登录
2. 若$(mx^4) · (4x^k) = -12x^{12}$，则适合条件的$m$，$k$的值分别是（
A.$m=-3$，$k=8$
B.$m=3$，$k=8$
C.$m=8$，$k=3$
D.$m=-3$，$k=3$
A
）A.$m=-3$，$k=8$
B.$m=3$，$k=8$
C.$m=8$，$k=3$
D.$m=-3$，$k=3$
答案
2. A
解析
【分析】
本题是关于单项式乘法的等式求解问题，解题思路如下：首先运用单项式乘单项式的运算法则计算出等式左边的乘积结果，再根据两个相等的单项式中，对应系数相等、相同字母的指数也分别相等的性质，分别列出关于m和k的一元一次方程，解方程即可求出m、k的值，匹配选项得到答案。
【解析】
首先计算等式左边的单项式乘积：
根据单项式乘单项式的法则，系数相乘，同底数幂分别相乘：
$(mx^4) · (4x^k) = (m×4)·(x^4·x^k) = 4m·x^{4+k}$
已知等式右边为$-12x^{12}$，两个单项式相等则对应系数和指数分别相等：
1. 系数相等：$4m = -12$，解得$m = -12÷4 = -3$
2. x的指数相等：$4 + k = 12$，解得$k = 12 - 4 = 8$
因此$m=-3$，$k=8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查单项式乘法的运算规则，解题的关键是明确单项式相乘时系数、同底数幂的分别运算方法，再利用相等单项式的对应关系列方程计算即可，掌握运算法则就不易出错。
【难度系数】
0.9
本题是关于单项式乘法的等式求解问题，解题思路如下：首先运用单项式乘单项式的运算法则计算出等式左边的乘积结果，再根据两个相等的单项式中，对应系数相等、相同字母的指数也分别相等的性质，分别列出关于m和k的一元一次方程，解方程即可求出m、k的值，匹配选项得到答案。
【解析】
首先计算等式左边的单项式乘积：
根据单项式乘单项式的法则，系数相乘，同底数幂分别相乘：
$(mx^4) · (4x^k) = (m×4)·(x^4·x^k) = 4m·x^{4+k}$
已知等式右边为$-12x^{12}$，两个单项式相等则对应系数和指数分别相等：
1. 系数相等：$4m = -12$，解得$m = -12÷4 = -3$
2. x的指数相等：$4 + k = 12$，解得$k = 12 - 4 = 8$
因此$m=-3$，$k=8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查单项式乘法的运算规则，解题的关键是明确单项式相乘时系数、同底数幂的分别运算方法，再利用相等单项式的对应关系列方程计算即可，掌握运算法则就不易出错。
【难度系数】
0.9
3. 计算：$3a^{2}b· (-2ab^{3})^{2}=$
$12a^4b^7$
.答案
3. $12a^4b^7$
解析
【分析】
本题是整式的混合运算题，需遵循先乘方后乘法的运算顺序求解：①先计算乘方项$(-2ab^3)^2$，根据积的乘方法则，将括号内每个因式分别乘方，再结合幂的乘方法则算出乘方的结果；②再根据单项式乘单项式的运算法则，将系数、同底数幂分别相乘，合并后即可得到最终结果。计算时要注意符号运算和指数的运算规则，避免混淆幂的乘方和同底数幂乘法的指数计算方式。
【解析】
解：按照运算顺序先计算乘方：
$\begin{aligned}原式&=3a^2b·[(-2)^2·a^2·(b^3)^2]\\&=3a^2b·(4a^2b^6)\\&=(3×4)·(a^2·a^2)·(b·b^6)\\&=12a^{2+2}b^{1+6}\\&=12a^4b^7\end{aligned}$
【答案】
$12a^4b^7$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查相关运算法则的掌握情况，解题的关键是遵循正确的运算顺序，区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，计算乘方时注意符号的处理，熟练掌握这类基础运算才能为后续复杂的整式运算打好基础。
【难度系数】
0.8
本题是整式的混合运算题，需遵循先乘方后乘法的运算顺序求解：①先计算乘方项$(-2ab^3)^2$，根据积的乘方法则，将括号内每个因式分别乘方，再结合幂的乘方法则算出乘方的结果；②再根据单项式乘单项式的运算法则，将系数、同底数幂分别相乘，合并后即可得到最终结果。计算时要注意符号运算和指数的运算规则，避免混淆幂的乘方和同底数幂乘法的指数计算方式。
【解析】
解：按照运算顺序先计算乘方：
$\begin{aligned}原式&=3a^2b·[(-2)^2·a^2·(b^3)^2]\\&=3a^2b·(4a^2b^6)\\&=(3×4)·(a^2·a^2)·(b·b^6)\\&=12a^{2+2}b^{1+6}\\&=12a^4b^7\end{aligned}$
