13. 在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD.
（1）当E为AB的中点时，如图1，求证：EC=ED.
（2）当E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF//BC，求证：△AEF是等边三角形.
（3）在（2）的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由.

13. 证明：(1) 如图1，在等边三角形ABC中，$AB=BC=AC$，
∴$∠ABC=∠ACB=∠A=60°$.
∵E是AB的中点，
∴$AE=BE$.
∵$AE=BD$，
∴$BE=BD$，
∴$∠ECB=\frac{1}{2}∠ACB=30°$，$∠EDB=∠DEB=\frac{1}{2}∠ABC=30°$，
∴$∠EDB=∠ECB$，
∴$EC=ED$.
(2) 如图2，
∵$EF//BC$，
∴$∠AEF=∠ABC=60°$，$∠AFE=∠C=60°$，
∴$△AEF$为等边三角形.
(3) $EC=ED$. 理由：
∵$∠AFE=∠ABC=60°$，
∴$∠EFC=∠DBE=120°$.
∵$AB=AC$，$AE=AF$，
∴$AB-AE =AC -AF$，即 $BE =FC$. 在$△DBE$和$△EFC$中，$\begin{cases} DB=EF, \\ ∠DBE=∠EFC, \\ BE=FC, \end{cases}$
∴$△DBE≌△EFC$（SAS），
∴$ED=EC$.

【分析】
（1）要证EC=ED，可通过证明两角相等推导：先利用等边三角形三线合一的性质，结合E是AB中点得到∠ECB=30°，再由AE=BD推出BE=BD，结合三角形外角性质算出∠D=30°，即可得到∠EDB=∠ECB，从而证得EC=ED。
（2）要证△AEF是等边三角形，已知∠A=60°，结合EF//BC，由平行线的同位角相等可得∠AEF、∠AFE均为60°，根据三个内角都是60°的三角形是等边三角形即可得证。
（3）要判断EC与ED是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：先由等边△AEF和等边△ABC的性质推出EF=BD、BE=FC，再找到两组边的夹角相等，用SAS证明△DBE≌△EFC，即可得到ED=EC。
【解析】
(1) 如图1，在等边三角形ABC中，$AB=BC=AC$，
∴$∠ABC=∠ACB=∠A=60°$.
∵E是AB的中点，
∴$AE=BE$，且CE平分∠ACB.
∵$AE=BD$，
∴$BE=BD$，
∴$∠ECB=\frac{1}{2}∠ACB=30°$，$∠EDB=∠DEB=\frac{1}{2}∠ABC=30°$，
∴$∠EDB=∠ECB$，
∴$EC=ED$.
(2) 如图2，
∵$EF//BC$，
∴$∠AEF=∠ABC=60°$，$∠AFE=∠C=60°$，
又
∵∠A=60°，△AEF三个内角均为60°，
∴$△AEF$为等边三角形.
(3) $EC=ED$，理由如下：
∵$∠AFE=∠ABC=60°$，
∴$∠EFC=180°-∠AFE=120°$，$∠DBE=180°-∠ABC=120°$，即$∠EFC=∠DBE$.
∵等边△ABC中$AB=AC$，等边△AEF中$AE=AF=EF$，结合已知$AE=BD$，可得$BD=EF$.
∵$AB-AE =AC -AF$，即 $BE =FC$.
在$△DBE$和$△EFC$中：
$\begin{cases} DB=EF, \\ ∠DBE=∠EFC, \\ BE=FC, \end{cases}$
∴$△DBE≌△EFC$（SAS），
∴$ED=EC$.
【答案】
13. 证明：(1) 如图1，在等边三角形ABC中，$AB=BC=AC$，
∴$∠ABC=∠ACB=∠A=60°$.
∵E是AB的中点，
∴$AE=BE$.
∵$AE=BD$，
∴$BE=BD$，
∴$∠ECB=\frac{1}{2}∠ACB=30°$，$∠EDB=∠DEB=\frac{1}{2}∠ABC=30°$，
∴$∠EDB=∠ECB$，
∴$EC=ED$.
(2) 如图2，
∵$EF//BC$，
∴$∠AEF=∠ABC=60°$，$∠AFE=∠C=60°$，
∴$△AEF$为等边三角形.
(3) $EC=ED$. 理由：
∵$∠AFE=∠ABC=60°$，
∴$∠EFC=∠DBE=120°$.
∵$AB=AC$，$AE=AF$，
∴$AB-AE =AC -AF$，即 $BE =FC$. 在$△DBE$和$△EFC$中，$\begin{cases} DB=EF, \\ ∠DBE=∠EFC, \\ BE=FC, \end{cases}$
∴$△DBE≌△EFC$（SAS），
∴$ED=EC$.
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于等边三角形的基础综合题，前两问侧重基础性质的直接应用，第三问需要结合全等三角形的判定证明线段相等，解题核心是熟练掌握特殊三角形的性质，学会挖掘已知条件中的边角等量关系，是等边三角形章节的典型题型。
【难度系数】
0.7

