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1. 新定义:我们把抛物线 $ y_1 = ax^2 + bx + c $ 与抛物线 $ y_2 = bx^2 + ax + c $（其中 $ ab≠0 $）称为“伴随抛物线”.例如:抛物线 $ y_1 = 3x^2 +4x +2 $ 的“伴随抛物线”为 $ y_2 =4x^2 +3x +2 $.已知抛物线 $ C_1: y_1 =2ax^2 +ax +a-2(a＞0) $ 的“伴随抛物线”为 $ C_2 $.
(1)求出 $ C_2 $ 的表达式(用含 $ a $ 的式子表示)及顶点坐标;
(2)过 $ x $ 轴上一点 $ P $,作 $ x $ 轴的垂线分别交抛物线 $ C_1,C_2 $ 于点 $ M,N $.当 $ MN=12a $ 时,点 $ P $ 的坐标为
(3)当 $ a-3≤x≤a-1 $ 时, $ C_2 $ 的最大值与最小值的差为 $ 2a $,则 $ a $ 的值为
(1)求出 $ C_2 $ 的表达式(用含 $ a $ 的式子表示)及顶点坐标;
(2)过 $ x $ 轴上一点 $ P $,作 $ x $ 轴的垂线分别交抛物线 $ C_1,C_2 $ 于点 $ M,N $.当 $ MN=12a $ 时,点 $ P $ 的坐标为
(-3,0)或(4,0)
;(3)当 $ a-3≤x≤a-1 $ 时, $ C_2 $ 的最大值与最小值的差为 $ 2a $,则 $ a $ 的值为
2-√2或√2
.答案
(1)根据“伴随抛物线”定义可知,抛物线$ C_2 $的函数表达式为$ y_2 = ax^2 +2ax +a-2(a＞0).\because y_2 = ax^2 +2ax +a-2 = a(x+1)^2 -2,\therefore $顶点坐标为 (-1,-2) .
(2) (-3,0) 或 (4,0) 解析:设点$ P(t,0),\because C_1:y_1 = 2ax^2 +ax +a-2(a＞0),C_2:y_2 = ax^2 +2ax +a-2(a＞0),\therefore M(t,2at^2 +at +a-2),N(t,at^2 +2at +a-2),\therefore MN = $|$2at^2 +at +a-2 -at^2 -2at -a +2$| = a|$t^2 -t$|.
$ \because MN=12a,\therefore a$|$t^2 -t$|$=12a,\therefore t^2 -t -12=0 $或$ t^2 -t +12=0 .$当$ t^2 -t +12=0 $时,判别式$ b^2 -4ac$＜0,
\therefore 方程无解;当 t^2 -t -12=0 时,解得 t_1=4,t_2=-3,
\therefore P(-3,0) 或 P(4,0) .
$(3) 2-\sqrt{2} $或$ \sqrt{2} $解析:由(1)得$ y_2 = a(x+1)^2 -2,\therefore $对称轴为直线 x=-1 ,当 x=-1 时, y=-2 .当 x=a-3 时$, y=a(a-3+1)^2 -2 = a(a-2)^2 -2 ;$当 x=a-1 时$, y=a(a-1+1)^2 -2 = a^3 -2 .$
根据题意可知,需要分三种情况讨论:
①当 a-3＜-1＜a-1 ,即 0＜a＜2 时,若 -1-(a-3)≥ a-1-(-1) ,即 0＜a≤1 ,则 y_{最大}=a(a-2)^2 -2,y_{最小}=-2,
\therefore a(a-2)^2 -2 -(-2)=2a ,解得 a=2-\sqrt{2} 或 a=2+\sqrt{2}(舍去) 或 a=0(舍去) ;若 -1-(a-3)＜a-1-(-1) ,即 1＜a＜2 时, y_{最大}=a^3 -2,y_{最小}=-2,
\therefore a^3 -2 -(-2)=2a ,解得 a=\sqrt{2} 或 a=-\sqrt{2}(舍去) 或 a=0(舍去) ;
②当 -1≤ a-3≤ a-1 ,即 a≥2 时$, y_{最大}=a^3 -2,y_{最小}=a(a-2)^2 -2 .$
$ \therefore a^3 -2 -[a(a-2)^2 -2]=2a ,$解得$ a=\frac{3}{2}($舍去) 或 a=0(舍去) ;
③当 a-3≤ a-1≤-1 ,即 a≤0 时$, \because a＞0,\therefore $此种情况不合题意,舍去.综上所述, a 的值为$ 2-\sqrt{2} $或$ \sqrt{2} .$
(2) (-3,0) 或 (4,0) 解析:设点$ P(t,0),\because C_1:y_1 = 2ax^2 +ax +a-2(a＞0),C_2:y_2 = ax^2 +2ax +a-2(a＞0),\therefore M(t,2at^2 +at +a-2),N(t,at^2 +2at +a-2),\therefore MN = $|$2at^2 +at +a-2 -at^2 -2at -a +2$| = a|$t^2 -t$|.