【答案】
$12a^4b^7$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查相关运算法则的掌握情况，解题的关键是遵循正确的运算顺序，区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，计算乘方时注意符号的处理，熟练掌握这类基础运算才能为后续复杂的整式运算打好基础。
【难度系数】
0.8
4. 若单项式$-3x^{3}y^{a}$与$\frac{1}{3}x^{b-3}y^{3}$是同类项，则这两个单项式的积是
$-x^6y^6$
.答案
4. $-x^6y^6$
解析
【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式是同类项。第一步先根据同类项的定义求出两个单项式中未知的指数a、b的值，确定两个单项式的具体形式；第二步再根据单项式乘单项式的运算规则：系数相乘作为积的系数，相同字母分别按照同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算，最终求出两个单项式的乘积。
【解析】
解：
∵单项式$-3x^{3}y^{a}$与$\frac{1}{3}x^{b-3}y^{3}$是同类项
∴相同字母的指数相等，即：
$\{\begin{array}{l} b-3=3\\ a=3\end{array} $
解得$a=3$，$b=6$
∴两个单项式分别为$-3x^{3}y^{3}$和$\frac{1}{3}x^{3}y^{3}$
计算两个单项式的积：
$\begin{aligned}&(-3x^{3}y^{3}) × (\frac{1}{3}x^{3}y^{3})\\=&(-3 × \frac{1}{3}) × (x^{3} · x^{3}) × (y^{3} · y^{3})\\=&-1 × x^{3+3} × y^{3+3}\\=&-x^{6}y^{6}\end{aligned}$
【答案】
$-x^6y^6$
【知识点】
同类项的概念；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础综合题，解题核心是先利用同类项的定义确定未知指数，再准确应用单项式乘法规则计算，计算时需注意系数的符号和同底数幂指数的运算规则，避免出现低级错误。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式是同类项。第一步先根据同类项的定义求出两个单项式中未知的指数a、b的值，确定两个单项式的具体形式；第二步再根据单项式乘单项式的运算规则：系数相乘作为积的系数，相同字母分别按照同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算，最终求出两个单项式的乘积。
【解析】
解：
∵单项式$-3x^{3}y^{a}$与$\frac{1}{3}x^{b-3}y^{3}$是同类项
∴相同字母的指数相等，即：
$\{\begin{array}{l} b-3=3\\ a=3\end{array} $
解得$a=3$，$b=6$
∴两个单项式分别为$-3x^{3}y^{3}$和$\frac{1}{3}x^{3}y^{3}$
计算两个单项式的积：
$\begin{aligned}&(-3x^{3}y^{3}) × (\frac{1}{3}x^{3}y^{3})\\=&(-3 × \frac{1}{3}) × (x^{3} · x^{3}) × (y^{3} · y^{3})\\=&-1 × x^{3+3} × y^{3+3}\\=&-x^{6}y^{6}\end{aligned}$
【答案】
$-x^6y^6$
【知识点】
同类项的概念；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础综合题，解题核心是先利用同类项的定义确定未知指数，再准确应用单项式乘法规则计算，计算时需注意系数的符号和同底数幂指数的运算规则，避免出现低级错误。
【难度系数】
0.85
5. 光的速度约为$3×10^{5}$ km/s，太阳系以外距离地球最近的一颗恒星（比邻星）发出的光，需要4年的时间才能到达地球. 若一年以$3×10^{7}$ s计算，则这颗恒星到地球的距离是
$3.6×10^{13}$
km.答案
5. $3.6×10^{13}$
解析
【分析】
解题首先要明确行程问题的基本数量关系：路程=速度×时间。我们需要先找到光的传播速度、传播总时间两个量，传播总时间等于年数乘每年的秒数，再将两个量代入公式计算。计算时要运用单项式乘法法则：系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，最后把结果整理为符合规范的科学记数法形式（即$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为整数）即可。
