【知识点】含$30°$角的直角三角形
在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的________等于________.

直角边 斜边的一半

【分析】
本题为概念识记类填空题，解题核心是准确回忆含30°角的直角三角形的性质定理。首先明确题干给出的前提：直角三角形、有一个锐角为30°，结合定理内容，30°锐角作为直角三角形的内角，它所对的边不可能是斜边（斜边是直角所对的边），因此第一空为直角边，再对应定理的后半句内容，即可得出第二空的结论。
【解析】
根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，对应填入空缺处即可。
【答案】
直角边 斜边的一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，是特殊直角三角形相关计算与证明的基础，需要准确牢记该性质的前提条件和对应结论，避免记忆混淆。
【难度系数】
0.9

1. 如图15.3-11，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB+BC=12\ \mathrm{cm}$，则$AB$等于（）

A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$7\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.$9\ \mathrm{cm}$

1. C

【分析】
解题时首先观察题干给出的是含30°角的直角三角形，首先想到“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，先确定30°角∠A所对的直角边是BC，斜边为AB，由此得到BC与AB的数量关系，再结合已知条件AB+BC=12cm，代入数量关系即可列等式求出AB的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$
∴ 根据含30°角的直角三角形的性质可得：$BC=\frac{1}{2}AB$
又
∵ $AB+BC=12\ \mathrm{cm}$
将$BC=\frac{1}{2}AB$代入上式得：
$AB+\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$
即$\frac{3}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$
解得$AB=8\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是准确识别30°角对应的直角边和斜边，结合已知条件建立等式求解，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

2. 如图15.3-12，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD=2，则BC等于（）

A.4
B.5
C.6
D.8

图15.3-12

2. C

【分析】
解题时首先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合已知∠C=30°求出∠B和∠BAC的度数；再在Rt△ABD中，利用直角三角形30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BD的长度；接着通过角度计算得到∠DAC=∠C，推出DC=AD，最后将BD和DC相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=2，
∴BD=2AD=4（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
又
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DC=AD=2，
∴BC=BD+DC=4+2=6。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；直角三角形30°角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过角度推导得到线段之间的数量关系，熟练掌握等腰三角形和含30°角直角三角形的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

【例】如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AC=2$，$D$为$BC$上一动点，$EF$垂直平分$AD$分别交$AC$于点$E$、交$AB$于点$F$，求$BF$的最大值.
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、$30°$角所对直角边是斜边的一半，将求$BF$的最大值转化为求$AF$的最小值是解决本题的关键. 要使$BF$最大，则$AF$需要最小，而$AF=FD$，从而通过垂线段最短来解决问题.

图15.3-13

解：过点 F 作 $FH ⊥ BC$，垂足为 H，连接 DF，在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$∠ACB=90°$，$∠B=30°$，$AC=2$，$\therefore AB=2AC=4$.$\because EF$ 垂直平分 $AD$，$\therefore AF=DF$. 若要使 $BF$ 最大，则 $AF$ 需要最小，设 $AF=x$，则 $BF=4-x$，$\because ∠B=30°$，$\therefore FH=\frac{1}{2}BF=2-\frac{1}{2}x$，$\therefore x≥2-\frac{1}{2}x$，解得 $x≥\frac{4}{3}$，$\therefore AF$ 的最小值为 $\frac{4}{3}$，$BF$ 的最大值为 $4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$.

【分析】
要求BF的最大值，首先观察BF与AB、AF的关系：BF=AB-AF，在Rt△ABC中AB为定值，因此求BF的最大值可转化为求AF的最小值。根据EF垂直平分AD的性质可得AF=DF，因此问题进一步转化为求DF的最小值。根据垂线段最短的性质，点F到BC上点D的最短距离为点F到BC的垂线段长度，再结合含30°角的直角三角形的边角关系即可列式求解。
【解析】
过点F作$FH ⊥ BC$，垂足为H，连接DF。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AC=2$，
$\therefore AB=2AC=4$。
$\because EF$垂直平分$AD$，
$\therefore AF=DF$。
$\because BF=AB-AF=4-AF$，AB为定值，
$\therefore$要使BF最大，需使AF最小，即DF最小。
根据垂线段最短，可得$DF≥ FH$。
设$AF=x$，则$DF=x$，$BF=4-x$，
在$\mathrm{Rt}△FBH$中，$∠ B=30°$，
$\therefore FH=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}(4-x)=2-\frac{1}{2}x$，
$\therefore x≥ 2-\frac{1}{2}x$，
解得$x≥ \frac{4}{3}$，即AF的最小值为$\frac{4}{3}$，
$\therefore BF$的最大值为$4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；垂线段最短
【点评】
本题是几何最值的典型题型，解题的关键是运用转化思想，将BF的最值问题转化为AF的最值问题，再结合垂直平分线性质和垂线段最短求解，能够很好地考查知识的综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6