15. （12分）如图，在菱形$ABCD$中，$AB=2$，$∠ DAB=60^{\circ}$，$E$是边$AD$的中点，$M$是边$AB$上的一个动点（不与点$A$重合），延长$ME$交$CD$的延长线于点$N$，连接$MD$，$AN$.
（1）求证：四边形$AMDN$是平行四边形.
（2）当$AM$的长为何值时，四边形$AMDN$是矩形？请说明理由.

(1) 在$\triangle AEM$和$\triangle DEN$中，$\begin{cases}\angle NDE=\angle MAE,\\\angle NED=\angle MEA,\\DE = AE,\end{cases} \therefore\triangle DEN\cong\triangle AEM$。$\therefore $四边形AMDN是平行四边形 (2) AM = 1，理由略

【解析】
（1）证明：
∵ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠NDE=∠MAE$，
∵ $E$是$AD$的中点，
∴ $DE=AE$，
在$△ AEM$和$△ DEN$中，
$\begin{cases}∠NDE=∠MAE, \\∠NED=∠MEA, \\DE=AE,\end{cases}$
∴ $△ AEM≌△ DEN$（AAS），
∴ $AM=ND$，
又
∵ $AM// ND$，
∴ 四边形$AMDN$是平行四边形.
（2）解：当$AM=1$时，四边形$AMDN$是矩形，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是菱形，$AB=2$，$∠DAB=60^{\circ}$，
∴ $AD=AB=2$，
∵ $E$是$AD$中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD=1$，
当$AM=1$时，$AM=AE$，
又
∵ $∠DAB=60^{\circ}$，
∴ $△ AEM$是等边三角形，
∴ $ME=AE=DE$，
∴ $∠EMD=∠EDM$，
∵ $∠AEM=∠EMD+∠EDM=60^{\circ}$，
∴ $∠EMD=30^{\circ}$，
∴ $∠AMD=∠AEM+∠EMD=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，
∵ 四边形$AMDN$是平行四边形，
∴ 平行四边形$AMDN$是矩形.
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$AM=1$，理由见上述解析.
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题综合考查菱形、平行四边形及矩形的性质与判定，需结合全等三角形、等边三角形的性质进行推理，灵活运用相关判定定理是解题核心。
【难度系数】
0.6

16. (14分)【三角形中位线定理】(1)已知：如图①，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是边$AB$，$AC$的中点.直接写出$DE$和$BC$的关系：.
【应用】(2)如图②，在四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别是边$AB$，$AD$的中点，若$BC=5$，$CD=4$，$EF=1.5$，$∠ AFE=45^{\circ}$，则$∠ ADC$的度数为.
【拓展】(3)如图③，在四边形$ABCD$中，$AC$与$BD$相交于点$E$，$M$，$N$分别为$AD$，$BC$的中点，$MN$分别交$AC$，$BD$于点$F$，$G$，$EF=EG$.求证：$BD=AC$.

16. （1）$DE = \frac{1}{2}BC$，$DE // BC$ （2）如图①，连接$BD$。$\because E$，$F$分别是边$AB$，$AD$的中点，$\therefore BD = 2EF = 3$，$EF // BD$，$\therefore ∠ ADB = ∠ AFE = 45^{\circ}$。$\because BC = 5$，$CD = 4$，$\therefore BC^{2} = 25$，$BD^{2} + CD^{2} = 25$，$\therefore BD^{2} + CD^{2} = BC^{2}$，$\therefore ∠ BDC = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ ADC = ∠ ADB + ∠ BDC = 135^{\circ}$ （3）如图②，取$DC$的中点$H$，连接$MH$，$NH$。$\because M$，$H$分别是$AD$，$DC$的中点，$\therefore MH$是$△ ADC$的中位线，$\therefore MH // AC$且$MH = \frac{1}{2}AC$。同理可得$NH // BD$且$NH = \frac{1}{2}BD$。$\because EF = EG$，$\therefore ∠ EFG = ∠ EGF$。$\because NH // BD$，$MH // AC$，$\therefore ∠ EGF = ∠ HNM$，$∠ EFG = ∠ HMN$，$\therefore ∠ HMN = ∠ HNM$，$\therefore MH = NH$，$\therefore AC = BD$

【解析】
(1) 根据三角形中位线定理直接得出结论；
(2) 连接$BD$，$\because E$，$F$分别是边$AB$，$AD$的中点，$\therefore BD = 2EF = 3$，$EF // BD$，$\therefore ∠ADB = ∠AFE = 45^{\circ}$。$\because BC = 5$，$CD = 4$，$\therefore BC^{2}=25$，$BD^{2}+CD^{2}=25$，$\therefore BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$，$\therefore ∠BDC = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 135^{\circ}$；
(3) 取$DC$的中点$H$，连接$MH$，$NH$。$\because M$，$H$分别是$AD$，$DC$的中点，$\therefore MH$是$△ ADC$的中位线，$\therefore MH // AC$且$MH = \frac{1}{2}AC$。同理可得$NH // BD$且$NH = \frac{1}{2}BD$。$\because EF = EG$，$\therefore ∠EFG = ∠EGF$。$\because NH // BD$，$MH // AC$，$\therefore ∠EGF = ∠HNM$，$∠EFG = ∠HMN$，$\therefore ∠HMN = ∠HNM$，$\therefore MH = NH$，$\therefore AC = BD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE = \frac{1}{2}BC}$，$\boldsymbol{DE // BC}$
(2) $\boldsymbol{135^{\circ}}$
(3) 证明见上述解析
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理逆定理，等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理的应用，需结合勾股定理逆定理、等腰三角形判定等知识，锻炼几何推理与分析能力。
【难度系数】
0.6