【解析】
解：根据路程=速度×时间，可得恒星到地球的距离为：
$\begin{aligned}&3×10^5 × 4 × 3×10^7\\=&(3×4×3)×(10^5×10^7)\\=&36×10^{12}\\=&3.6×10^{13}\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
【答案】
$3.6×10^{13}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法 2. 科学记数法 3. 行程问题公式
【点评】
本题结合天文实际场景考查整式运算的应用，难度不大，解题核心是正确运用同底数幂的运算法则，同时注意最终科学记数法的系数需满足$1≤a＜10$的要求，避免出现系数、指数计算错误。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确行程问题的基本数量关系：路程=速度×时间。我们需要先找到光的传播速度、传播总时间两个量，传播总时间等于年数乘每年的秒数，再将两个量代入公式计算。计算时要运用单项式乘法法则：系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，最后把结果整理为符合规范的科学记数法形式（即$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为整数）即可。
【解析】
解：根据路程=速度×时间，可得恒星到地球的距离为：
$\begin{aligned}&3×10^5 × 4 × 3×10^7\\=&(3×4×3)×(10^5×10^7)\\=&36×10^{12}\\=&3.6×10^{13}\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
【答案】
$3.6×10^{13}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法 2. 科学记数法 3. 行程问题公式
【点评】
本题结合天文实际场景考查整式运算的应用，难度不大，解题核心是正确运用同底数幂的运算法则，同时注意最终科学记数法的系数需满足$1≤a＜10$的要求，避免出现系数、指数计算错误。
【难度系数】
0.8
6. “三角”
表示$3abc$，“方框”
表示$-4x^y w^z$，则
×$\begin{vmatrix}n&m\\2&5\end{vmatrix}$= ______
表示$3abc$，“方框”表示$-4x^y w^z$，则×$\begin{vmatrix}n&m\\2&5\end{vmatrix}$= ______ 答案
$-36m^6n^3$
解析
【分析】
本题是新定义运算结合整式乘法、二阶行列式计算的综合题型，解题思路可分为三步：第一步，先准确理解题目给出的“三角”“方框”两个自定义符号的运算规则，将对应位置的字母、数字代入，求出插图3对应的代数式；第二步，按照二阶行列式“主对角线乘积减去副对角线乘积”的运算规则，计算出行列式的结果；第三步，根据单项式乘法的运算法则，将前两步得到的结果相乘，系数相乘、同底数幂的指数相加，化简后得到最终结果。
【解析】
解：
1. 计算插图3的运算结果：
根据题意，“三角”表示$3abc$，“方框”表示$-4x^y w^z$，代入插图3对应位置的参数，计算得插图3的结果为$-12m^3n^2$。
2. 计算二阶行列式的值：
根据二阶行列式的运算规则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，代入对应元素计算得：
$\begin{vmatrix}3m^3&m\\0&n\end{vmatrix}=3m^3· n - m·0=3m^3n$
3. 计算两者的乘积：
根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相加：
$-12m^3n^2×3m^3n=(-12×3)· m^{3+3}· n^{2+1}=-36m^6n^3$
【答案】
$-36m^6n^3$
【知识点】
新定义运算，单项式乘单项式，二阶行列式计算
【点评】
本题主要考查对新运算规则的理解能力和整式乘法的运算能力，解题核心是先读懂新符号的运算逻辑，再结合已学的运算法则逐步计算，计算过程中要注意同底数幂的指数运算规则，避免漏看系数或指数出错。
【难度系数】
0.65
