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【知识点】单项式与多项式相乘
◎ 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘
◎ 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘
多项式的每一项
，再把所得的积相加
. 即 $ p(a+b+c)= $pa+pb+pc
.答案
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 $p(a+b+c)=pa+pb+pc$
解析
【分析】
本题考查单项式与多项式相乘的基本运算法则，解题时可直接回忆该法则的核心内容：多项式是多个单项式的和，因此单项式乘多项式时，需要先将单项式与多项式的每一项分别相乘，再将所有乘得的结果相加，最后对应写出字母表达的运算公式即可。
【解析】
根据单项式与多项式相乘的运算法则：
1. 运算第一步：用单项式去乘多项式的每一项；
2. 运算第二步：把第一步得到的所有积相加；
3. 对应公式展开：$p(a+b+c)$就是用p分别乘a、b、c，再相加，结果为$pa+pb+pc$。
【答案】
多项式的每一项；相加；$pa+pb+pc$
【知识点】
单项式与多项式相乘法则
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考查整式乘法的基础法则，牢记相关知识点即可快速准确解答。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式与多项式相乘的基本运算法则，解题时可直接回忆该法则的核心内容：多项式是多个单项式的和，因此单项式乘多项式时，需要先将单项式与多项式的每一项分别相乘，再将所有乘得的结果相加，最后对应写出字母表达的运算公式即可。
【解析】
根据单项式与多项式相乘的运算法则：
1. 运算第一步：用单项式去乘多项式的每一项；
2. 运算第二步：把第一步得到的所有积相加；
3. 对应公式展开：$p(a+b+c)$就是用p分别乘a、b、c，再相加，结果为$pa+pb+pc$。
【答案】
多项式的每一项；相加；$pa+pb+pc$
【知识点】
单项式与多项式相乘法则
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考查整式乘法的基础法则，牢记相关知识点即可快速准确解答。
【难度系数】
0.9
1. 计算$3a(5a+2b)$的结果为（
A.$15a^2+6b$
B.$15a+6ab$
C.$15ab+6ab$
D.$15a^2+6ab$
D
）A.$15a^2+6b$
B.$15a+6ab$
C.$15ab+6ab$
D.$15a^2+6ab$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加；接下来分别计算3a与5a的乘积、3a与2b的乘积，再将两个乘积相加，最后对照选项选出正确答案即可，计算时要注意同底数幂相乘的运算规则，避免漏乘字母或算错系数、指数。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}3a(5a+2b)&=3a·5a + 3a·2b\\&=15a^2 + 6ab\end{aligned}$
因此结果与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是对单项式乘多项式运算法则的应用，计算时需注意不要漏乘多项式中的项，同时要准确计算系数和字母的指数，避免出现漏乘字母、指数计算错误等低级失误。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加；接下来分别计算3a与5a的乘积、3a与2b的乘积，再将两个乘积相加，最后对照选项选出正确答案即可，计算时要注意同底数幂相乘的运算规则，避免漏乘字母或算错系数、指数。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}3a(5a+2b)&=3a·5a + 3a·2b\\&=15a^2 + 6ab\end{aligned}$
因此结果与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是对单项式乘多项式运算法则的应用，计算时需注意不要漏乘多项式中的项，同时要准确计算系数和字母的指数，避免出现漏乘字母、指数计算错误等低级失误。
【难度系数】
0.9
2. 若$2x(x-2)=ax^2+bx$，则$a$，$b$的值为（
A.$a=1$，$b=2$
B.$a=2$，$b=-2$
C.$a=2$，$b=4$
D.$a=2$，$b=-4$
D
）A.$a=1$，$b=2$
B.$a=2$，$b=-2$
C.$a=2$，$b=4$
D.$a=2$，$b=-4$
答案
2. D
解析
【分析】
要确定a、b的值，首先需要将等式左侧的单项式乘多项式展开化简，再根据等式两边多项式相等时，对应同类项的系数相等的规则，分别匹配二次项、一次项的系数即可得到a和b的取值。
【解析】
首先计算等式左侧的整式：
根据单项式乘多项式的运算法则：$2x(x-2)=2x· x - 2x· 2=2x^2-4x$
已知$2x(x-2)=ax^2+bx$，因此可得$2x^2-4x=ax^2+bx$