$ \because MN=12a,\therefore a$|$t^2 -t$|$=12a,\therefore t^2 -t -12=0 $或$ t^2 -t +12=0 .$当$ t^2 -t +12=0 $时,判别式$ b^2 -4ac$＜0,
\therefore 方程无解;当 t^2 -t -12=0 时,解得 t_1=4,t_2=-3,
\therefore P(-3,0) 或 P(4,0) .
$(3) 2-\sqrt{2} $或$ \sqrt{2} $解析:由(1)得$ y_2 = a(x+1)^2 -2,\therefore $对称轴为直线 x=-1 ,当 x=-1 时, y=-2 .当 x=a-3 时$, y=a(a-3+1)^2 -2 = a(a-2)^2 -2 ;$当 x=a-1 时$, y=a(a-1+1)^2 -2 = a^3 -2 .$
根据题意可知,需要分三种情况讨论:
①当 a-3＜-1＜a-1 ,即 0＜a＜2 时,若 -1-(a-3)≥ a-1-(-1) ,即 0＜a≤1 ,则 y_{最大}=a(a-2)^2 -2,y_{最小}=-2,
\therefore a(a-2)^2 -2 -(-2)=2a ,解得 a=2-\sqrt{2} 或 a=2+\sqrt{2}(舍去) 或 a=0(舍去) ;若 -1-(a-3)＜a-1-(-1) ,即 1＜a＜2 时, y_{最大}=a^3 -2,y_{最小}=-2,
\therefore a^3 -2 -(-2)=2a ,解得 a=\sqrt{2} 或 a=-\sqrt{2}(舍去) 或 a=0(舍去) ;
②当 -1≤ a-3≤ a-1 ,即 a≥2 时$, y_{最大}=a^3 -2,y_{最小}=a(a-2)^2 -2 .$
$ \therefore a^3 -2 -[a(a-2)^2 -2]=2a ,$解得$ a=\frac{3}{2}($舍去) 或 a=0(舍去) ;
③当 a-3≤ a-1≤-1 ,即 a≤0 时$, \because a＞0,\therefore $此种情况不合题意,舍去.综上所述, a 的值为$ 2-\sqrt{2} $或$ \sqrt{2} .$
解析
【分析】
(1) 首先根据“伴随抛物线”的定义，交换原抛物线$x^2$项和一次项的系数，常数项不变即可得到$C_2$的表达式，再将表达式配方为顶点式，就能直接读出顶点坐标。
(2) 设点$P$的横坐标为$t$，可得$M$、$N$两点的横坐标均为$t$，分别代入$C_1$、$C_2$的解析式得到两点纵坐标，两点纵坐标差的绝对值即为$MN$的长度，结合$MN=12a$列方程，结合$a＞0$约去$a$后解绝对值方程，舍去无实根的情况即可得到$t$的值，即得$P$点坐标。
(3) 由$C_2$的顶点式可知其开口向上、对称轴为$x=-1$，给定区间为$[a-3,a-1]$，结合$a＞0$分三种情况讨论：对称轴在区间内部、对称轴在区间左侧、对称轴在区间右侧，分别求出对应区间内的最大值和最小值，根据差为$2a$列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可得到$a$的值。
【解析】
(1) 根据“伴随抛物线”的定义，交换$C_1$中$x^2$项和一次项的系数，常数项不变，可得$C_2$的表达式为：
$y_2 = ax^2 + 2ax + a-2(a＞0)$
将其配方得：
$y_2 = a(x^2+2x+1) -2 = a(x+1)^2 -2$
因此$C_2$的顶点坐标为$(-1,-2)$。
(2) 设点$P$的坐标为$(t,0)$，则$M$、$N$的横坐标均为$t$，代入解析式得：
$M(t, 2at^2 + at + a-2)$，$N(t, at^2 + 2at + a-2)$
则$MN = |y_M - y_N| = |2at^2 + at + a-2 - (at^2 + 2at + a-2)| = |at^2 - at| = a|t^2 - t|$
已知$MN=12a$，且$a＞0$，两边同时除以$a$得：
$|t^2 - t| =12$
即$t^2 -t =12$或$t^2 -t =-12$
对于方程$t^2 -t +12=0$，判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×12=-47＜0$，无实根；
对于方程$t^2 -t -12=0$，因式分解得$(t-4)(t+3)=0$，解得$t_1=4$，$t_2=-3$
因此点$P$的坐标为$(-3,0)$或$(4,0)$。
(3) 由(1)知$y_2=a(x+1)^2 -2$，$a＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点处取得最小值$-2$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=a-3$时，$y=a(a-3+1)^2 -2 = a(a-2)^2 -2$
当$x=a-1$时，$y=a(a-1+1)^2 -2 = a^3 -2$
分三种情况讨论：
① 当对称轴在区间内部，即$a-3 ＜ -1 ＜ a-1$，解得$0＜a＜2$：
若左端点到对称轴的距离大于等于右端点到对称轴的距离，即$-1-(a-3) ≥ a-1 - (-1)$，解得$0＜a≤1$，此时最大值在左端点取得，最小值为顶点值$-2$：
$a(a-2)^2 -2 - (-2) =2a$，化简得$a(a^2-4a+4)=2a$，$a＞0$约去$a$得$a^2-4a+4=2$，即$(a-2)^2=2$，解得$a=2+\sqrt{2}$（大于1，舍去）、$a=2-\sqrt{2}$（符合$0＜a≤1$，保留）、$a=0$（舍去）。