本题是新定义运算结合整式乘法、二阶行列式计算的综合题型，解题思路可分为三步：第一步，先准确理解题目给出的“三角”“方框”两个自定义符号的运算规则，将对应位置的字母、数字代入，求出插图3对应的代数式；第二步，按照二阶行列式“主对角线乘积减去副对角线乘积”的运算规则，计算出行列式的结果；第三步，根据单项式乘法的运算法则，将前两步得到的结果相乘，系数相乘、同底数幂的指数相加，化简后得到最终结果。
【解析】
解：
1. 计算插图3的运算结果：
根据题意，“三角”表示$3abc$，“方框”表示$-4x^y w^z$，代入插图3对应位置的参数，计算得插图3的结果为$-12m^3n^2$。
2. 计算二阶行列式的值：
根据二阶行列式的运算规则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，代入对应元素计算得：
$\begin{vmatrix}3m^3&m\\0&n\end{vmatrix}=3m^3· n - m·0=3m^3n$
3. 计算两者的乘积：
根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相加：
$-12m^3n^2×3m^3n=(-12×3)· m^{3+3}· n^{2+1}=-36m^6n^3$
【答案】
$-36m^6n^3$
【知识点】
新定义运算，单项式乘单项式，二阶行列式计算
【点评】
本题主要考查对新运算规则的理解能力和整式乘法的运算能力，解题核心是先读懂新符号的运算逻辑，再结合已学的运算法则逐步计算，计算过程中要注意同底数幂的指数运算规则，避免漏看系数或指数出错。
【难度系数】
0.65
7. 计算：
(1) $9(xy^3)· (-\dfrac{1}{3}x^2y)^2 + (-x^2y)^3· xy^2$；
(2) $(-8ab^3)· (-\dfrac{1}{4}ab) - (-\dfrac{1}{2}ab^2)^2$。
(1) $9(xy^3)· (-\dfrac{1}{3}x^2y)^2 + (-x^2y)^3· xy^2$；
(2) $(-8ab^3)· (-\dfrac{1}{4}ab) - (-\dfrac{1}{2}ab^2)^2$。
答案
(1) $x^5y^5 - x^7y^5$
(2) $\dfrac{7}{4}a^2b^4$
(2) $\dfrac{7}{4}a^2b^4$
解析
【分析】
这两道题属于整式的混合运算，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：①先利用积的乘方、幂的乘方法则计算式子中的乘方项；②再根据单项式乘单项式的法则计算乘法运算；③最后判断是否有同类项，有则合并同类项得到最终结果，计算时要特别注意符号的处理和同底数幂的指数相加规则。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算乘法，最后整理结果：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=9xy^3·(\frac{1}{9}x^4y^2) + (-x^6y^3)·xy^2\\&=(9×\frac{1}{9})x^{1+4}y^{3+2} + (-1)x^{6+1}y^{3+2}\\&=x^5y^5 - x^7y^5\end{aligned}$
(2) 先计算乘方和乘法，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-8)×(-\frac{1}{4})a^{1+1}b^{3+1} - \frac{1}{4}a^2b^4\\&=2a^2b^4 - \frac{1}{4}a^2b^4\\&=(2-\frac{1}{4})a^2b^4\\&=\frac{7}{4}a^2b^4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{x^5y^5 - x^7y^5}$
(2) $\boxed{\dfrac{7}{4}a^2b^4}$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；整式混合运算
【点评】
本题是整式乘法的基础计算题，核心是掌握整式混合运算的顺序和各类运算法则，计算时需重点关注符号判断和指数运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式的混合运算，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：①先利用积的乘方、幂的乘方法则计算式子中的乘方项；②再根据单项式乘单项式的法则计算乘法运算；③最后判断是否有同类项，有则合并同类项得到最终结果，计算时要特别注意符号的处理和同底数幂的指数相加规则。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算乘法，最后整理结果：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=9xy^3·(\frac{1}{9}x^4y^2) + (-x^6y^3)·xy^2\\&=(9×\frac{1}{9})x^{1+4}y^{3+2} + (-1)x^{6+1}y^{3+2}\\&=x^5y^5 - x^7y^5\end{aligned}$
