例 1 化简：
（1）$\dfrac{2}{\sqrt{5}}$；
（2）$\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{24}}$；
（3）$\sqrt{\dfrac{a}{b}}(a＞0,b＞0)$.

解：
（1）$\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）$\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{24}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{4×6}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{7}×\sqrt{6}}{2\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{42}}{12}$；
（3）$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}×\sqrt{b}}{\sqrt{b}×\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}(a＞0,b＞0)$。

例 2 计算：
（1）$-\dfrac{5}{3}\sqrt{18}÷(\sqrt{8}×\dfrac{1}{3}\sqrt{54})$；
（2）$\dfrac{15}{8}\sqrt{2\dfrac{10}{27}}÷\sqrt{\dfrac{25}{8}}$.

解：
（1）原式$=-\dfrac{5}{3}\sqrt{18}÷(\sqrt{8}×\dfrac{1}{3}\sqrt{54})$
$=-\dfrac{5}{3}×3\sqrt{2}÷(\dfrac{1}{3}\sqrt{8×54})$
$=-5\sqrt{2}÷(\dfrac{1}{3}\sqrt{432})$
$=-5\sqrt{2}÷(\dfrac{1}{3}×12\sqrt{3})$
$=-5\sqrt{2}÷4\sqrt{3}$
$=-\dfrac{5}{4}×\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
$=-\dfrac{5}{4}×\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
$=-\dfrac{5\sqrt{6}}{12}$
（2）原式$=\dfrac{15}{8}\sqrt{\dfrac{64}{27}}÷\sqrt{\dfrac{25}{8}}$
$=\dfrac{15}{8}×\sqrt{\dfrac{64}{27}÷\dfrac{25}{8}}$
$=\dfrac{15}{8}×\sqrt{\dfrac{64×8}{27×25}}$
$=\dfrac{15}{8}×\dfrac{8×2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}×5}$
$=\dfrac{15}{8}×\dfrac{16\sqrt{2}}{15\sqrt{3}}$
$=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$

1. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}$可以化简为()

A.$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\dfrac{1}{3}$

B

根据二次根式的除法法则，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，对其进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$，可得$\dfrac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。

2. 二次根式$\dfrac{3}{\sqrt{5}},\sqrt{\dfrac{3}{5}},\dfrac{\sqrt{3}}{5}$的大小关系是()

A.$\dfrac{3}{\sqrt{5}}＜\sqrt{\dfrac{3}{5}}＜\dfrac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{5}＜\sqrt{\dfrac{3}{5}}＜\dfrac{3}{\sqrt{5}}$
C.$\sqrt{\dfrac{3}{5}}＜\dfrac{3}{\sqrt{5}}＜\dfrac{\sqrt{3}}{5}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{5}＜\dfrac{3}{\sqrt{5}}＜\sqrt{\dfrac{3}{5}}$

B

将三个二次根式分别平方：
$(\dfrac{3}{\sqrt{5}})^2=\dfrac{9}{5}$，$(\sqrt{\dfrac{3}{5}})^2=\dfrac{3}{5}$，$(\dfrac{\sqrt{3}}{5})^2=\dfrac{3}{25}$。
因为$\dfrac{3}{25}＜\dfrac{3}{5}＜\dfrac{9}{5}$，且三个数均为正数，正数平方大的原数大，所以$\dfrac{\sqrt{3}}{5}＜\sqrt{\dfrac{3}{5}}＜\dfrac{3}{\sqrt{5}}$。

二、填空题
3. 已知一个矩形的面积为$2\sqrt{6}$，其中一边长为$\sqrt{2}$，则矩形的对角线的长为.

$\sqrt{14}$

解：
矩形另一边长为：$2\sqrt{6} ÷ \sqrt{2} = 2\sqrt{\frac{6}{2}} = 2\sqrt{3}$
根据勾股定理，矩形对角线的长为：
$\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 12} = \sqrt{14}$
最终

4. 如果$\sqrt{3}=m,\sqrt{13}=n$，那么$\sqrt{0.39}$用$m,n$可以表示为.

$\frac{mn}{10}$

先将0.39化为分数$\frac{39}{100}$，根据二次根式的乘除法则，$\sqrt{0.39}=\sqrt{\frac{39}{100}}=\frac{\sqrt{39}}{\sqrt{100}}$；再将$\sqrt{39}$变形为$\sqrt{3×13}=\sqrt{3}×\sqrt{13}=mn$，$\sqrt{100}=10$，因此$\sqrt{0.39}=\frac{mn}{10}$。