若左端点到对称轴的距离小于右端点到对称轴的距离，即$-1-(a-3) ＜ a-1 - (-1)$，解得$1＜a＜2$，此时最大值在右端点取得，最小值为顶点值$-2$：
$a^3 -2 - (-2) =2a$，化简得$a^3=2a$，$a＞0$约去$a$得$a^2=2$，解得$a=\sqrt{2}$（符合$1＜a＜2$，保留）、$a=-\sqrt{2}$（舍去）、$a=0$（舍去）。
② 当对称轴在区间左侧，即$-1 ≤ a-3$，解得$a≥2$，此时函数在区间上单调递增，最大值在右端点，最小值在左端点：
$a^3 -2 - [a(a-2)^2 -2] =2a$，化简得$a^3 -a(a^2-4a+4)=2a$，展开得$a^3 -a^3 +4a^2 -4a =2a$，即$4a^2-6a=0$，解得$a=0$（舍去）、$a=\frac{3}{2}$（小于2，舍去），此情况无解。
③ 当对称轴在区间右侧，即$a-1 ≤ -1$，解得$a≤0$，与题设$a＞0$矛盾，舍去。
综上，$a$的值为$2-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $C_2$的表达式为$y_2 = ax^2 +2ax +a-2(a＞0)$，顶点坐标为$(-1,-2)$；
(2) $(-3,0)$或$(4,0)$；
(3) $2-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数新定义；二次函数图象与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题以新定义“伴随抛物线”为背景，综合考查了二次函数解析式的确定、顶点坐标求解、函数值距离计算以及区间最值的分类讨论，解题的关键是准确理解新定义，清晰把握对称轴与给定区间的位置关系，同时注意求解后要结合前提条件对结果进行取舍，能够有效锻炼逻辑思维能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.4
(1) 首先根据“伴随抛物线”的定义，交换原抛物线$x^2$项和一次项的系数，常数项不变即可得到$C_2$的表达式，再将表达式配方为顶点式，就能直接读出顶点坐标。
(2) 设点$P$的横坐标为$t$，可得$M$、$N$两点的横坐标均为$t$，分别代入$C_1$、$C_2$的解析式得到两点纵坐标，两点纵坐标差的绝对值即为$MN$的长度，结合$MN=12a$列方程，结合$a＞0$约去$a$后解绝对值方程，舍去无实根的情况即可得到$t$的值，即得$P$点坐标。
(3) 由$C_2$的顶点式可知其开口向上、对称轴为$x=-1$，给定区间为$[a-3,a-1]$，结合$a＞0$分三种情况讨论：对称轴在区间内部、对称轴在区间左侧、对称轴在区间右侧，分别求出对应区间内的最大值和最小值，根据差为$2a$列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可得到$a$的值。
【解析】
(1) 根据“伴随抛物线”的定义，交换$C_1$中$x^2$项和一次项的系数，常数项不变，可得$C_2$的表达式为：
$y_2 = ax^2 + 2ax + a-2(a＞0)$
将其配方得：
$y_2 = a(x^2+2x+1) -2 = a(x+1)^2 -2$
因此$C_2$的顶点坐标为$(-1,-2)$。
(2) 设点$P$的坐标为$(t,0)$，则$M$、$N$的横坐标均为$t$，代入解析式得：
$M(t, 2at^2 + at + a-2)$，$N(t, at^2 + 2at + a-2)$
则$MN = |y_M - y_N| = |2at^2 + at + a-2 - (at^2 + 2at + a-2)| = |at^2 - at| = a|t^2 - t|$
已知$MN=12a$，且$a＞0$，两边同时除以$a$得：
$|t^2 - t| =12$
即$t^2 -t =12$或$t^2 -t =-12$
对于方程$t^2 -t +12=0$，判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×12=-47＜0$，无实根；
对于方程$t^2 -t -12=0$，因式分解得$(t-4)(t+3)=0$，解得$t_1=4$，$t_2=-3$
因此点$P$的坐标为$(-3,0)$或$(4,0)$。
(3) 由(1)知$y_2=a(x+1)^2 -2$，$a＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点处取得最小值$-2$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=a-3$时，$y=a(a-3+1)^2 -2 = a(a-2)^2 -2$
当$x=a-1$时，$y=a(a-1+1)^2 -2 = a^3 -2$
分三种情况讨论：
① 当对称轴在区间内部，即$a-3 ＜ -1 ＜ a-1$，解得$0＜a＜2$：
若左端点到对称轴的距离大于等于右端点到对称轴的距离，即$-1-(a-3) ≥ a-1 - (-1)$，解得$0＜a≤1$，此时最大值在左端点取得，最小值为顶点值$-2$：
$a(a-2)^2 -2 - (-2) =2a$，化简得$a(a^2-4a+4)=2a$，$a＞0$约去$a$得$a^2-4a+4=2$，即$(a-2)^2=2$，解得$a=2+\sqrt{2}$（大于1，舍去）、$a=2-\sqrt{2}$（符合$0＜a≤1$，保留）、$a=0$（舍去）。
若左端点到对称轴的距离小于右端点到对称轴的距离，即$-1-(a-3) ＜ a-1 - (-1)$，解得$1＜a＜2$，此时最大值在右端点取得，最小值为顶点值$-2$：