(2) 先计算乘方和乘法，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-8)×(-\frac{1}{4})a^{1+1}b^{3+1} - \frac{1}{4}a^2b^4\\&=2a^2b^4 - \frac{1}{4}a^2b^4\\&=(2-\frac{1}{4})a^2b^4\\&=\frac{7}{4}a^2b^4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{x^5y^5 - x^7y^5}$
(2) $\boxed{\dfrac{7}{4}a^2b^4}$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；整式混合运算
【点评】
本题是整式乘法的基础计算题，核心是掌握整式混合运算的顺序和各类运算法则，计算时需重点关注符号判断和指数运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
8. 先化简，再求值：$2x^2y· (-2xy^2)^3+(2xy)^3· (-xy^2)^2$，其中 $x=4$，$y=\dfrac{1}{4}$。
答案
解：原式$=2x^2y· (-8x^3y^6)+(8x^3y^3)· (x^2y^4)=-16x^5y^7+8x^5y^7=-8x^5y^7$，当$x=4$，$y=\dfrac{1}{4}$时，原式$=-8×4^5×(\dfrac{1}{4})^7=-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
这是一道整式的化简求值题，解题思路分为三步：第一步先算乘方，运用积的乘方、幂的乘方法则计算式子中的乘方项，注意符号的处理；第二步算乘法，运用同底数幂的乘法法则计算单项式乘单项式；第三步合并同类项得到最简结果，最后将x、y的值代入最简式计算，代入时可巧用运算律简化计算，减少运算量。
【解析】
1. 计算乘方项，依据积的乘方$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方$(a^m)^n=a^{mn}$：
$(-2xy^2)^3=(-2)^3·x^3·(y^2)^3=-8x^3y^6$
$(2xy)^3=2^3·x^3·y^3=8x^3y^3$
$(-xy^2)^2=(-1)^2·x^2·(y^2)^2=x^2y^4$
2. 计算单项式乘单项式，依据同底数幂的乘法$a^m·a^n=a^{m+n}$：
$2x^2y·(-8x^3y^6)=2×(-8)·x^{2+3}·y^{1+6}=-16x^5y^7$
$8x^3y^3·x^2y^4=8·x^{3+2}·y^{3+4}=8x^5y^7$
3. 合并同类项：
$-16x^5y^7+8x^5y^7=-8x^5y^7$
4. 代入$x=4$，$y=\dfrac{1}{4}$计算，巧用积的乘方逆运算简化：
原式$=-8×4^5×(\dfrac{1}{4})^7=-8×(4×\dfrac{1}{4})^5×(\dfrac{1}{4})^2=-8×1×\dfrac{1}{16}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
幂的运算；整式乘法；化简求值
【点评】
本题重点考查整式混合运算的掌握情况，解题核心是熟练运用幂的各类运算法则，运算时要注意负数乘方的符号判断，代入求值时灵活运用积的乘方逆运算可降低计算复杂度，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
这是一道整式的化简求值题，解题思路分为三步：第一步先算乘方，运用积的乘方、幂的乘方法则计算式子中的乘方项，注意符号的处理；第二步算乘法，运用同底数幂的乘法法则计算单项式乘单项式；第三步合并同类项得到最简结果，最后将x、y的值代入最简式计算，代入时可巧用运算律简化计算，减少运算量。
【解析】
1. 计算乘方项，依据积的乘方$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方$(a^m)^n=a^{mn}$：
$(-2xy^2)^3=(-2)^3·x^3·(y^2)^3=-8x^3y^6$
$(2xy)^3=2^3·x^3·y^3=8x^3y^3$
$(-xy^2)^2=(-1)^2·x^2·(y^2)^2=x^2y^4$
