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12. （8分）如图，在矩形$ABCD$中，点$E$，$F$分别在边$BC$，$AB$上，且$EF=ED$，$EF⊥ ED$，垂足为$E$，求证：$AE$平分$∠ BAD$.
答案
先证$\triangle BEF\cong\triangle CDE$，得BE = CD。从而BE = AB，得$\angle BAE=\angle DAE = 45^{\circ}$。所以AE平分$\angle BAD$
解析
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠B=∠C=∠BAD=90^{\circ}$，$AB=CD$，
∴ $∠BEF+∠BFE=90^{\circ}$。
∵ $EF⊥ED$，
∴ $∠DEF=90^{\circ}$，
∴ $∠BEF+∠CDE=90^{\circ}$，
∴ $∠BFE=∠CDE$。
在$△BEF$和$△CDE$中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C\\∠BFE=∠CDE\\EF=ED\end{array} $
∴ $△BEF≌△CDE$（AAS）。
∴ $BE=CD$，
又
∵ $AB=CD$，
∴ $BE=AB$，
∴ $△ABE$为等腰直角三角形，$∠BAE=45^{\circ}$。
∵ $∠BAD=90^{\circ}$，
∴ $∠DAE=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，
∴ $∠BAE=∠DAE$，即$AE$平分$∠BAD$。
【答案】
$AE$平分$∠BAD$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查矩形、全等三角形及等腰直角三角形的综合应用，通过角的互余关系推导全等条件，利用全等得到边相等，进而推出角相等，证明角平分线，需熟练掌握相关图形的性质与判定定理。
【难度系数】
0.6
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠B=∠C=∠BAD=90^{\circ}$，$AB=CD$，
∴ $∠BEF+∠BFE=90^{\circ}$。
∵ $EF⊥ED$，
∴ $∠DEF=90^{\circ}$，
∴ $∠BEF+∠CDE=90^{\circ}$，
∴ $∠BFE=∠CDE$。
在$△BEF$和$△CDE$中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C\\∠BFE=∠CDE\\EF=ED\end{array} $
∴ $△BEF≌△CDE$（AAS）。
∴ $BE=CD$，
又
∵ $AB=CD$，
∴ $BE=AB$，
∴ $△ABE$为等腰直角三角形，$∠BAE=45^{\circ}$。
∵ $∠BAD=90^{\circ}$，
∴ $∠DAE=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，
∴ $∠BAE=∠DAE$，即$AE$平分$∠BAD$。
【答案】
$AE$平分$∠BAD$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查矩形、全等三角形及等腰直角三角形的综合应用，通过角的互余关系推导全等条件，利用全等得到边相等，进而推出角相等，证明角平分线，需熟练掌握相关图形的性质与判定定理。
【难度系数】
0.6
13. （8分）如图，已知直角梯形$ABCD$的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个以$BC$为底的等腰三角形.若梯形上底为5，求连接$△ DBC$两腰中点的线段的长.
答案
13. 如图，连接$△ DBC$两腰中点的线段$EF$，$AE$，由题意得$AD // BC$。$\because EF$是$△ DBC$的中位线，$\therefore EF \equalparallel \frac{1}{2}BC$，$\therefore AD // BC$。$\because BD = CD$，$\therefore ∠ DBC = ∠ DCB$，则$∠ DEF = ∠ DFE$。$\because AD // EF$，$\therefore ∠ ADE = ∠ DEF$。$\because BE = DE$，$∠ BAD = 90^{\circ}$，$\therefore AE = DE = BE$，$\therefore ∠ EAD = ∠ ADE$，$\therefore ∠ AED = ∠ FDE$，$\therefore AE // DF$，$\therefore$四边形$AEFD$是平行四边形，$\therefore AD = EF = 5$
解析
【解析】
连接$△ DBC$两腰中点的线段$EF$，再连接$AE$。
$\because$ 四边形$ABCD$是直角梯形，$\therefore AD // BC$。
$\because EF$是$△ DBC$的中位线，根据三角形中位线定理，$\therefore EF \equalparallel \frac{1}{2}BC$，故$AD // EF$。
$\because △ DBC$是以$BC$为底的等腰三角形，$\therefore BD = CD$，$\therefore ∠ DBC = ∠ DCB$，进而$∠ DEF = ∠ DFE$。
$\because AD // EF$，$\therefore ∠ ADE = ∠ DEF$。
$\because ∠ BAD = 90^{\circ}$，$E$是$BD$的中点，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，斜边中线$AE = DE = BE$，$\therefore ∠ EAD = ∠ ADE$。