$a^3 -2 - (-2) =2a$，化简得$a^3=2a$，$a＞0$约去$a$得$a^2=2$，解得$a=\sqrt{2}$（符合$1＜a＜2$，保留）、$a=-\sqrt{2}$（舍去）、$a=0$（舍去）。
② 当对称轴在区间左侧，即$-1 ≤ a-3$，解得$a≥2$，此时函数在区间上单调递增，最大值在右端点，最小值在左端点：
$a^3 -2 - [a(a-2)^2 -2] =2a$，化简得$a^3 -a(a^2-4a+4)=2a$，展开得$a^3 -a^3 +4a^2 -4a =2a$，即$4a^2-6a=0$，解得$a=0$（舍去）、$a=\frac{3}{2}$（小于2，舍去），此情况无解。
③ 当对称轴在区间右侧，即$a-1 ≤ -1$，解得$a≤0$，与题设$a＞0$矛盾，舍去。
综上，$a$的值为$2-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $C_2$的表达式为$y_2 = ax^2 +2ax +a-2(a＞0)$，顶点坐标为$(-1,-2)$；
(2) $(-3,0)$或$(4,0)$；
(3) $2-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数新定义；二次函数图象与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题以新定义“伴随抛物线”为背景，综合考查了二次函数解析式的确定、顶点坐标求解、函数值距离计算以及区间最值的分类讨论，解题的关键是准确理解新定义，清晰把握对称轴与给定区间的位置关系，同时注意求解后要结合前提条件对结果进行取舍，能够有效锻炼逻辑思维能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.4
2. (2025·抚顺模拟)在平面直角坐标系中,对“纵横值”给出如下定义:点$A(x,y)$是函数图象上任意一点,纵坐标$y$与横坐标$x$的差“$y-x$”称为点$A$的“纵横值”.函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”,最小值称为函数的“最劣纵横值”.例如:点$A(3,7)$在函数$y=2x+1(3≤ x≤ 6)$的图象上,点$A$的“纵横值”为$7-3=4$,函数$y=2x+1$图象上所有点的“纵横值”可以表示为$y-x=2x+1-x=x+1$,当$3≤ x≤ 6$时,$x+1$的最大值为$6+1=7$,最小值为$3+1=4$,所以函数$y=2x+1(3≤ x≤ 6)$的“最优纵横值”为$7$,“最劣纵横值”为$4$.
(1)点$P(-2,4)$的“纵横值”为
(2)已知二次函数$y=-x^2+7x+1$,当$-2≤ x≤ 4$时,求它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”.
(3)若二次函数$y=ax^2+2ax+c(a＜0)$的图象顶点在“纵横值”为$5$的函数图象上.
①二次函数$y=ax^2+2ax+c$的“最优纵横值”为$\frac{21}{4}$,求该二次函数的表达式.
②当$a+1≤ x≤ a+3$时,设二次函数$y=ax^2+(2a+1)x+c(a＜0)$的“最优纵横值”为$t_1$,“最劣纵横值”为$t_2$,且$t_2-t_1=2a$,则$a$的值为
(1)点$P(-2,4)$的“纵横值”为
6
.(2)已知二次函数$y=-x^2+7x+1$,当$-2≤ x≤ 4$时,求它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”.
(3)若二次函数$y=ax^2+2ax+c(a＜0)$的图象顶点在“纵横值”为$5$的函数图象上.
①二次函数$y=ax^2+2ax+c$的“最优纵横值”为$\frac{21}{4}$,求该二次函数的表达式.
②当$a+1≤ x≤ a+3$时,设二次函数$y=ax^2+(2a+1)x+c(a＜0)$的“最优纵横值”为$t_1$,“最劣纵横值”为$t_2$,且$t_2-t_1=2a$,则$a$的值为
-2-√2或-4+√2
.答案
(1)6 解析:点 $ P(-2,4) $ 的“纵横值”为 $ 4-(-2)=6 $.
(2)二次函数 $ y=-x^2+7x+1 $ 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 $ y-x=-x^2+7x+1-x=-x^2+6x+1=-(x-3)^2+10.\because -1＜0,\therefore $ 抛物线的开口向下.$ \because $ 对称轴为直线 $ x=3,\therefore $ 当 $ x=3 $ 时取最大值,$ \therefore $ “最优纵横值”为 10.当 $ x=-2 $ 时, $ y-x=-15 $;当 $ x=4 $ 时, $ y-x=9.\because -15＜9,\therefore $ 当 $ x=-2 $ 时取最小值,$ \therefore $ “最劣纵横值”为 -15.
(3)二次函数 $ y=ax^2+2ax+c(a＜0) $ 的对称轴为直线 $ x=-\frac{2a}{2a}=-1 $.
$ \because $ 顶点在“纵横值”为 5 的函数图象上,$ \therefore $ 顶点在 $ y-x=5 $ 的图象上,
$ \therefore $ 顶点坐标为 $ (-1,4),\therefore y=a(x+1)^2+4=ax^2+2ax+a+4,\therefore c=a+4 $.