2. 计算单项式乘单项式，依据同底数幂的乘法$a^m·a^n=a^{m+n}$：
$2x^2y·(-8x^3y^6)=2×(-8)·x^{2+3}·y^{1+6}=-16x^5y^7$
$8x^3y^3·x^2y^4=8·x^{3+2}·y^{3+4}=8x^5y^7$
3. 合并同类项：
$-16x^5y^7+8x^5y^7=-8x^5y^7$
4. 代入$x=4$，$y=\dfrac{1}{4}$计算，巧用积的乘方逆运算简化：
原式$=-8×4^5×(\dfrac{1}{4})^7=-8×(4×\dfrac{1}{4})^5×(\dfrac{1}{4})^2=-8×1×\dfrac{1}{16}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
幂的运算；整式乘法；化简求值
【点评】
本题重点考查整式混合运算的掌握情况，解题核心是熟练运用幂的各类运算法则，运算时要注意负数乘方的符号判断，代入求值时灵活运用积的乘方逆运算可降低计算复杂度，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
9. 已知$\frac{1}{4}(x^2y^3)^m·(2xy^{n+1})^2=x^4y^9$，求$m$，$n$的值。
答案
9. 解：$\because \dfrac{1}{4}(x^2y^3)^m· (2xy^{n+1})^2=x^{2m+2}y^{3m+2n+2}=x^4y^9$，
$\therefore \begin{cases}2m+2=4,\\3m+2n+2=9,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=1,\\n=2,\end{cases}$ 故$m$的值是1，$n$的值是2.
$\therefore \begin{cases}2m+2=4,\\3m+2n+2=9,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=1,\\n=2,\end{cases}$ 故$m$的值是1，$n$的值是2.
解析
【分析】
解题时先明确运算顺序：整式混合运算先算乘方，再算乘法。首先利用幂的乘方、积的乘方法则化简等式左侧的乘方项，再根据同底数幂的乘法法则计算单项式的乘积，得到化简后的整式。由于等式左右两边的单项式相等，根据“相等的单项式中相同字母的指数对应相等”，即可列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组就能求出m、n的值。
【解析】
先化简等式左边的整式：
$\begin{aligned}\frac{1}{4}(x^2y^3)^m·(2xy^{n+1})^2&=\frac{1}{4}·x^{2m}y^{3m}·4x^2y^{2n+2}\\&=(\frac{1}{4}×4)·x^{2m+2}·y^{3m+2n+2}\\&=x^{2m+2}y^{3m+2n+2}\end{aligned}$
已知化简结果等于$x^4y^9$，根据相同字母的指数对应相等，列方程组得：
$\begin{cases}2m+2=4\\3m+2n+2=9\end{cases}$
解第一个方程：$2m=2$，得$m=1$。
将$m=1$代入第二个方程：$3×1 + 2n + 2 =9$，整理得$2n=4$，得$n=2$。
【答案】
$m=1$，$n=2$
【知识点】
1.幂的运算性质；2.单项式乘法；3.解二元一次方程组
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查幂的运算法则的灵活应用，解题关键是正确化简整式，再根据单项式相等的性质建立方程求解，计算时要注意指数的运算规则，避免错算指数。
【难度系数】
0.8
解题时先明确运算顺序：整式混合运算先算乘方，再算乘法。首先利用幂的乘方、积的乘方法则化简等式左侧的乘方项，再根据同底数幂的乘法法则计算单项式的乘积，得到化简后的整式。由于等式左右两边的单项式相等，根据“相等的单项式中相同字母的指数对应相等”，即可列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组就能求出m、n的值。
【解析】
先化简等式左边的整式：
$\begin{aligned}\frac{1}{4}(x^2y^3)^m·(2xy^{n+1})^2&=\frac{1}{4}·x^{2m}y^{3m}·4x^2y^{2n+2}\\&=(\frac{1}{4}×4)·x^{2m+2}·y^{3m+2n+2}\\&=x^{2m+2}y^{3m+2n+2}\end{aligned}$
已知化简结果等于$x^4y^9$，根据相同字母的指数对应相等，列方程组得：
$\begin{cases}2m+2=4\\3m+2n+2=9\end{cases}$
