1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ a $，$ b $，$ c $ 分别为 $ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $ 所对的边.
(1) 若 $ b = 10 $，$ c = 10\sqrt{2} $，则 $ a = $，$ ∠ A = $，$ ∠ B = $；
(2) 若 $ a = 10 $，$ ∠ A = 45° $，则 $ ∠ B = $，$ b = $，$ c = $；
(3) 若 $ c = 10 $，$ ∠ B = 60° $，则 $ a = $，$ b = $，$ △ ABC $ 的面积 $ = $.

1. (1)10 45° 45°
(2)45° 10 10√2
(3)5 5√3 25√3 / 2

【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得$a=\sqrt{c^2 - b^2}=\sqrt{(10\sqrt{2})^2 - 10^2}=10$；
因为$a=b=10$，所以$△ABC$是等腰直角三角形，故$∠A=∠B=45°$。
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，则$∠B=90° - ∠A=90° - 45°=45°$，所以$a=b=10$；
由勾股定理得$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{10^2 + 10^2}=10\sqrt{2}$。
(3) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠A=90° - ∠B=30°$，则$a=\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}×10=5$；
由勾股定理得$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{10^2 - 5^2}=5\sqrt{3}$；
$△ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×5×5\sqrt{3}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $10$，$45°$，$45°$；
(2) $45°$，$10$，$10\sqrt{2}$；
(3) $5$，$5\sqrt{3}$，$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
勾股定理，直角三角形性质，特殊角的直角三角形
【点评】
本题考查直角三角形的边角计算，涉及勾股定理、直角三角形两锐角互余及特殊角对应的边长关系，同时考查三角形面积公式，需熟练掌握直角三角形的相关性质与计算方法。
【难度系数】
0.8

2. 如图，四边形 $ ABCD $，$ BEFC $ 是两个全等的正方形，则 $ \tan(∠ BAF + ∠ AFB) $ 等于.

2. 1

【解析】
设正方形的边长为1，因为四边形$ABCD$和$BEFC$是全等的正方形，所以$AB=BC=BE=EF=1$，$∠ ABC=∠ CBF=90°$，则$∠ ABF=∠ ABC+∠ CBF=135°$。
在$△ ABF$中，根据三角形内角和定理，$∠ BAF + ∠ AFB = 180° - ∠ ABF = 180° - 135° = 45°$，
因此$\tan(∠ BAF + ∠ AFB)=\tan45°=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形内角和定理，特殊角的三角函数值，正方形的性质
【点评】
本题结合正方形的性质确定角度，利用三角形内角和定理将所求角的和转化为特殊角，进而借助特殊角的正切值求解，考查了几何性质与三角函数的综合运用。
【难度系数】
0.6

3. 已知 $ α $ 为锐角，且 $ \sin(α - 10°) = \frac{\sqrt{3}}{2} $，则 $ α $ 等于()

A.$ 50° $
B.$ 60° $
C.$ 70° $
D.$ 80° $

3. C

【解析】
已知α为锐角，所以$ -10° ＜ α - 10° ＜ 80° $。
因为$ \sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $，且$ \sin(α - 10°) = \frac{\sqrt{3}}{2} $，所以$ α - 10° = 60° $，解得$ α = 70° $。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，角度运算
【点评】
本题考查特殊角的三角函数值的应用，结合锐角的范围确定角度，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

4. 点 $ M(\cos 30°, \sin 30°) $ 关于原点中心对称的点的坐标是()

A.$ ( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} ) $
B.$ ( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} ) $
C.$ ( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} ) $
D.$ ( -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} ) $

4. D

【解析】
1. 计算点$M$的坐标：
由特殊角的三角函数值可知，$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin 30°=\frac{1}{2}$，因此点$M$的坐标为$( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} )$。
2. 根据关于原点中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均为原坐标的相反数，可得点$M$关于原点对称的点的坐标为$( -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} )$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，主要考查特殊角的三角函数值计算与原点对称点的坐标规律，牢记相关知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 已知 $ a = \sin 30° $，$ b = \cos 45° $，$ c = \tan 60° $，则它们之间的大小关系是()

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ b ＜ a ＜ c $
C.$ a ＜ c ＜ b $
D.$ b ＜ c ＜ a $

5. A

【解析】
先计算各三角函数值：
$a = \sin30° = \frac{1}{2} = 0.5$，
$b = \cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$，
$c = \tan60° = \sqrt{3} \approx 1.732$，
比较大小可得：$0.5 ＜ 0.707 ＜ 1.732$，即$a ＜ b ＜ c$。
【答案】
A
【知识点】
特殊角三角函数值，实数大小比较
【点评】
本题考查特殊角的三角函数值及实数大小的比较，熟记特殊角的三角函数值是解题关键。
【难度系数】
0.8

6. 已知 $ ∠ C = 75° $，则 $ ∠ A $ 与 $ ∠ B $ 满足以下哪个选项才能构成 $ △ ABC $()

A.$ \sin A = \frac{\sqrt{2}}{2} $，$ \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2} $
B.$ \cos A = \frac{1}{2} $，$ \cos B = \frac{\sqrt{3}}{2} $
C.$ \sin A = \frac{\sqrt{2}}{2} $，$ \tan B = \sqrt{3} $
D.$ \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} $，$ \cos B = \frac{1}{2} $

6. C

【解析】
已知在$△ ABC$中，$∠ C=75°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A+∠ B=180°-75°=105°$，逐一分析选项：
选项A：由$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$得$∠ A=45°$或$135°$，由$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$得$∠ B=45°$或$135°$。若$∠ A=45°$，$∠ B=45°$，则$∠ A+∠ B=90°≠105°$；若其中一角为$135°$，则$∠ A+∠ C$或$∠ B+∠ C＞180°$，无法构成三角形，排除A。
选项B：由$\cos A = \frac{1}{2}$得$∠ A=60°$，由$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$得$∠ B=30°$，则$∠ A+∠ B=90°≠105°$，无法构成三角形，排除B。
选项C：由$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$得$∠ A=45°$或$135°$，若$∠ A=135°$，则$∠ A+∠ C=135°+75°=210°＞180°$，故$∠ A=45°$；由$\tan B = \sqrt{3}$得$∠ B=60°$，则$∠ A+∠ B=45°+60°=105°$，符合内角和要求，可构成三角形，C正确。
选项D：由$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$得$∠ A=60°$或$120°$，由$\cos B = \frac{1}{2}$得$∠ B=60°$。若$∠ A=60°$，则$∠ A+∠ B+∠ C=60°+60°+75°=195°＞180°$；若$∠ A=120°$，则$∠ A+∠ B=120°+60°=180°$，无法构成三角形，排除D。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理及特殊角的三角函数值的应用，解题关键是根据三角函数值确定对应角的度数，再结合三角形内角和判断是否能构成三角形。
【难度系数】
0.6