等式两边同类项的系数对应相等，因此二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-4$。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；同类项系数相等
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查整式乘法的运算规则和恒等变形中对应系数相等的应用，解题时需注意符号运算，避免漏乘或符号出错。
【难度系数】
0.8
要确定a、b的值，首先需要将等式左侧的单项式乘多项式展开化简，再根据等式两边多项式相等时，对应同类项的系数相等的规则，分别匹配二次项、一次项的系数即可得到a和b的取值。
【解析】
首先计算等式左侧的整式：
根据单项式乘多项式的运算法则：$2x(x-2)=2x· x - 2x· 2=2x^2-4x$
已知$2x(x-2)=ax^2+bx$，因此可得$2x^2-4x=ax^2+bx$
等式两边同类项的系数对应相等，因此二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-4$。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；同类项系数相等
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查整式乘法的运算规则和恒等变形中对应系数相等的应用，解题时需注意符号运算，避免漏乘或符号出错。
【难度系数】
0.8
【例】先化简，再求值：$3a(2a^2 -4a +3)-2a^2(3a+4)$，其中 $a=-2$.
【点拨】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可.
【点拨】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可.
答案
解：$3a(2a^2-4a+3)-2a^2(3a+4)$
$=6a^3-12a^2+9a-6a^3-8a^2$
$=-20a^2+9a$,
当 $a=-2$ 时，原式$=-20×4-9×2=-98$.
$=6a^3-12a^2+9a-6a^3-8a^2$
$=-20a^2+9a$,
当 $a=-2$ 时，原式$=-20×4-9×2=-98$.
解析
【分析】
拿到这类整式化简求值题，我们按照“先化简、再求值”的思路求解：第一步先去括号，根据单项式乘多项式的法则，用单项式分别乘多项式的每一项，注意括号前是负号时，去括号后各项要变号；第二步合并同类项，将相同次数的整式项合并，得到最简结果；第三步将已知的a的取值代入最简式计算，即可求出最终值。
【解析】
解：先化简整式：
$3a(2a^2-4a+3)-2a^2(3a+4)$
根据单项式乘多项式法则展开括号：
$=3a·2a^2 + 3a·(-4a) + 3a·3 + (-2a^2)·3a + (-2a^2)·4$
$=6a^3-12a^2+9a-6a^3-8a^2$
合并同类项：
$=(6a^3-6a^3)+(-12a^2-8a^2)+9a$
$=-20a^2+9a$
再代入$a=-2$求值：
原式$=-20×(-2)^2 + 9×(-2)$
$=-20×4 - 18$
$=-80-18$
$=-98$
【答案】
化简结果为$-20a^2+9a$，求值结果为$\boldsymbol{-98}$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，解题时需格外注意去括号的符号问题，代入数值计算时要注意负数乘方的运算规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
拿到这类整式化简求值题，我们按照“先化简、再求值”的思路求解：第一步先去括号，根据单项式乘多项式的法则，用单项式分别乘多项式的每一项，注意括号前是负号时，去括号后各项要变号；第二步合并同类项，将相同次数的整式项合并，得到最简结果；第三步将已知的a的取值代入最简式计算，即可求出最终值。
【解析】
解：先化简整式：
$3a(2a^2-4a+3)-2a^2(3a+4)$
根据单项式乘多项式法则展开括号：
$=3a·2a^2 + 3a·(-4a) + 3a·3 + (-2a^2)·3a + (-2a^2)·4$
$=6a^3-12a^2+9a-6a^3-8a^2$
合并同类项：
$=(6a^3-6a^3)+(-12a^2-8a^2)+9a$
$=-20a^2+9a$
再代入$a=-2$求值：
原式$=-20×(-2)^2 + 9×(-2)$
$=-20×4 - 18$
$=-80-18$
$=-98$
【答案】
化简结果为$-20a^2+9a$，求值结果为$\boldsymbol{-98}$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，解题时需格外注意去括号的符号问题，代入数值计算时要注意负数乘方的运算规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
1. 计算$2x(3x^2+1)$，正确的结果是（
A.$5x^3+2x$
B.$6x^3+1$
C.$6x^3+2x$
D.$6x^2+2x$
C
）A.$5x^3+2x$
B.$6x^3+1$