①由题得 $ y-x=ax^2+(2a-1)x+a+4 $ 的最大值为 $ \frac{21}{4} $,
$ \therefore \frac{4a(a+4)-(2a-1)^2}{4a}=\frac{21}{4} $,解得 $ a=-1,\therefore $ 二次函数的表达式为 $ y=-x^2-2x+3 $.
②$ -2-\sqrt{2} $ 或 $ -4+\sqrt{2} $ 解析:$ \because y-x=ax^2+(2a+1)x+a+4-x=ax^2+2ax+a+4=a(x+1)^2+4,\therefore $ 函数 $ y-x $ 的顶点坐标为 $ (-1,4) $.当 $ x=a+1 $ 时, $ y-x=a(a+2)^2+4 $;当 $ x=a+3 $ 时, $ y-x=a(a+4)^2+4.\because a＜0,\therefore $ 抛物线的开口向下,$ \therefore $ 当 $ x＜-1 $ 时, $ y-x $ 随 $ x $ 的增大而增大;当 $ x＞-1 $ 时, $ y-x $ 随 $ x $ 的增大而减小.
分以下几种情况:
当 $ a+3≤-1 $,即 $ a≤-4 $ 时, $ t_1=a(a+4)^2+4,t_2=a(a+2)^2+4.\therefore t_2-t_1=[a(a+2)^2+4]-[a(a+4)^2+4]=2a $.解得 $ a=0(不合题意,舍去) $ 或 $ a=-\frac{7}{2}(不合题意,舍去) $;
当 $ a+1≥-1 $,即 $ a≥-2 $ 时, $ t_1=a(a+2)^2+4,t_2=a(a+4)^2+4.\therefore t_2-t_1=[a(a+4)^2+4]-[a(a+2)^2+4]=2a $.解得 $ a=0(不合题意,舍去) $ 或 $ a=-\frac{5}{2}(不合题意,舍去) $;
当 $ a+1＜-1＜a+3 $,即 $ -4＜a＜-2 $ 时,当 $ -1-(a+1)≥ a+3-(-1) $,即 $ -4＜a≤-3 $ 时, $ t_1=4,t_2=a(a+2)^2+4,\therefore t_2-t_1=a(a+2)^2+4-4=2a $.解得 $ a=0(不合题意,舍去) $ 或 $ a=-2-\sqrt{2} $ 或 $ a=-2+\sqrt{2}(不合题意,舍去) $;
当 $ -1-(a+1)＜a+3-(-1) $,即 $ -3＜a＜-2 $ 时, $ t_1=4,t_2=a(a+4)^2+4 $.
$ \therefore t_2-t_1=a(a+4)^2+4-4=2a $.解得 $ a=0(不合题意,舍去) $ 或 $ a=-4+\sqrt{2} $ 或 $ a=-4-\sqrt{2}(不合题意,舍去) $.
综上所述, $ a $ 的值为 $ -2-\sqrt{2} $ 或 $ -4+\sqrt{2} $.
(2)二次函数 $ y=-x^2+7x+1 $ 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 $ y-x=-x^2+7x+1-x=-x^2+6x+1=-(x-3)^2+10.\because -1＜0,\therefore $ 抛物线的开口向下.$ \because $ 对称轴为直线 $ x=3,\therefore $ 当 $ x=3 $ 时取最大值,$ \therefore $ “最优纵横值”为 10.当 $ x=-2 $ 时, $ y-x=-15 $;当 $ x=4 $ 时, $ y-x=9.\because -15＜9,\therefore $ 当 $ x=-2 $ 时取最小值,$ \therefore $ “最劣纵横值”为 -15.
(3)二次函数 $ y=ax^2+2ax+c(a＜0) $ 的对称轴为直线 $ x=-\frac{2a}{2a}=-1 $.
$ \because $ 顶点在“纵横值”为 5 的函数图象上,$ \therefore $ 顶点在 $ y-x=5 $ 的图象上,
$ \therefore $ 顶点坐标为 $ (-1,4),\therefore y=a(x+1)^2+4=ax^2+2ax+a+4,\therefore c=a+4 $.
①由题得 $ y-x=ax^2+(2a-1)x+a+4 $ 的最大值为 $ \frac{21}{4} $,
$ \therefore \frac{4a(a+4)-(2a-1)^2}{4a}=\frac{21}{4} $,解得 $ a=-1,\therefore $ 二次函数的表达式为 $ y=-x^2-2x+3 $.
②$ -2-\sqrt{2} $ 或 $ -4+\sqrt{2} $ 解析:$ \because y-x=ax^2+(2a+1)x+a+4-x=ax^2+2ax+a+4=a(x+1)^2+4,\therefore $ 函数 $ y-x $ 的顶点坐标为 $ (-1,4) $.当 $ x=a+1 $ 时, $ y-x=a(a+2)^2+4 $;当 $ x=a+3 $ 时, $ y-x=a(a+4)^2+4.\because a＜0,\therefore $ 抛物线的开口向下,$ \therefore $ 当 $ x＜-1 $ 时, $ y-x $ 随 $ x $ 的增大而增大;当 $ x＞-1 $ 时, $ y-x $ 随 $ x $ 的增大而减小.