14. (2025·潍坊) 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地.
甲：A→C→B，路程为$l_甲$.
乙：A→D→E→F→B，路程为$l_乙$.
丙：A→G→H→B，路程为$l_丙$.
下列关系正确的是（）


A.$l_甲＞l_乙＞l_丙$
B.$l_乙＞l_甲＞l_丙$
C.$l_甲＞l_丙＞l_乙$
D.$l_甲=l_乙＞l_丙$

14. D

【分析】
解题时我们可以分三步思考：①先分析甲的路程：观察甲的路线对应的△ABC，∠A和∠B都是60°，可判定是等边三角形，利用等边三角形三边相等就能算出甲的总路程；②再分析乙的路程：乙的路线由两个小等边三角形的边组成，同理利用等边三角形三边相等的性质，把乙的路程转化为和AB相关的表达式，和甲的路程对比；③最后分析丙的路程：可以通过构造等边三角形+三角形三边关系的方法，对比丙的总路程和2AB的大小，就能得到三者的大小关系。
【解析】
1. 计算甲的路程：
在△ABC中，∠A=∠B=60°，
∴∠C=180°-60°-60°=60°，△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB，
∴$l_甲=AC+BC=AB+AB=2AB$。
2. 计算乙的路程：
在△ADE中，∠A=∠DEA=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE；
在△EFB中，∠B=∠FEB=60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EF=FB=EB；
∴$l_乙=AD+DE+EF+FB=AE+AE+EB+EB=2(AE+EB)$，
∵AE+EB=AB，
∴$l_乙=2AB$，即$l_甲=l_乙$。
3. 比较丙的路程：
延长AG、BH交于点P，
∵∠A=∠B=60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴PA=PB=AB，$PA+PB=2AB$。
根据三角形三边关系，在△PGH中，$PG+PH＞GH$，
∴$l_丙=AG+GH+HB ＜ AG+PG+PH+HB = PA+PB=2AB$，即$l_丙 ＜ 2AB$。
综上可得$l_甲=l_乙＞l_丙$。
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；三角形三边关系；线段最短原理
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质结合线段大小比较的应用，解题的核心是利用等边三角形边长相等的性质将前两段路程转化为AB的倍数，再借助三角形三边关系判断第三段路程的大小，是几何中路程比较类的典型题型。
【难度系数】0.7

15. (2025·资阳) 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE//DA. 若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是。

15. ∠BCE=∠B（答案不唯一）

【分析】
解题时先从已知条件入手推导现有结论：①由CE//AD可推出∠A和∠BEC相等，结合已知∠A=∠B，可得到△BCE中∠BEC=∠B，即△BCE已经是等腰三角形（CE=BC）。接下来回忆等边三角形的判定方法：等腰三角形只要满足有一个角为60°，或三条边都相等，或三个角都相等即可成为等边三角形，据此补充合适的条件即可。
【解析】
∵CE//AD，
∴∠A=∠BEC（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠A=∠B，
∴∠BEC=∠B，
∴CE=BC，即△BCE为等腰三角形。
若添加条件∠BCE=∠B，
则∠BEC=∠B=∠BCE，
即△BCE三个内角相等，
∴△BCE为等边三角形。
（注：也可添加如∠B=60°、BC=BE等条件，均符合要求）
【答案】
∠BCE=∠B（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形判定；等边三角形判定
【点评】
本题是条件开放型试题，需要先结合已知条件推导出图形的现有性质，再根据目标图形的判定定理补充合理条件，侧重对基础几何定理的理解和灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7