=\dfrac{24}{7}$，$\dfrac{24}{7}＜6$，符合题意。
②当$∠ 1=∠ 3$时，$△ PBQ∽△ BCD$，此时两组直角边对应成比例：
$\therefore \dfrac{PB}{BC}=\dfrac{BQ}{DC}$，即$\dfrac{8-x}{12}=\dfrac{2x}{8}$，
交叉相乘得$8(8-x)=24x$，整理得$32x=64$，解得$x=2$，$2＜6$，符合题意。
【答案】
经过$\dfrac{24}{7}$ s或2 s，以$P,B,Q$为顶点的三角形与$△ BDC$相似。
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的动点相似问题，解题的核心是抓住两个三角形直角相等的前提，根据角的对应关系分情况讨论，列比例式求解，同时要注意结合运动的实际限制检验解的合理性，避免出现漏解或不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
12.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P₁,P₂,P₃,P₄,P₅是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:
(1)求证:△ABC为直角三角形;
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P₁,P₂,P₃,P₄,P₅中的3个格点并且与△ABC相似。
(1)求证:△ABC为直角三角形;
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P₁,P₂,P₃,P₄,P₅中的3个格点并且与△ABC相似。
答案
12. (1)证明:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$。
显然有$AB^2+AC^2=BC^2$,
根据勾股定理的逆定理,得$△ ABC$为直角三角形。
(2)解:$△ ABC$和$△ DEF$相似。理由:
根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$,$DE=4\sqrt{2}$, $DF=2\sqrt{2}$,$EF=2\sqrt{10}$。
$\because \dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4},$
$\therefore△ ABC∽△ DEF$。
(3)解:如图,$△ P_2 P_4 P_5$即为所求。
解析
【分析】
(1)要证明△ABC是直角三角形，可使用勾股定理的逆定理，首先借助网格利用勾股定理分别计算△ABC三边的长度，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可。
(2)判断两个三角形是否相似，可通过三边对应成比例的判定定理，先同样用勾股定理计算△DEF的三边长，再计算两个三角形对应边的比值，若三组比值都相等则两三角形相似。
(3)要构造与△ABC相似的三角形，先得出△ABC的三边长度之比，再从P₁到P₅五个格点中选取三个，计算所选三点构成的三角形的三边比，找到与△ABC三边比相同的三角形即可。
【解析】
(1)证明：设小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵$AB^2+AC^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20+5=25=BC^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形。
(2)△ABC和△DEF相似，理由如下：
根据勾股定理计算△DEF的三边长：
$DE=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
$DF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$EF=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。
计算对应边的比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{5}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△DEF。
(3)△ABC的三边比为$AC:AB:BC=1:2:\sqrt{5}$，选取$P_2、P_4、P_5$三点，计算可得△$P_2P_4P_5$的三边长分别为$\sqrt{2}、2\sqrt{2}、\sqrt{10}$，三边比为$1:2:\sqrt{5}$，与△ABC三边比一致，故△$P_2P_4P_5$与△ABC相似。
【答案】
(1)证明:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$。
显然有$AB^2+AC^2=BC^2$,
根据勾股定理的逆定理,得$△ ABC$为直角三角形。
(2)解:$△ ABC$和$△ DEF$相似。理由:
根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$,$DE=4\sqrt{2}$, $DF=2\sqrt{2}$,$EF=2\sqrt{10}$。
$\because \dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4},$
$\therefore△ ABC∽△ DEF$。
(3)解:如图,$△ P_2 P_4 P_5$即为所求。
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，相似三角形判定
【点评】
本题结合网格背景考查直角三角形和相似三角形的相关判定，解题核心是灵活运用勾股定理计算网格内线段长度，再结合对应定理完成判断和构造，能够有效锻炼学生的几何计算能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABC是直角三角形，可使用勾股定理的逆定理，首先借助网格利用勾股定理分别计算△ABC三边的长度，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可。
(2)判断两个三角形是否相似，可通过三边对应成比例的判定定理，先同样用勾股定理计算△DEF的三边长，再计算两个三角形对应边的比值，若三组比值都相等则两三角形相似。
(3)要构造与△ABC相似的三角形，先得出△ABC的三边长度之比，再从P₁到P₅五个格点中选取三个，计算所选三点构成的三角形的三边比，找到与△ABC三边比相同的三角形即可。
【解析】
(1)证明：设小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵$AB^2+AC^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20+5=25=BC^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形。
(2)△ABC和△DEF相似，理由如下：
根据勾股定理计算△DEF的三边长：
$DE=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
$DF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$EF=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。
计算对应边的比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{5}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△DEF。
(3)△ABC的三边比为$AC:AB:BC=1:2:\sqrt{5}$，选取$P_2、P_4、P_5$三点，计算可得△$P_2P_4P_5$的三边长分别为$\sqrt{2}、2\sqrt{2}、\sqrt{10}$，三边比为$1:2:\sqrt{5}$，与△ABC三边比一致，故△$P_2P_4P_5$与△ABC相似。
【答案】
(1)证明:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$。
显然有$AB^2+AC^2=BC^2$,
根据勾股定理的逆定理,得$△ ABC$为直角三角形。
(2)解:$△ ABC$和$△ DEF$相似。理由:
根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$,$DE=4\sqrt{2}$, $DF=2\sqrt{2}$,$EF=2\sqrt{10}$。
$\because \dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4},$
$\therefore△ ABC∽△ DEF$。
(3)解:如图,$△ P_2 P_4 P_5$即为所求。
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，相似三角形判定
【点评】
本题结合网格背景考查直角三角形和相似三角形的相关判定，解题核心是灵活运用勾股定理计算网格内线段长度，再结合对应定理完成判断和构造，能够有效锻炼学生的几何计算能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.7