分以下几种情况:
当 $ a+3≤-1 $,即 $ a≤-4 $ 时, $ t_1=a(a+4)^2+4,t_2=a(a+2)^2+4.\therefore t_2-t_1=[a(a+2)^2+4]-[a(a+4)^2+4]=2a $.解得 $ a=0(不合题意,舍去) $ 或 $ a=-\frac{7}{2}(不合题意,舍去) $;
当 $ a+1≥-1 $,即 $ a≥-2 $ 时, $ t_1=a(a+2)^2+4,t_2=a(a+4)^2+4.\therefore t_2-t_1=[a(a+4)^2+4]-[a(a+2)^2+4]=2a $.解得 $ a=0(不合题意,舍去) $ 或 $ a=-\frac{5}{2}(不合题意,舍去) $;
当 $ a+1＜-1＜a+3 $,即 $ -4＜a＜-2 $ 时,当 $ -1-(a+1)≥ a+3-(-1) $,即 $ -4＜a≤-3 $ 时, $ t_1=4,t_2=a(a+2)^2+4,\therefore t_2-t_1=a(a+2)^2+4-4=2a $.解得 $ a=0(不合题意,舍去) $ 或 $ a=-2-\sqrt{2} $ 或 $ a=-2+\sqrt{2}(不合题意,舍去) $;
当 $ -1-(a+1)＜a+3-(-1) $,即 $ -3＜a＜-2 $ 时, $ t_1=4,t_2=a(a+4)^2+4 $.
$ \therefore t_2-t_1=a(a+4)^2+4-4=2a $.解得 $ a=0(不合题意,舍去) $ 或 $ a=-4+\sqrt{2} $ 或 $ a=-4-\sqrt{2}(不合题意,舍去) $.
综上所述, $ a $ 的值为 $ -2-\sqrt{2} $ 或 $ -4+\sqrt{2} $.
解析
【分析】
本题是二次函数的新定义问题，解题核心是准确理解“纵横值”“最优纵横值”“最劣纵横值”的定义，将问题转化为求新函数$z=y-x$在给定自变量范围内的最大值与最小值：
(1) 直接根据“纵横值”的定义，用纵坐标减横坐标计算即可；
(2) 先将$y-x$整理为二次函数的形式，配方后结合开口方向、对称轴以及自变量的取值范围，分别求最大值和最小值；
(3) 首先根据二次函数顶点在“纵横值为5”的图象上，求出顶点坐标，得到$c$与$a$的关系：① 将$y-x$整理为关于$x$的二次函数，结合$a＜0$开口向下的性质，最大值为顶点纵坐标，列方程求解$a$即可得到函数表达式；② 先化简$y-x$的表达式，得到其对称轴和顶点值，再分三种情况讨论给定的自变量区间$[a+1,a+3]$与对称轴$x=-1$的位置关系，分别求出对应的$t_1,t_2$，根据$t_2-t_1=2a$列方程求解，舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1) 根据“纵横值”的定义，点$P(-2,4)$的纵横值为$4-(-2)=6$。
(2) 二次函数$y=-x^2+7x+1$的纵横值为：
$y-x=-x^2+7x+1-x=-x^2+6x+1=-(x-3)^2+10$
$\because -1＜0$，$\therefore$ 该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=3$。
$\because$ 自变量范围为$-2≤ x≤4$，
$\therefore$ 当$x=3$时，$y-x$取得最大值10，即最优纵横值为10；
分别计算区间端点的纵横值：当$x=-2$时，$y-x=-(-2-3)^2+10=-15$；当$x=4$时，$y-x=-(4-3)^2+10=9$。
$\because -15＜9$，$\therefore$ 最劣纵横值为$-15$。
(3) 二次函数$y=ax^2+2ax+c(a＜0)$的对称轴为直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，
$\because$ 顶点在“纵横值为5”的函数图象上，即顶点满足$y-x=5$，
将$x=-1$代入得$y-(-1)=5$，解得$y=4$，即顶点坐标为$(-1,4)$，
$\therefore$ 二次函数可写成顶点式$y=a(x+1)^2+4=ax^2+2ax+a+4$，$\therefore c=a+4$。
① 该二次函数的纵横值为$y-x=ax^2+2ax+a+4 -x=ax^2+(2a-1)x+a+4$，
$\because a＜0$，开口向下，其最大值为顶点纵坐标，
由题意最大值为$\frac{21}{4}$，$\therefore \frac{4a(a+4)-(2a-1)^2}{4a}=\frac{21}{4}$，
化简得：$\frac{4a^2+16a-(4a^2-4a+1)}{4a}=\frac{21}{4}$，即$\frac{20a-1}{4a}=\frac{21}{4}$，
两边同乘$4a$得$20a-1=21a$，解得$a=-1$，
$\therefore c=a+4=-1+4=3$，$\therefore$ 二次函数表达式为$y=-x^2-2x+3$。
② 二次函数$y=ax^2+(2a+1)x+c$的纵横值为：