$\therefore ∠ AED = ∠ FDE$，$\therefore AE // DF$，故四边形$AEFD$是平行四边形，$\therefore AD = EF = 5$。
【答案】
$\boxed{5}$
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了三角形中位线、直角三角形斜边中线以及平行四边形的相关性质，需要灵活运用这些性质进行角与边的转化，关键是通过中位线与平行关系建立已知上底和所求线段的联系。
【难度系数】
0.6
连接$△ DBC$两腰中点的线段$EF$，再连接$AE$。
$\because$ 四边形$ABCD$是直角梯形，$\therefore AD // BC$。
$\because EF$是$△ DBC$的中位线，根据三角形中位线定理，$\therefore EF \equalparallel \frac{1}{2}BC$，故$AD // EF$。
$\because △ DBC$是以$BC$为底的等腰三角形，$\therefore BD = CD$，$\therefore ∠ DBC = ∠ DCB$，进而$∠ DEF = ∠ DFE$。
$\because AD // EF$，$\therefore ∠ ADE = ∠ DEF$。
$\because ∠ BAD = 90^{\circ}$，$E$是$BD$的中点，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，斜边中线$AE = DE = BE$，$\therefore ∠ EAD = ∠ ADE$。
$\therefore ∠ AED = ∠ FDE$，$\therefore AE // DF$，故四边形$AEFD$是平行四边形，$\therefore AD = EF = 5$。
【答案】
$\boxed{5}$
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了三角形中位线、直角三角形斜边中线以及平行四边形的相关性质，需要灵活运用这些性质进行角与边的转化，关键是通过中位线与平行关系建立已知上底和所求线段的联系。
【难度系数】
0.6
14. （10分）如图，将矩形纸片$ABCD$沿$BE$翻折，使点$A$落到对角线$BD$上的点$M$处，折痕$BE$交$AD$于点$E$；将点$C$翻折到对角线$BD$上的点$N$处，折痕$DF$交$BC$于点$F$.
（1）求证：四边形$BFDE$为平行四边形；
（2）若四边形$BFDE$为菱形，且$AB=2$，求$BC$的长.
（1）求证：四边形$BFDE$为平行四边形；
（2）若四边形$BFDE$为菱形，且$AB=2$，求$BC$的长.
答案
(1) 证明BE// DF，再由DE// BF得证$ (2) 2\sqrt{3}（$提示：$\angle DBC = 30^{\circ}）$
解析
【解析】
（1）证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD// BC$，$∠A=∠C=90°$，$AB=CD$，$∠ABD=∠CDB$。
由翻折的性质可知：$∠ABE=∠EBD=\frac{1}{2}∠ABD$，$∠CDF=∠FDB=\frac{1}{2}∠CDB$，
∴$∠EBD=∠FDB$，故$BE// DF$。
又
∵$DE// BF$，
∴四边形$BFDE$为平行四边形。
（2）解：
∵四边形$BFDE$为菱形，
∴$BE=ED$，$∠EBD=∠FBD=∠ABE$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ABC=90°$，
∴$∠ABE=∠EBD=∠FBD=30°$，则$∠ABD=60°$。
在$Rt△ABD$中，$AB=2$，$∠ADB=30°$，
∴$BD=2AB=4$。
由勾股定理得：$BC=AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
【知识点】
矩形的性质，翻折变换性质，特殊四边形判定与性质
【点评】
本题综合考查矩形、折叠、平行四边形和菱形的相关性质，需熟练掌握折叠前后对应角、边相等的性质，以及特殊四边形的判定与性质，解题时注意角度推导和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD// BC$，$∠A=∠C=90°$，$AB=CD$，$∠ABD=∠CDB$。
由翻折的性质可知：$∠ABE=∠EBD=\frac{1}{2}∠ABD$，$∠CDF=∠FDB=\frac{1}{2}∠CDB$，
∴$∠EBD=∠FDB$，故$BE// DF$。
又
∵$DE// BF$，
∴四边形$BFDE$为平行四边形。
（2）解：
∵四边形$BFDE$为菱形，
∴$BE=ED$，$∠EBD=∠FBD=∠ABE$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ABC=90°$，
∴$∠ABE=∠EBD=∠FBD=30°$，则$∠ABD=60°$。
在$Rt△ABD$中，$AB=2$，$∠ADB=30°$，
∴$BD=2AB=4$。
由勾股定理得：$BC=AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
【知识点】
矩形的性质，翻折变换性质，特殊四边形判定与性质
【点评】
本题综合考查矩形、折叠、平行四边形和菱形的相关性质，需熟练掌握折叠前后对应角、边相等的性质，以及特殊四边形的判定与性质，解题时注意角度推导和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