C.$6x^3+2x$
D.$6x^2+2x$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先识别运算类型为单项式乘多项式，回忆对应运算法则：用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加；运算过程中要用到同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加），注意不要漏乘多项式中的常数项，最后将计算结果与选项对比即可选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}2x(3x^2+1)&=2x·3x^2 + 2x·1\\&=(2×3)x^{1+2} + 2x\\&=6x^3 + 2x\end{aligned}$
对比选项，C选项符合计算结果。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础计算题，核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，易错点是容易漏乘多项式的常数项，或同底数幂运算时指数计算错误，掌握运算法则即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先识别运算类型为单项式乘多项式，回忆对应运算法则：用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加；运算过程中要用到同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加），注意不要漏乘多项式中的常数项，最后将计算结果与选项对比即可选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}2x(3x^2+1)&=2x·3x^2 + 2x·1\\&=(2×3)x^{1+2} + 2x\\&=6x^3 + 2x\end{aligned}$
对比选项，C选项符合计算结果。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础计算题，核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，易错点是容易漏乘多项式的常数项，或同底数幂运算时指数计算错误，掌握运算法则即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
2. 若要使$x(x^2+a)+3x-2b=x^3+5x-6$恒成立，则$a$，$b$的值分别是（
A.$-2$，$-2$
B.$2$，$3$
C.$2$，$-3$
D.$-2$，$2$
B
）A.$-2$，$-2$
B.$2$，$3$
C.$2$，$-3$
D.$-2$，$2$
答案
2. B
解析
【分析】
要使整式等式恒成立，核心思路是：先将等式左边的整式展开、合并同类项，再根据恒等式两边同类项的系数对应相等的规则，分别列关于a、b的方程，解方程即可求出对应数值。
【解析】
1. 先化简等式左侧的整式：
$\begin{aligned}x(x^2+a)+3x-2b&=x^3 + ax + 3x - 2b\\&=x^3 + (a+3)x - 2b\end{aligned}$
2. 已知化简后的式子和右侧$x^3+5x-6$恒成立，因此同类项的系数对应相等：
一次项系数相等：$a + 3 = 5$，解得$a=2$
常数项相等：$-2b = -6$，解得$b=3$
因此a、b的值分别为2、3。
【答案】
B
【知识点】
整式的乘法；同类项性质；恒等式性质
【点评】
本题是整式运算的基础常见题型，解题的关键是掌握整式化简方法和恒等式同类项系数对应相等的规则，整体计算量小，方法固定易掌握。
【难度系数】
0.8
要使整式等式恒成立，核心思路是：先将等式左边的整式展开、合并同类项，再根据恒等式两边同类项的系数对应相等的规则，分别列关于a、b的方程，解方程即可求出对应数值。
【解析】
1. 先化简等式左侧的整式：
$\begin{aligned}x(x^2+a)+3x-2b&=x^3 + ax + 3x - 2b\\&=x^3 + (a+3)x - 2b\end{aligned}$
2. 已知化简后的式子和右侧$x^3+5x-6$恒成立，因此同类项的系数对应相等：
一次项系数相等：$a + 3 = 5$，解得$a=2$
常数项相等：$-2b = -6$，解得$b=3$
因此a、b的值分别为2、3。
【答案】
B
【知识点】
整式的乘法；同类项性质；恒等式性质
【点评】
本题是整式运算的基础常见题型，解题的关键是掌握整式化简方法和恒等式同类项系数对应相等的规则，整体计算量小，方法固定易掌握。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$(-4x^2)(3x+1)=$
$-12x^3-4x^2$
.答案
3. $-12x^3-4x^2$
解析
【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路为：先回忆单项式乘多项式的运算法则，即使用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。运算过程中需注意：① 单项式带负号，乘每一项时要注意符号变化；② 同底数幂相乘时，遵循底数不变、指数相加的规则；③ 不要漏乘多项式的常数项1。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则：$a(b+c)=ab+ac$，代入计算：
