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4. 计算:
(1) $(x - m + 2n)^2$;
(2) $(m + 2n - 1)(-m + 2n + 1)$.
(1) $(x - m + 2n)^2$;
(2) $(m + 2n - 1)(-m + 2n + 1)$.
答案
(1) $x^2-2mx+m^2+4n^2+4nx-4mn$
(2) $4n^2-m^2+2m-1$
(2) $4n^2-m^2+2m-1$
解析
【分析】
(1) 三个项的平方运算可采用整体思想，将其中两个项合并为一个整体，把原式转化为两数和的完全平方形式，再套用完全平方公式逐步展开计算即可。
(2) 先观察两个因式的结构，找出相同的项和互为相反数的项，将原式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式计算，再对剩余的完全平方项展开，最后去括号整理得到结果。
【解析】
(1) 把$-m+2n$看作一个整体，计算如下：
$\begin{aligned}原式&=[x+(-m+2n)]^2\\&=x^2+2· x· (-m+2n)+(-m+2n)^2\\&=x^2-2mx+4nx+m^2-4mn+4n^2\\&=x^2-2mx+m^2+4n^2+4nx-4mn\end{aligned}$
(2) 提取相同项$2n$，将含$m$和常数的项看作整体，计算如下：
$\begin{aligned}原式&=(2n+(m-1))(2n-(m-1))\\&=(2n)^2-(m-1)^2\\&=4n^2-(m^2-2m+1)\\&=4n^2-m^2+2m-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^2-2mx+m^2+4n^2+4nx-4mn$
(2) $4n^2-m^2+2m-1$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整体思想
【点评】
这两道题是乘法公式的典型应用题型，核心是通过合理分组、整体代换的方法将非标准形式的整式乘法转化为公式的标准形式，计算时要注意完全平方展开后的项数以及去括号时的符号变化，避免漏项或符号错误。
【难度系数】
0.7
(1) 三个项的平方运算可采用整体思想，将其中两个项合并为一个整体，把原式转化为两数和的完全平方形式，再套用完全平方公式逐步展开计算即可。
(2) 先观察两个因式的结构，找出相同的项和互为相反数的项，将原式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式计算，再对剩余的完全平方项展开，最后去括号整理得到结果。
【解析】
(1) 把$-m+2n$看作一个整体，计算如下：
$\begin{aligned}原式&=[x+(-m+2n)]^2\\&=x^2+2· x· (-m+2n)+(-m+2n)^2\\&=x^2-2mx+4nx+m^2-4mn+4n^2\\&=x^2-2mx+m^2+4n^2+4nx-4mn\end{aligned}$
(2) 提取相同项$2n$，将含$m$和常数的项看作整体，计算如下：
$\begin{aligned}原式&=(2n+(m-1))(2n-(m-1))\\&=(2n)^2-(m-1)^2\\&=4n^2-(m^2-2m+1)\\&=4n^2-m^2+2m-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^2-2mx+m^2+4n^2+4nx-4mn$
(2) $4n^2-m^2+2m-1$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整体思想
【点评】
这两道题是乘法公式的典型应用题型，核心是通过合理分组、整体代换的方法将非标准形式的整式乘法转化为公式的标准形式，计算时要注意完全平方展开后的项数以及去括号时的符号变化，避免漏项或符号错误。
【难度系数】
0.7
5. 阅读下列材料并解答下面的问题：利用完全平方公式 $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，通过配方可对 $a^2+b^2$ 进行适当的变形，如 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ 或 $a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。
（1）若$|x-y-5|+(xy-6)^2=0$，则 $x^2+y^2$ 的值为
（2）已知 $a-b=2$，$ab=3$，求 $a^4+b^4$ 的值。
（1）若$|x-y-5|+(xy-6)^2=0$，则 $x^2+y^2$ 的值为
37
。（2）已知 $a-b=2$，$ab=3$，求 $a^4+b^4$ 的值。
答案
5. （1）37
（2）解：$\because a-b=2$，$ab=3$，$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=4+6=10$，
$\therefore a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2=10^2-2×3^2=82$.
（2）解：$\because a-b=2$，$ab=3$，$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=4+6=10$，
$\therefore a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2=10^2-2×3^2=82$.