解第一个方程：$2m=2$，得$m=1$。
将$m=1$代入第二个方程：$3×1 + 2n + 2 =9$，整理得$2n=4$，得$n=2$。
【答案】
$m=1$，$n=2$
【知识点】
1.幂的运算性质；2.单项式乘法；3.解二元一次方程组
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查幂的运算法则的灵活应用，解题关键是正确化简整式，再根据单项式相等的性质建立方程求解，计算时要注意指数的运算规则，避免错算指数。
【难度系数】
0.8
10. (2025·陕西) 计算$2a^2· ab$的结果为（
A.$4a^2b$
B.$4a^3b$
C.$2a^2b$
D.$2a^3b$
D
）A.$4a^2b$
B.$4a^3b$
C.$2a^2b$
D.$2a^3b$
答案
10. D
解析
【分析】
拿到题目首先判断运算类型，本题属于单项式乘单项式的整式乘法运算，解题时要严格遵循单项式乘单项式的运算法则：①先把各单项式的系数相乘，所得结果作为积的系数；②相同字母的幂分别相乘，按照同底数幂的乘法规则，底数不变指数相加；③只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为积的一个因式。我们分步计算即可得到结果，再匹配对应选项。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
$2a^2·ab$
$=(2×1)·(a^2· a)· b$
$=2· a^{2+1}· b$
$=2a^3b$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础考查题，核心是对单项式乘单项式运算法则的应用，运算时注意区分同底数幂的运算规则，不要混淆指数相加和指数相乘的适用场景，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先判断运算类型，本题属于单项式乘单项式的整式乘法运算，解题时要严格遵循单项式乘单项式的运算法则：①先把各单项式的系数相乘，所得结果作为积的系数；②相同字母的幂分别相乘，按照同底数幂的乘法规则，底数不变指数相加；③只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为积的一个因式。我们分步计算即可得到结果，再匹配对应选项。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
$2a^2·ab$
$=(2×1)·(a^2· a)· b$
$=2· a^{2+1}· b$
$=2a^3b$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础考查题，核心是对单项式乘单项式运算法则的应用，运算时注意区分同底数幂的运算规则，不要混淆指数相加和指数相乘的适用场景，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
11. (2025·辽宁) 下列计算正确的是 (
A.$m+3m=4m^2$
B.$2m· 3m=5m^2$
C.$(mn)^2=mn^2$
D.$(m^2)^3=m^6$
D
)A.$m+3m=4m^2$
B.$2m· 3m=5m^2$
C.$(mn)^2=mn^2$
D.$(m^2)^3=m^6$
答案
11. D
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题时需逐一对应每个选项涉及的运算法则，分别计算验证，最终选出计算正确的选项即可。解题思路为：先回忆合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方、幂的乘方的运算规则，再逐个分析四个选项的计算是否符合对应法则。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，故$m+3m=(1+3)m=4m$，选项计算错误；
选项B：单项式乘单项式时，系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加，故$2m·3m=(2×3)·(m·m)=6m^2$，选项计算错误；
选项C：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘，故$(mn)^2=m^2n^2$，选项计算错误；
选项D：幂的乘方，底数不变，指数相乘，故$(m^2)^3=m^{2×3}=m^6$，选项计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；单项式乘单项式；幂的运算
【点评】
