例 1 计算：
（1）$-23a^{3}b^{6}-(-2ab)^{3}· \frac {1}{4}a^{2}b+24ab^{2}(-ab^{2})^{2}$；
（2）$(2a+3b)^{2}-4a(a+3b+1)$.
分析 第（1）小题是整式的混合运算，应注意先乘方，再乘除，最后加减；第（2）小题计算时要灵活运用乘法公式.

（1）原式$=-23a^{3}b^{6}-(-8a^{3}b^{3})·\frac{1}{4}a^{2}b+24ab^{2}·a^{2}b^{4}$
$=-23a^{3}b^{6}+2a^{5}b^{4}+24a^{3}b^{6}$
$=a^{3}b^{6}+2a^{5}b^{4}$
（2）原式$=4a^{2}+12ab+9b^{2}-(4a^{2}+12ab+4a)$
$=4a^{2}+12ab+9b^{2}-4a^{2}-12ab-4a$
$=9b^{2}-4a$

【分析】
第（1）小题是整式的混合运算，需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序。首先计算各个乘方项：$(-2ab)^3$和$(-ab^2)^2$，再进行单项式的乘法运算，最后合并同类项；计算过程中要注意符号的变化，比如去括号时负负得正。
第（2）小题可先利用完全平方公式展开$(2a+3b)^2$，再根据单项式乘多项式的法则展开$4a(a+3b+1)$，然后去括号，合并同类项；运用乘法公式能简化计算，避免直接展开的繁琐。
【解析】
（1）原式$=-23a^{3}b^{6}-(-8a^{3}b^{3})·\frac{1}{4}a^{2}b+24ab^{2}·a^{2}b^{4}$
$=-23a^{3}b^{6}+2a^{5}b^{4}+24a^{3}b^{6}$
$=a^{3}b^{6}+2a^{5}b^{4}$
（2）原式$=4a^{2}+12ab+9b^{2}-(4a^{2}+12ab+4a)$
$=4a^{2}+12ab+9b^{2}-4a^{2}-12ab-4a$
$=9b^{2}-4a$
【答案】
（1）$\boldsymbol{a^{3}b^{6}+2a^{5}b^{4}}$；（2）$\boldsymbol{9b^{2}-4a}$
【知识点】
1. 整式混合运算；2. 完全平方公式；3. 积的乘方运算
【点评】
本题主要考查整式的混合运算，重点考察运算顺序和乘法公式的灵活运用。计算时需注意：①乘方运算中积的乘方的法则应用，以及符号的确定；②去括号时的符号变化，避免符号错误；③同类项的准确识别与合并，确保计算结果最简。通过本题可强化整式运算的基础能力，提升运算的准确性。
【难度系数】
0.8

例 2 （1）已知$x-\frac {1}{x}=10$，求$x^{2}+\frac {1}{x^{2}}$的值；
（2）已知$(a+25)^{2}=1000$，求$(a+15)(a+35)$的值.

（1）
因为$x-\frac{1}{x}=10$，
对等式两边同时平方可得：
$(x - \frac{1}{x})^2 = 10^2$
$x^2 - 2× x×\frac{1}{x}+(\frac{1}{x})^2 = 100$
$x^2 - 2+\frac{1}{x^2}=100$
$x^2+\frac{1}{x^2}=100 + 2$
$x^2+\frac{1}{x^2}=102$
（2）
因为$(a + 25)^2 = 1000$，
而$(a + 15)(a + 35)=(a+25 - 10)(a + 25+10)$
根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^2 - n^2$，这里$m=a + 25$，$n = 10$。
则$(a+25 - 10)(a + 25+10)=(a + 25)^2-10^2$
把$(a + 25)^2 = 1000$代入上式可得：
$(a + 25)^2-10^2=1000 - 100$
$(a + 25)^2-10^2=900$
综上，答案依次为：（1）$102$；（2）$900$。