$y-x=ax^2+(2a+1)x+c -x=ax^2+2ax+c$，
将$c=a+4$代入得$y-x=ax^2+2ax+a+4=a(x+1)^2+4$，
$\therefore$ 该函数开口向下（$a＜0$），对称轴为直线$x=-1$，顶点值为4。
分别计算区间端点的纵横值：
当$x=a+1$时，$y-x=a(a+1+1)^2+4=a(a+2)^2+4$；
当$x=a+3$时，$y-x=a(a+3+1)^2+4=a(a+4)^2+4$。
分情况讨论区间$[a+1,a+3]$与对称轴$x=-1$的位置关系：
1. 当$a+3≤ -1$，即$a≤ -4$时，区间在对称轴左侧，$y-x$随$x$增大而增大，
$\therefore t_1=a(a+4)^2+4$，$t_2=a(a+2)^2+4$，
由$t_2-t_1=2a$得：$a(a+2)^2 - a(a+4)^2=2a$，
化简得$a[(a^2+4a+4)-(a^2+8a+16)]=2a$，即$a(-4a-12)=2a$，
$\because a＜0$，两边同除以$a$得$-4a-12=2$，解得$a=-\frac{7}{2}$，不符合$a≤ -4$，舍去；
2. 当$a+1≥ -1$，即$a≥ -2$时，区间在对称轴右侧，$y-x$随$x$增大而减小，
$\therefore t_1=a(a+2)^2+4$，$t_2=a(a+4)^2+4$，
由$t_2-t_1=2a$得：$a(a+4)^2 - a(a+2)^2=2a$，
化简得$a(4a+12)=2a$，两边同除以$a$得$4a+12=2$，解得$a=-\frac{5}{2}$，不符合$a≥ -2$，舍去；
3. 当$a+1 ＜ -1 ＜ a+3$，即$-4 ＜ a ＜ -2$时，区间包含对称轴，最大值$t_1=4$，
（1）若$-1-(a+1)≥ a+3-(-1)$，即$-4 ＜ a≤ -3$时，左端点离对称轴更远，最小值$t_2=a(a+2)^2+4$，
由$t_2-t_1=2a$得：$a(a+2)^2=2a$，两边同除以$a$得$(a+2)^2=2$，解得$a=-2\pm\sqrt{2}$，
其中$a=-2+\sqrt{2}$不符合$-4＜a≤-3$，舍去，$a=-2-\sqrt{2}$符合条件；
（2）若$-1-(a+1) ＜ a+3-(-1)$，即$-3 ＜ a ＜ -2$时，右端点离对称轴更远，最小值$t_2=a(a+4)^2+4$，
由$t_2-t_1=2a$得：$a(a+4)^2=2a$，两边同除以$a$得$(a+4)^2=2$，解得$a=-4\pm\sqrt{2}$，
其中$a=-4-\sqrt{2}$不符合$-3＜a＜-2$，舍去，$a=-4+\sqrt{2}$符合条件；
综上，$a$的值为$-2-\sqrt{2}$或$-4+\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$
(2) 最优纵横值为$\boxed{10}$，最劣纵横值为$\boxed{-15}$
(3) ① $\boxed{y=-x^2-2x+3}$；② $\boxed{-2-\sqrt{2}}$或$\boxed{-4+\sqrt{2}}$
【知识点】
新定义问题，二次函数的最值，分类讨论思想
【点评】
本题以新定义为载体，将纵横值问题转化为二次函数的最值问题，既考查了对新定义的理解能力，也考查了二次函数性质的应用，第三问需要结合自变量区间与对称轴的位置关系分类讨论，对逻辑分析能力和计算能力都有较高要求。
【难度系数】
0.3
本题是二次函数的新定义问题，解题核心是准确理解“纵横值”“最优纵横值”“最劣纵横值”的定义，将问题转化为求新函数$z=y-x$在给定自变量范围内的最大值与最小值：
(1) 直接根据“纵横值”的定义，用纵坐标减横坐标计算即可；
(2) 先将$y-x$整理为二次函数的形式，配方后结合开口方向、对称轴以及自变量的取值范围，分别求最大值和最小值；
(3) 首先根据二次函数顶点在“纵横值为5”的图象上，求出顶点坐标，得到$c$与$a$的关系：① 将$y-x$整理为关于$x$的二次函数，结合$a＜0$开口向下的性质，最大值为顶点纵坐标，列方程求解$a$即可得到函数表达式；② 先化简$y-x$的表达式，得到其对称轴和顶点值，再分三种情况讨论给定的自变量区间$[a+1,a+3]$与对称轴$x=-1$的位置关系，分别求出对应的$t_1,t_2$，根据$t_2-t_1=2a$列方程求解，舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1) 根据“纵横值”的定义，点$P(-2,4)$的纵横值为$4-(-2)=6$。
(2) 二次函数$y=-x^2+7x+1$的纵横值为：
$y-x=-x^2+7x+1-x=-x^2+6x+1=-(x-3)^2+10$
$\because -1＜0$，$\therefore$ 该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=3$。
$\because$ 自变量范围为$-2≤ x≤4$，
$\therefore$ 当$x=3$时，$y-x$取得最大值10，即最优纵横值为10；