$\begin{aligned}(-4x^2)(3x+1)&=(-4x^2)· 3x + (-4x^2)· 1\\&=(-4×3)x^{2+1} + (-4×1)x^2\\&=-12x^3 -4x^2\end{aligned}$
【答案】
$-12x^3-4x^2$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；单项式乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的易错点在于符号处理以及漏乘多项式的常数项，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路为：先回忆单项式乘多项式的运算法则，即使用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。运算过程中需注意：① 单项式带负号，乘每一项时要注意符号变化；② 同底数幂相乘时，遵循底数不变、指数相加的规则；③ 不要漏乘多项式的常数项1。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则：$a(b+c)=ab+ac$，代入计算：
$\begin{aligned}(-4x^2)(3x+1)&=(-4x^2)· 3x + (-4x^2)· 1\\&=(-4×3)x^{2+1} + (-4×1)x^2\\&=-12x^3 -4x^2\end{aligned}$
【答案】
$-12x^3-4x^2$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；单项式乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的易错点在于符号处理以及漏乘多项式的常数项，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 若关于$x$的多项式$x^4+(2m+1)x^3+(n-1)x+2$不含$x$项和$x^3$的项，则$(m+n)^3$的值为________.
答案
$\frac{1}{8}$
解析
【分析】
解决本题的核心是理解“多项式不含某一项”的含义：若多项式不含某一幂次的项，则说明该项的系数等于0。我们可以先分别定位$x^3$项和$x$项的系数，令两个系数分别为0，列方程求出$m$、$n$的取值，最后代入$(m+n)^3$计算结果即可。
【解析】
∵ 多项式$x^4+(2m+1)x^3+(n-1)x+2$不含$x^3$项和$x$项
∴ $x^3$项的系数为0，$x$项的系数为0，即：
$\begin{cases}2m + 1 = 0 \\n - 1 = 0\end{cases}$
分别解方程：
由$2m + 1 = 0$得$m = -\frac{1}{2}$
由$n - 1 = 0$得$n = 1$
将$m=-\frac{1}{2}$，$n=1$代入$(m+n)^3$：
$m+n = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$
$(m+n)^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
多项式的项与系数，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题是整式相关的基础题型，重点考查对多项式项的系数概念的理解，只要掌握“不含某项即该项系数为0”的规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是理解“多项式不含某一项”的含义：若多项式不含某一幂次的项，则说明该项的系数等于0。我们可以先分别定位$x^3$项和$x$项的系数，令两个系数分别为0，列方程求出$m$、$n$的取值，最后代入$(m+n)^3$计算结果即可。
【解析】
∵ 多项式$x^4+(2m+1)x^3+(n-1)x+2$不含$x^3$项和$x$项
∴ $x^3$项的系数为0，$x$项的系数为0，即：
$\begin{cases}2m + 1 = 0 \\n - 1 = 0\end{cases}$
分别解方程：
由$2m + 1 = 0$得$m = -\frac{1}{2}$
由$n - 1 = 0$得$n = 1$
将$m=-\frac{1}{2}$，$n=1$代入$(m+n)^3$：
$m+n = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$
$(m+n)^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
多项式的项与系数，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题是整式相关的基础题型，重点考查对多项式项的系数概念的理解，只要掌握“不含某项即该项系数为0”的规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