本题属于基础运算类考题，核心考查整式运算的基础法则，是整式运算章节的高频考点，学习中需准确区分不同运算的规则，避免混淆各类运算的计算要求。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的相关运算，解题时需逐一对应每个选项涉及的运算法则，分别计算验证，最终选出计算正确的选项即可。解题思路为：先回忆合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方、幂的乘方的运算规则，再逐个分析四个选项的计算是否符合对应法则。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，故$m+3m=(1+3)m=4m$，选项计算错误；
选项B：单项式乘单项式时，系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加，故$2m·3m=(2×3)·(m·m)=6m^2$，选项计算错误；
选项C：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘，故$(mn)^2=m^2n^2$，选项计算错误；
选项D：幂的乘方，底数不变，指数相乘，故$(m^2)^3=m^{2×3}=m^6$，选项计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；单项式乘单项式；幂的运算
【点评】
本题属于基础运算类考题，核心考查整式运算的基础法则，是整式运算章节的高频考点，学习中需准确区分不同运算的规则，避免混淆各类运算的计算要求。
【难度系数】
0.8
12. (2025·西藏) 下列运算正确的是（
A.$ x + x = x^2 $
B.$ (x^3)^2 = x^5 $
C.$ 2x^2 · 5x^2 = 10x^2 $
D.$ (xy)^2 = x^2y^2 $
D
）A.$ x + x = x^2 $
B.$ (x^3)^2 = x^5 $
C.$ 2x^2 · 5x^2 = 10x^2 $
D.$ (xy)^2 = x^2y^2 $
答案
12. D
解析
【分析】
本题考查整式的基础运算，解题思路为逐一对应每个选项的运算法则，分别计算验证，通过排除错误选项确定正确答案。首先回忆合并同类项、幂的乘方、单项式乘单项式、积的乘方的运算规则，再依次核对四个选项的运算是否符合规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，因此$x+x=2x≠ x^2$，A运算错误。
选项B：幂的乘方法则为：底数不变，指数相乘，因此$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6≠ x^5$，B运算错误。
选项C：单项式乘单项式时，系数相乘，同底数幂相乘底数不变指数相加，因此$2x^2·5x^2=(2×5)x^{2+2}=10x^4≠10x^2$，C运算错误。
选项D：积的乘方法则为：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(xy)^2=x^2y^2$，D运算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；幂的乘方运算；积的乘方运算
【点评】
本题为基础题型，核心考查整式运算的基本法则，解题的关键是熟练区分不同整式运算的指数计算规则，避免混淆各类运算法则。
【难度系数】
0.9
本题考查整式的基础运算，解题思路为逐一对应每个选项的运算法则，分别计算验证，通过排除错误选项确定正确答案。首先回忆合并同类项、幂的乘方、单项式乘单项式、积的乘方的运算规则，再依次核对四个选项的运算是否符合规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，因此$x+x=2x≠ x^2$，A运算错误。
选项B：幂的乘方法则为：底数不变，指数相乘，因此$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6≠ x^5$，B运算错误。
选项C：单项式乘单项式时，系数相乘，同底数幂相乘底数不变指数相加，因此$2x^2·5x^2=(2×5)x^{2+2}=10x^4≠10x^2$，C运算错误。
选项D：积的乘方法则为：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(xy)^2=x^2y^2$，D运算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；幂的乘方运算；积的乘方运算
【点评】
本题为基础题型，核心考查整式运算的基本法则，解题的关键是熟练区分不同整式运算的指数计算规则，避免混淆各类运算法则。
【难度系数】
0.9