分别计算区间端点的纵横值：当$x=-2$时，$y-x=-(-2-3)^2+10=-15$；当$x=4$时，$y-x=-(4-3)^2+10=9$。
$\because -15＜9$，$\therefore$ 最劣纵横值为$-15$。
(3) 二次函数$y=ax^2+2ax+c(a＜0)$的对称轴为直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，
$\because$ 顶点在“纵横值为5”的函数图象上，即顶点满足$y-x=5$，
将$x=-1$代入得$y-(-1)=5$，解得$y=4$，即顶点坐标为$(-1,4)$，
$\therefore$ 二次函数可写成顶点式$y=a(x+1)^2+4=ax^2+2ax+a+4$，$\therefore c=a+4$。
① 该二次函数的纵横值为$y-x=ax^2+2ax+a+4 -x=ax^2+(2a-1)x+a+4$，
$\because a＜0$，开口向下，其最大值为顶点纵坐标，
由题意最大值为$\frac{21}{4}$，$\therefore \frac{4a(a+4)-(2a-1)^2}{4a}=\frac{21}{4}$，
化简得：$\frac{4a^2+16a-(4a^2-4a+1)}{4a}=\frac{21}{4}$，即$\frac{20a-1}{4a}=\frac{21}{4}$，
两边同乘$4a$得$20a-1=21a$，解得$a=-1$，
$\therefore c=a+4=-1+4=3$，$\therefore$ 二次函数表达式为$y=-x^2-2x+3$。
② 二次函数$y=ax^2+(2a+1)x+c$的纵横值为：
$y-x=ax^2+(2a+1)x+c -x=ax^2+2ax+c$，
将$c=a+4$代入得$y-x=ax^2+2ax+a+4=a(x+1)^2+4$，
$\therefore$ 该函数开口向下（$a＜0$），对称轴为直线$x=-1$，顶点值为4。
分别计算区间端点的纵横值：
当$x=a+1$时，$y-x=a(a+1+1)^2+4=a(a+2)^2+4$；
当$x=a+3$时，$y-x=a(a+3+1)^2+4=a(a+4)^2+4$。
分情况讨论区间$[a+1,a+3]$与对称轴$x=-1$的位置关系：
1. 当$a+3≤ -1$，即$a≤ -4$时，区间在对称轴左侧，$y-x$随$x$增大而增大，
$\therefore t_1=a(a+4)^2+4$，$t_2=a(a+2)^2+4$，
由$t_2-t_1=2a$得：$a(a+2)^2 - a(a+4)^2=2a$，
化简得$a[(a^2+4a+4)-(a^2+8a+16)]=2a$，即$a(-4a-12)=2a$，
$\because a＜0$，两边同除以$a$得$-4a-12=2$，解得$a=-\frac{7}{2}$，不符合$a≤ -4$，舍去；
2. 当$a+1≥ -1$，即$a≥ -2$时，区间在对称轴右侧，$y-x$随$x$增大而减小，
$\therefore t_1=a(a+2)^2+4$，$t_2=a(a+4)^2+4$，
由$t_2-t_1=2a$得：$a(a+4)^2 - a(a+2)^2=2a$，
化简得$a(4a+12)=2a$，两边同除以$a$得$4a+12=2$，解得$a=-\frac{5}{2}$，不符合$a≥ -2$，舍去；
3. 当$a+1 ＜ -1 ＜ a+3$，即$-4 ＜ a ＜ -2$时，区间包含对称轴，最大值$t_1=4$，
（1）若$-1-(a+1)≥ a+3-(-1)$，即$-4 ＜ a≤ -3$时，左端点离对称轴更远，最小值$t_2=a(a+2)^2+4$，
由$t_2-t_1=2a$得：$a(a+2)^2=2a$，两边同除以$a$得$(a+2)^2=2$，解得$a=-2\pm\sqrt{2}$，
其中$a=-2+\sqrt{2}$不符合$-4＜a≤-3$，舍去，$a=-2-\sqrt{2}$符合条件；
（2）若$-1-(a+1) ＜ a+3-(-1)$，即$-3 ＜ a ＜ -2$时，右端点离对称轴更远，最小值$t_2=a(a+4)^2+4$，
由$t_2-t_1=2a$得：$a(a+4)^2=2a$，两边同除以$a$得$(a+4)^2=2$，解得$a=-4\pm\sqrt{2}$，
其中$a=-4-\sqrt{2}$不符合$-3＜a＜-2$，舍去，$a=-4+\sqrt{2}$符合条件；
综上，$a$的值为$-2-\sqrt{2}$或$-4+\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$
(2) 最优纵横值为$\boxed{10}$，最劣纵横值为$\boxed{-15}$
(3) ① $\boxed{y=-x^2-2x+3}$；② $\boxed{-2-\sqrt{2}}$或$\boxed{-4+\sqrt{2}}$
【知识点】
新定义问题，二次函数的最值，分类讨论思想
【点评】
本题以新定义为载体，将纵横值问题转化为二次函数的最值问题，既考查了对新定义的理解能力，也考查了二次函数性质的应用，第三问需要结合自变量区间与对称轴的位置关系分类讨论，对逻辑分析能力和计算能力都有较高要求。
【难度系数】
0.3