解析
【分析】
解题思路如下：
（1）首先根据非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此求出x-y和xy的值；再结合题干给出的完全平方公式变形$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，代入数值即可算出$x^2+y^2$。
（2）要求$a^4+b^4$，可先将其变形为$(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$，所以需要先求$a^2+b^2$的值；已知a-b和ab的取值，利用完全平方公式变形$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$算出$a^2+b^2$后，再代入$a^4+b^4$的变形公式计算即可。
【解析】
（1）$\because |x-y-5|≥0$，$(xy-6)^2≥0$，且$|x-y-5|+(xy-6)^2=0$
$\therefore x-y-5=0$，$xy-6=0$
解得：$x-y=5$，$xy=6$
根据完全平方公式变形得：
$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=5^2+2×6=25+12=37$
（2）$\because a-b=2$，$ab=3$
$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=2^2+2×3=4+6=10$
对$a^4+b^4$变形得：
$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2$
代入数值计算：
$a^4+b^4=10^2-2×3^2=100-18=82$
【答案】
（1）$\boxed{37}$；（2）$\boxed{82}$
【知识点】
非负数的性质、完全平方公式变形、代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形形式，同时结合非负数的性质获取有效已知条件，属于基础巩固类题目，掌握公式变形后可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
（1）首先根据非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此求出x-y和xy的值；再结合题干给出的完全平方公式变形$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，代入数值即可算出$x^2+y^2$。
（2）要求$a^4+b^4$，可先将其变形为$(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$，所以需要先求$a^2+b^2$的值；已知a-b和ab的取值，利用完全平方公式变形$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$算出$a^2+b^2$后，再代入$a^4+b^4$的变形公式计算即可。
【解析】
（1）$\because |x-y-5|≥0$，$(xy-6)^2≥0$，且$|x-y-5|+(xy-6)^2=0$
$\therefore x-y-5=0$，$xy-6=0$
解得：$x-y=5$，$xy=6$
根据完全平方公式变形得：
$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=5^2+2×6=25+12=37$
（2）$\because a-b=2$，$ab=3$
$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=2^2+2×3=4+6=10$
对$a^4+b^4$变形得：
$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2$
代入数值计算：
$a^4+b^4=10^2-2×3^2=100-18=82$
【答案】
（1）$\boxed{37}$；（2）$\boxed{82}$
【知识点】
非负数的性质、完全平方公式变形、代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形形式，同时结合非负数的性质获取有效已知条件，属于基础巩固类题目，掌握公式变形后可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，两个正方形的边长分别为$a$，$b$，若$a+b=17$，$ab=60$，求阴影部分的面积. 
答案
6. 解：阴影部分的面积为 $\frac{1}{2}a^2+b^2-\frac{1}{2}b(a+b)=\frac{1}{2}a^2+$
$\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab$，$\because a+b=17$，$ab=60$，$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=$
$17^2-120=169$，原式=$\frac{1}{2}(a^2+b^2)-\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×169-\frac{1}{2}×60=\frac{109}{2}$.
$\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab$，$\because a+b=17$，$ab=60$，$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=$
$17^2-120=169$，原式=$\frac{1}{2}(a^2+b^2)-\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×169-\frac{1}{2}×60=\frac{109}{2}$.
解析
【分析】
首先阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，因此采用总面积减空白面积的思路求解：第一步先计算两个正方形的总面积，第二步找出两个空白三角形的面积分别计算，用总面积减去两个空白三角形面积得到阴影部分的面积表达式；接着观察表达式特征，发现可通过完全平方公式的变形，利用已知的$a+b$和$ab$的值整体代入计算，无需单独求解$a$和$b$的数值。
【解析】
解：阴影部分的面积等于两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b)$
化简得：
$S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab$
根据完全平方公式变形可得：$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
已知$a+b=17$，$ab=60$，代入得：
$a^2 + b^2 = 17^2 - 2×60 = 289 - 120 = 169$
将$a^2+b^2=169$，$ab=60$代入阴影面积表达式：
$S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2}×169 - \frac{1}{2}×60 = \frac{169 - 60}{2} = \frac{109}{2}$
【答案】
$\frac{109}{2}$
【知识点】
割补法求面积、完全平方公式、整式化简求值
【点评】
本题结合了几何图形面积计算和代数变形求值，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，再利用完全平方公式的变形进行整体代入计算，避免了单独求解$a$、$b$的复杂运算，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
首先阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，因此采用总面积减空白面积的思路求解：第一步先计算两个正方形的总面积，第二步找出两个空白三角形的面积分别计算，用总面积减去两个空白三角形面积得到阴影部分的面积表达式；接着观察表达式特征，发现可通过完全平方公式的变形，利用已知的$a+b$和$ab$的值整体代入计算，无需单独求解$a$和$b$的数值。
【解析】
解：阴影部分的面积等于两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b)$
化简得：
$S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab$
根据完全平方公式变形可得：$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
已知$a+b=17$，$ab=60$，代入得：
$a^2 + b^2 = 17^2 - 2×60 = 289 - 120 = 169$
将$a^2+b^2=169$，$ab=60$代入阴影面积表达式：
$S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2}×169 - \frac{1}{2}×60 = \frac{169 - 60}{2} = \frac{109}{2}$
【答案】
$\frac{109}{2}$
【知识点】
割补法求面积、完全平方公式、整式化简求值
【点评】
本题结合了几何图形面积计算和代数变形求值，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，再利用完全平方公式的变形进行整体代入计算，避免了单独求解$a$、$b$的复杂运算，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
7. 用“=”或“≠”填空：
(1) 比较$2x$与$x^2+1$的大小：
①当$x=2$时，$2x$
(2) 通过上面的填空，猜想$2x$与$x^2+1$的大小关系为
(3) 无论$x$取什么值，$2x$与$x^2+1$总有这样的大小关系吗？试说明理由。
(1) 比较$2x$与$x^2+1$的大小：
①当$x=2$时，$2x$
＜
$x^2+1$；②当$x=1$时，$2x$ =
$x^2+1$；③当$x=-1$时，$2x$ ＜
$x^2+1$。(2) 通过上面的填空，猜想$2x$与$x^2+1$的大小关系为
$2x≤ x^2+1$
。(3) 无论$x$取什么值，$2x$与$x^2+1$总有这样的大小关系吗？试说明理由。
答案
7. （1）①＜；②=；③＜.
