1. 安庆长江铁路大桥,是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道,位于长江水道之上,是宁安高速铁路与阜景铁路重要组成部分之一,大桥全长约 3 000 m. 现有一列动车从桥上通过,测得动车从开始上桥到完全过桥共用 80 s,整列动车完全在桥上的时间是70 s,则这列动车的长是 ( )

A.400 m
B.300 m
C.200 m
D.100 m

C

【分析】
解决这道题首先要明确动车两种行驶状态对应的行驶路程：①动车从开始上桥到完全过桥，行驶总路程=桥长+动车长度；②整列动车完全在桥上时，行驶总路程=桥长-动车长度。由于动车匀速行驶，两种状态下速度相等，我们可以抓住“速度不变”这个等量关系，设动车长度为未知数，根据“速度=路程÷时间”分别表示两种状态的速度，列一元一次方程求解即可。
【解析】
设这列动车的长度为$ x $ m，动车行驶速度保持不变，根据题意列方程：
$\frac{3000 + x}{80} = \frac{3000 - x}{70}$
去分母（两边同时乘560）得：
$7(3000 + x) = 8(3000 - x)$
展开括号：
$21000 + 7x = 24000 - 8x$
移项、合并同类项：
$15x = 3000$
解得：
$x = 200$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；行程过桥问题
【点评】
本题是典型的行程类实际应用问题，解题核心是准确梳理不同行驶状态对应的路程，抓住速度不变的隐含等量关系列方程，考查学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.7

2. 甲、乙两人在 400 m 环形跑道上练习长跑,两人速度分别是 200 m/min 和 160 m/min.
(1)若两人从同一地点同向起跑,乙起跑1 min 后甲才开始跑,那么甲用多长时间才能追上乙?
(2)若两人从同一地点同时向相反方向跑,多少分钟后两人第一次相遇?
(3)若两人从同一地点同时同向起跑,多少分钟后两人第一次相遇?

解:
(1)设甲用x min才能追上乙.
根据题意,得160+160x=200x,
解得x=4.
答:甲用4 min才能追上乙.
(2)设两人从同一地点同时向相反方向跑,y min后两人第一次相遇.
根据题意,得200y+160y=400,解得y=10/9.
答:两人从同一地点同时向相反方向跑,10/9 min后两人第一次相遇.
(3)设两人从同一地点同时同向起跑,经过z min两人第一次相遇.
根据题意,得200z-160z=400,解得z=10.
答:两人从同一地点同时同向起跑,10 min后两人第一次相遇.

【分析】
本题是环形跑道行程问题，需结合不同出发条件找等量关系列一元一次方程求解：
(1)为同向追及问题，乙先起跑1min，甲追上乙时两人的总路程相等，以此列方程；
(2)为反向相遇问题，两人第一次相遇时路程和恰好等于环形跑道一圈的长度400m，以此列方程；
(3)为同时同向追及问题，甲速度更快，第一次相遇时甲比乙多跑一圈400m，以此列方程。
【解析】
(1)设甲用x min才能追上乙。
乙先跑1min的路程为$160×1=160$m，后续x min乙跑的路程为160x m，甲x min跑的路程为200x m，追上时路程相等，可得方程：
$160+160x=200x$
移项得$200x-160x=160$，即$40x=160$，解得$x=4$。
答：甲用4 min才能追上乙。
(2)设两人从同一地点同时向相反方向跑，y min后两人第一次相遇。
反向跑时两人总路程和为400m，可得方程：
$200y+160y=400$
合并同类项得$360y=400$，解得$y=\frac{10}{9}$。
答：两人从同一地点同时向相反方向跑，$\frac{10}{9}$ min后两人第一次相遇。
(3)设两人从同一地点同时同向起跑，经过z min两人第一次相遇。
同时同向跑时，快的比慢的多跑一圈才会相遇，可得方程：
$200z-160z=400$
合并同类项得$40z=400$，解得$z=10$。
答：两人从同一地点同时同向起跑，10 min后两人第一次相遇。
【答案】
(1)4 min；(2)$\frac{10}{9}$ min；(3)10 min
【知识点】
一元一次方程的应用，相遇问题，追及问题
【点评】
本题是环形跑道行程类的典型应用题，解题核心是根据出发方向、出发时间的差异，准确梳理路程的等量关系，熟练掌握追及、相遇问题的基本公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7

3. 用 A4 纸在甲复印店复印文件,复印页数不超过 20 页时,每页收费 0.5 元;复印页数超过 20 页时,超过部分每页收费降为 0.2 元. 在乙复印店复印同样的文件,不论复印多少页,每页收费都是0.4 元. 当用 A4 纸复印多少页时,在甲复印店的收费比乙复印店的收费恰好多 1 元?

