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1.(新情境·现实生活)均匀地向一个容器注水,最后把容器注满,在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为折线),这个容器的形状可以是( )
A
B
C D
A
B
C D
答案
C
2. 已知一次函数y= (k-2)x+17,当x= -3时,y= 2,则k的值为( )
A.-4
B.8
C.-3
D.7
A.-4
B.8
C.-3
D.7
答案
D
解析
将$x = -3$，$y = 2$代入$y=(k - 2)x+17$，得$2=(k - 2)×(-3)+17$。
$2=-3(k - 2)+17$
$-3(k - 2)=2 - 17$
$-3(k - 2)=-15$
$k - 2=5$
$k=7$
D
$2=-3(k - 2)+17$
$-3(k - 2)=2 - 17$
$-3(k - 2)=-15$
$k - 2=5$
$k=7$
D
3.(2023·金昌)若直线y= kx(k是常数,k≠0)经过第一、三象限,则k的值可以为( )
A.-2
B.-1
C.-0.5
D.2
A.-2
B.-1
C.-0.5
D.2
答案
D
解析
直线$y = kx$（$k$是常数，$k \neq 0$）经过第一、三象限，根据正比例函数性质，当$k＞0$时，函数图像经过第一、三象限。选项中$k=2＞0$，符合条件。
D
D
4. 已知$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是一次函数y= kx-3x+2的图象上不同的两个点,当$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$时,k的取值范围是( )
A.k＞3
B.k＜3
C.k＞2
D.k＜2
A.k＞3
B.k＜3
C.k＞2
D.k＜2
答案
B
解析
$y=(k-3)x+2$
$\because A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是该函数图象上不同的两点，且$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$
$\therefore y_1-y_2=(k-3)(x_1-x_2)$
$\therefore (x_1-x_2)(y_1-y_2)=(k-3)(x_1-x_2)^2＜0$
$\because (x_1-x_2)^2＞0$
$\therefore k-3＜0$
$\therefore k＜3$
B
$\because A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是该函数图象上不同的两点，且$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$
$\therefore y_1-y_2=(k-3)(x_1-x_2)$
$\therefore (x_1-x_2)(y_1-y_2)=(k-3)(x_1-x_2)^2＜0$
$\because (x_1-x_2)^2＞0$
$\therefore k-3＜0$
$\therefore k＜3$
B
5. 如图,一条直线经过点A(0,2)和点B(1,0),将此直线向左平移与x轴、y轴分别交于C,D两点.若DB= DC,则直线CD对应的函数表达式为( )
A.y= -x-1
B.y= -2x-2
C.y= -x-2
D.y= -2x-1
A.y= -x-1
B.y= -2x-2
C.y= -x-2
D.y= -2x-1
答案
B
解析
设直线AB的函数表达式为$y = kx + b$。
将$A(0,2)$代入得$b = 2$。
将$B(1,0)$代入$y = kx + 2$，得$k + 2 = 0$，解得$k = -2$。
故直线AB：$y = -2x + 2$。
设直线CD为直线AB向左平移$m$个单位（$m ＞ 0$），表达式为$y = -2(x + m) + 2 = -2x - 2m + 2$。
令$x = 0$，得$D(0, -2m + 2)$；令$y = 0$，得$C(-m, 0)$。
已知$DB = DC$，$B(1,0)$，$C(-m,0)$，$D(0, -2m + 2)$。
$DB^2 = (1 - 0)^2 + (0 - (-2m + 2))^2 = 1 + (2m - 2)^2$，
$DC^2 = (-m - 0)^2 + (0 - (-2m + 2))^2 = m^2 + (2m - 2)^2$。
由$DB = DC$得$DB^2 = DC^2$，即$1 + (2m - 2)^2 = m^2 + (2m - 2)^2$，
化简得$1 = m^2$，$m = 1$（$m ＞ 0$）。
故直线CD：$y = -2x - 2×1 + 2 = -2x - 2$。
B
将$A(0,2)$代入得$b = 2$。
将$B(1,0)$代入$y = kx + 2$，得$k + 2 = 0$，解得$k = -2$。
故直线AB：$y = -2x + 2$。
设直线CD为直线AB向左平移$m$个单位（$m ＞ 0$），表达式为$y = -2(x + m) + 2 = -2x - 2m + 2$。
令$x = 0$，得$D(0, -2m + 2)$；令$y = 0$，得$C(-m, 0)$。
已知$DB = DC$，$B(1,0)$，$C(-m,0)$，$D(0, -2m + 2)$。
$DB^2 = (1 - 0)^2 + (0 - (-2m + 2))^2 = 1 + (2m - 2)^2$，
$DC^2 = (-m - 0)^2 + (0 - (-2m + 2))^2 = m^2 + (2m - 2)^2$。
由$DB = DC$得$DB^2 = DC^2$，即$1 + (2m - 2)^2 = m^2 + (2m - 2)^2$，
化简得$1 = m^2$，$m = 1$（$m ＞ 0$）。
故直线CD：$y = -2x - 2×1 + 2 = -2x - 2$。
B
6.(2024·潍坊)有下面两个条件：①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交.请写出一个能同时满足上述两个条件的函数表达式：______.