（2）$2x≤ x^2+1$.
（3）无论$x$取什么值，总有$2x≤ x^2+1$.
理由：$\because x^2+1-2x=(x-1)^2≥0$，$\therefore 2x≤ x^2+1$.
（2）$2x≤ x^2+1$.
（3）无论$x$取什么值，总有$2x≤ x^2+1$.
理由：$\because x^2+1-2x=(x-1)^2≥0$，$\therefore 2x≤ x^2+1$.
解析
【分析】
本题是探究两个代数式的大小关系，解题思路可分为三步：第一步，（1）的三个小问属于特殊值验证类问题，直接将给定的x取值分别代入2x和x²+1计算出结果，再比较大小填空即可；第二步，（2）是归纳猜想类问题，结合前三次特殊值的比较结果，总结两个代数式的普遍大小关系；第三步，（3）要验证猜想的普遍性，采用作差法将两个代数式相减，再用完全平方公式变形，结合平方的非负性即可证明结论恒成立。
【解析】
（1）①当x=2时，2x=2×2=4，$x^2+1=2^2+1=5$，因为4＜5，所以$2x ＜ x^2+1$；
②当x=1时，2x=2×1=2，$x^2+1=1^2+1=2$，因为2=2，所以$2x = x^2+1$；
③当x=-1时，2x=2×(-1)=-2，$x^2+1=(-1)^2+1=2$，因为-2＜2，所以$2x ＜ x^2+1$；
（2）根据（1）的三次比较结果，可猜想$2x$与$x^2+1$的大小关系为$2x≤ x^2+1$；
（3）无论x取什么值，总有$2x≤ x^2+1$，理由如下：
将两个代数式作差得：$x^2+1-2x=x^2-2x+1$，由完全平方公式可变形为$(x-1)^2$；
因为任意实数的平方都是非负数，即$(x-1)^2≥0$，所以$x^2+1-2x≥0$，移项可得$2x≤ x^2+1$。
【答案】
（1）①＜；②=；③＜
（2）$2x≤ x^2+1$
（3）无论$x$取什么值，总有$2x≤ x^2+1$，理由：$\because x^2+1-2x=(x-1)^2≥0$，$\therefore 2x≤ x^2+1$
【知识点】
代数式求值；完全平方公式；作差法比较大小
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查了代数式的代入计算能力，又考查了完全平方公式的灵活应用和非负数的性质，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决本题的核心。
【难度系数】
0.7
本题是探究两个代数式的大小关系，解题思路可分为三步：第一步，（1）的三个小问属于特殊值验证类问题，直接将给定的x取值分别代入2x和x²+1计算出结果，再比较大小填空即可；第二步，（2）是归纳猜想类问题，结合前三次特殊值的比较结果，总结两个代数式的普遍大小关系；第三步，（3）要验证猜想的普遍性，采用作差法将两个代数式相减，再用完全平方公式变形，结合平方的非负性即可证明结论恒成立。
【解析】
（1）①当x=2时，2x=2×2=4，$x^2+1=2^2+1=5$，因为4＜5，所以$2x ＜ x^2+1$；
②当x=1时，2x=2×1=2，$x^2+1=1^2+1=2$，因为2=2，所以$2x = x^2+1$；
③当x=-1时，2x=2×(-1)=-2，$x^2+1=(-1)^2+1=2$，因为-2＜2，所以$2x ＜ x^2+1$；
（2）根据（1）的三次比较结果，可猜想$2x$与$x^2+1$的大小关系为$2x≤ x^2+1$；
（3）无论x取什么值，总有$2x≤ x^2+1$，理由如下：
将两个代数式作差得：$x^2+1-2x=x^2-2x+1$，由完全平方公式可变形为$(x-1)^2$；
因为任意实数的平方都是非负数，即$(x-1)^2≥0$，所以$x^2+1-2x≥0$，移项可得$2x≤ x^2+1$。
【答案】
（1）①＜；②=；③＜
（2）$2x≤ x^2+1$
（3）无论$x$取什么值，总有$2x≤ x^2+1$，理由：$\because x^2+1-2x=(x-1)^2≥0$，$\therefore 2x≤ x^2+1$
【知识点】
代数式求值；完全平方公式；作差法比较大小
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查了代数式的代入计算能力，又考查了完全平方公式的灵活应用和非负数的性质，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决本题的核心。
【难度系数】
0.7