【分析】
（1）观察已知条件$x-\frac{1}{x}=10$和所求式子$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$，可联想到完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对已知等式两边平方，展开后通过移项即可求出$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值；
（2）观察所求式子$(a+15)(a+35)$，可将其变形为$[(a+25)-10][(a+25)+10]$，这样就符合平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$的形式，再代入已知$(a+25)^2=1000$进行计算即可。
【解析】
（1）
因为$x-\frac{1}{x}=10$，
对等式两边同时平方可得：
$(x - \frac{1}{x})^2 = 10^2$
$x^2 - 2×x×\frac{1}{x}+(\frac{1}{x})^2 = 100$
$x^2 - 2+\frac{1}{x^2}=100$
$x^2+\frac{1}{x^2}=100 + 2$
$x^2+\frac{1}{x^2}=102$
（2）
因为$(a + 25)^2 = 1000$，
将$(a+15)(a+35)$变形为：
$(a+15)(a+35)=[(a+25)-10][(a+25)+10]$
根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^2 - n^2$，其中$m=a + 25$，$n = 10$，可得：
$[(a+25)-10][(a+25)+10]=(a + 25)^2-10^2$
把$(a + 25)^2 = 1000$代入上式：
$(a + 25)^2-10^2=1000 - 100=900$
【答案】
（1）$\boldsymbol{102}$；（2）$\boldsymbol{900}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活运用，解题关键是观察已知条件与所求式子的结构特征，通过合理变形将所求式子转化为可利用已知条件计算的形式，体现了整体代入的思想，属于基础题型，需要熟练掌握乘法公式的结构和应用。
【难度系数】
0.8

1. 选择题：
(1)下列计算中，正确的是().
A. $2x^{2}· 3x^{3}=6x^{6}$
B. $2x^{2}+3x^{3}=5x^{5}$
C. $2x^{2}· 3x^{3}=6x^{5}$
D. $2x^{3}-3x^{2}=-x$
(2)下列各式中，不能用平方差公式进行计算的是().
A. $(x+y)(-x+y)$
B. $(-x^{2}-y^{2})(x^{2}-y^{2})$
C. $(x-y)(y-x)$
D. $(-x^{2}+y^{2})(-x^{2}-y^{2})$
(3)下列式子中，计算结果正确的是().
A. $(a+b)(a^{2}+b^{2})=a^{3}+b^{3}$
B. $(-a-b)(a-b)=-a^{2}-2ab-b^{2}$
C. $(a+bx)(-bx+a)=a^{2}-b^{2}x^{2}$
D. $(a+b)(a+b)=a^{2}+b^{2}$
(4)一个正方形的边长增加了 2，面积相应增加了 32，这个正方形原来的边长为().
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

(1)C
(2)C
(3)C
(4)C

(1)
对于选项A：$2x^{2} · 3x^{3}=2×3x^{2 + 3}=6x^{5}≠6x^{6}$，所以A错误。
对于选项B：$2x^{2}$与$3x^{3}$不是同类项，不能合并，所以B错误。
对于选项C：$2x^{2}·3x^{3}=6x^{5}$，所以C正确。
对于选项D：$2x^{3}$与$-3x^{2}$不是同类项，不能合并，所以D错误。
(2)
平方差公式为$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$。
对于选项A：$(x + y)(-x + y)=(y + x)(y - x)=y^{2}-x^{2}$，可以用平方差公式。
对于选项B：$(-x^{2}-y^{2})(x^{2}-y^{2})=-(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})=-(x^{4}-y^{4})$，可以用平方差公式。
对于选项C：$(x - y)(y - x)=-(x - y)(x - y)=-(x - y)^{2}$，不能用平方差公式。
对于选项D：$(-x^{2}+y^{2})(-x^{2}-y^{2})=(-x^{2})^{2}-(y^{2})^{2}=x^{4}-y^{4}$，可以用平方差公式。
(3)
对于选项A：$(a + b)(a^{2}+b^{2})=a^{3}+a b^{2}+a^{2}b + b^{3}≠ a^{3}+b^{3}$，所以A错误。
对于选项B：$(-a - b)(a - b)=-(a + b)(a - b)=-(a^{2}-b^{2})=-a^{2}+b^{2}≠ -a^{2}-2ab - b^{2}$，所以B错误。
对于选项C：$(a + bx)(-bx + a)=a^{2}-b^{2}x^{2}$，所以C正确。
对于选项D：$(a + b)(a + b)=(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}≠ a^{2}+b^{2}$，所以D错误。
(4)
设原边长为$x$，则$(x + 2)^{2}-x^{2}=32$，
$x^{2}+4x + 4-x^{2}=32$，
$4x+4 = 32$，
$4x=28$，
$x = 7$。