答案
答案不唯一,如y = -x + 2
解析
y = -x + 2
7. 若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在一次函数y= (a-2)x+1的图象上,且当$x_1＞x_2$时$,y_1＜y_2,$则a的取值范围是______.
答案
a ＜ 2
解析
因为点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在一次函数$y=(a - 2)x + 1$的图象上，且当$x_1＞x_2$时，$y_1＜y_2$，所以该一次函数的函数值随自变量的增大而减小。对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），当$k＜0$时，函数值随自变量的增大而减小。此函数中$k = a - 2$，所以$a - 2＜0$，解得$a＜2$。
$a＜2$
$a＜2$
8.(2023·乌海)在平面直角坐标系中,将正比例函数y= -2x的图象向右平移3个单位长度得到的图象对应的函数表达式为______.
答案
y = -2x + 6
解析
y=-2(x-3)
y=-2x+6
y=-2x+6
9. 已知一次函数$y_1= kx-2k(k$是常数)和$y_2= -x+1.$
(1)无论k取何值,函数$y_1= kx-2k(k$是常数)的图象都经过同一个点,其坐标是______；
(2)若无论x取何值$,y_1＞y_2,$则k的值是______.
(1)无论k取何值,函数$y_1= kx-2k(k$是常数)的图象都经过同一个点,其坐标是______；
(2)若无论x取何值$,y_1＞y_2,$则k的值是______.
答案
(1)(2,0)
(2)-1
10.(2024·沭阳段考)已知一次函数y= kx+b,当-2≤x≤2时,-3≤y≤5,则kb= ______.
答案
2或 - 2 解析:
∵一次函数y = kx + b,当 - 2 ≤ x ≤ 2时, - 3 ≤ y ≤ 5,
∴分两种情况讨论:①当k ＞ 0时,y随x的增大而增大,即当x = - 2时,y = - 3;当x = 2时,y = 5.
∴{-2k + b = - 3,2k + b = 5},解得{k = 2,b = 1}.
∴kb = 2×1 = 2.②当k ＜ 0时,y随x的增大而减小,即当x = - 2时,y = 5;当x = 2时,y = - 3.
∴{-2k + b = 5,2k + b = - 3},解得{k = - 2,b = 1}.
∴kb = (-2)×1 = - 2.综上所述,kb = 2或 - 2.
∵一次函数y = kx + b,当 - 2 ≤ x ≤ 2时, - 3 ≤ y ≤ 5,
∴分两种情况讨论:①当k ＞ 0时,y随x的增大而增大,即当x = - 2时,y = - 3;当x = 2时,y = 5.
∴{-2k + b = - 3,2k + b = 5},解得{k = 2,b = 1}.
∴kb = 2×1 = 2.②当k ＜ 0时,y随x的增大而减小,即当x = - 2时,y = 5;当x = 2时,y = - 3.
∴{-2k + b = 5,2k + b = - 3},解得{k = - 2,b = 1}.
∴kb = (-2)×1 = - 2.综上所述,kb = 2或 - 2.
11. 如图,点A,B的坐标分别为(-2,3),(2,1),直线y= kx+k经过点P(-1,0).试探究直线y= kx+k与线段AB有交点时k的变化情况,猜想k的取值范围是______.
答案
k ≤ - 3或k ≥ $\frac{1}{3}$
解析
将点$P(-1,0)$代入$y = kx + k$，等式成立，直线恒过点$P$。
当直线过点$A(-2,3)$时，$3=-2k + k$，解得$k=-3$。
当直线过点$B(2,1)$时，$1=2k + k$，解得$k=\frac{1}{3}$。
观察图像，直线绕点$P$旋转，与线段$AB$有交点时，$k \leq - 3$或$k \geq \frac{1}{3}$。
$k \leq - 3$或$k \geq \frac{1}{3}$
当直线过点$A(-2,3)$时，$3=-2k + k$，解得$k=-3$。
当直线过点$B(2,1)$时，$1=2k + k$，解得$k=\frac{1}{3}$。
观察图像，直线绕点$P$旋转，与线段$AB$有交点时，$k \leq - 3$或$k \geq \frac{1}{3}$。
$k \leq - 3$或$k \geq \frac{1}{3}$