解:设用A4纸复印x页时,在甲复印店的收费比乙复印店的收费恰好多1元.
当x≤20时,0.5x-0.4x=1,
解得x=10;
当x＞20时,20×0.5+(x-20)×0.2-0.4x=1,
解得x=25.
答:当用A4纸复印10页或25页时,在甲复印店的收费比乙复印店的收费恰好多1元.

【分析】
这是分段计费的实际应用题，甲复印店的收费标准按复印页数是否超过20页分为两种情况，因此解题时需要分类讨论。首先设复印页数为x页，根据“甲店收费 - 乙店收费 = 1元”的等量关系，分别在x≤20和x＞20两种情况下列一元一次方程，求解后验证解是否符合对应区间的取值要求即可。
【解析】
解：设用A4纸复印x页时，在甲复印店的收费比乙复印店的收费恰好多1元。
当x≤20时，甲店每页收费0.5元，乙店每页收费0.4元，列方程得：
$0.5x - 0.4x = 1$
解得$x=10$，符合$x≤20$的取值要求。
当x＞20时，甲店前20页每页0.5元，超出部分每页0.2元，乙店每页仍为0.4元，列方程得：
$20×0.5 + (x-20)×0.2 - 0.4x = 1$
化简得：$10 + 0.2x - 4 - 0.4x = 1$，即$6 - 0.2x = 1$
解得$x=25$，符合$x＞20$的取值要求。
【答案】
当用A4纸复印10页或25页时，在甲复印店的收费比乙复印店的收费恰好多1元。
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的分段计费类应用题，解题核心是明确不同分段的收费规则，找准等量关系列方程，同时要注意对求解结果进行验证，判断是否符合对应分段的取值范围，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.65

4. (教材习题改编)某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼,每盒中装 1 块大月饼和 5 块小月饼. 制作一块大月饼要用 0.08 kg 面粉,1 块小月饼要用 0.02 kg 面粉. 现共有面粉 360 kg,制作两种月饼应各用多少面粉,才能生产最多盒的盒装月饼?

解:设制作大月饼用x kg面粉,
则5x/0.08=(360-x)/0.02,解得x=160.
360-x=200.
答:制作大月饼用160 kg面粉,制作小月饼用200 kg面粉.

【分析】
要生产最多的盒装月饼，需保证制作出的大、小月饼刚好全部配套无剩余，根据每盒1块大月饼配5块小月饼的要求，可得等量关系：小月饼的总数量=5×大月饼的总数量。我们可以设制作大月饼用x kg面粉，那么制作小月饼的面粉就是总面粉减去x，即(360-x)kg，再用“面粉总质量÷单块月饼用面粉质量”分别表示出两种月饼的总数量，代入等量关系就能列出方程求解。
【解析】
解：设制作大月饼用x kg面粉，则制作小月饼用(360-x)kg面粉。
根据配套时小月饼数量是大月饼数量的5倍，列方程：
$\frac{5x}{0.08}=\frac{360-x}{0.02}$
解方程：
两边同乘0.08消去分母得：$5x=4×(360-x)$
展开得：$5x=1440-4x$
移项合并得：$9x=1440$
解得：$x=160$
则制作小月饼用的面粉质量为$360-160=200$（kg）
【答案】
制作大月饼用160 kg面粉，制作小月饼用200 kg面粉。
【知识点】
一元一次方程的应用、配套问题、一元一次方程的解法
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题关键是找准两种配套物品的数量对应关系，以此为依据建立等量关系列方程，是方程实际应用的常规考法，理清匹配逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.7