问题 1：你认为哪些员工应当获得本季度奖金？请至少给出两种不同的分组标准。

标准一:固定比例筛选(前30%为优秀员工)
假设公司按绩效评分排名前30%发放奖金,20名员工中前6名(30%×20=6)可获奖.
标准二:设定固定分数线(如≥85分)
假设公司以85分为临界值,达到或超过该分数的员工获奖.
(答案不唯一)

【解析】
可以通过以下两种不同分组标准确定获奖员工：
标准一：固定比例筛选（前30%为优秀员工）。假设公司共有20名员工，按绩效评分排名前30%发放奖金，经计算20×30%=6，即前6名员工可获得奖金。
标准二：设定固定分数线（如≥85分）。假设公司以85分为获奖临界值，绩效评分达到或超过85分的员工即可获得奖金。（答案不唯一，可根据公司实际情况制定其他合理标准）
【答案】
标准一：固定比例筛选（前30%为优秀员工），20名员工中前6名可获奖；
标准二：设定固定分数线（如≥85分），达到或超过该分数的员工获奖。（答案不唯一）
【知识点】
员工绩效分组、奖金评定标准
【点评】
本题为开放性问题，两种分组标准各有优势：固定比例筛选能精准把控获奖人数，适配团队整体绩效水平；固定分数线能明确达标要求，为员工提供清晰的努力方向，可根据公司人员规模、绩效现状等实际需求灵活调整评定标准。
【难度系数】
0.8

问题 2：对员工的本季度绩效评分进行分组时，有的分组标准可能会导致两个评分很接近的员工被分到了不同的组，而从公司确定有资格获得本季度奖金的员工名单的角度看，把评分相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法。请问你学过的哪些统计量可以刻画组内评分差异的大小呢？

方差或离差平方和.

【解析】
方差是每个样本值与全体样本值平均数之差的平方值的平均数，可反映组内数据的离散程度；离差平方和是各数据与均值差的平方和，能衡量组内数据的差异大小。二者均可刻画组内评分差异的大小，满足将评分接近的员工分在同一组的合理分组需求。
【答案】
方差、离差平方和
【知识点】
方差，离差平方和
【点评】
本题考查统计量在数据分组中的应用，需掌握能衡量数据离散程度的统计量，理解其在刻画组内差异中的作用，有助于合理进行员工绩效分组以确定奖金名单。
【难度系数】
0.7

问题 3：将员工的本季度绩效评分按从小到大的顺序排列（将相互最接近的评分尽可能分在同一组），并将数据分为得奖和未得奖两组，则最多可以有多少种分法？

最多可以有19种分法(在19个间隙中依次任选1个位置分割,左组为未得奖,右组为得奖).

【解析】
将员工本季度绩效评分按从小到大的顺序排列后，相邻评分之间形成19个符合“相互最接近的评分尽可能在同一组”要求的间隙，在这19个间隙中任选1个位置分割，左组为未得奖，右组为得奖，每个分割点对应一种分法，因此最多有19种分法。
【答案】
19种
【知识点】
分类计数原理、分组划分策略
【点评】
本题重点考查计数原理在分组问题中的应用，核心是准确识别符合条件的分割间隙，需紧扣题意分析分组的有效分割方式。
【难度系数】
0.4

1. 一般地，设有 $ n $ 个数据 $ x_1,x_2,···,x_n $，其平均数记为 $ \overline{x} $，则离差平方和为 $ d^2 = $。

1.$(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}$

【解析】
根据离差平方和的定义，对于$n$个数据$x_1,x_2,···,x_n$，其平均数为$\overline{x}$，离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，即$d^2=(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}$。
【答案】
$(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}$
【知识点】
离差平方和的定义
【点评】
本题主要考查离差平方和的基本概念，属于基础概念题，侧重对统计基础定义的识记与理解。
【难度系数】
0.8

2. 如果把这组数据分为两组，前 $ m(m ＜ n) $ 个数据为一组，后 $ (n - m) $ 个数据为一组，它们的平均数分别记为 $ \overline{x}_1 $ 和 $ \overline{x}_2 $，离差平方和分别为 $ d_1^2 = $，$ d_2^2 = $。那么 $ d^2 = $，其中称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；记 $ d_{12}^2 = m(\overline{x}_1 - \overline{x})^2 + (n - m)(\overline{x}_2 - \overline{x})^2 $，则 $ d_{12}^2 $ 是 $ m $ 个第一组数据平均数、$ (n - m) $ 个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为，表示两个组间的差异。

2.$(x_{1}-\overline{x}_{1})^{2}+(x_{2}-\overline{x}_{1})^{2}+···+(x_{m}-\overline{x}_{1})^{2}$
$(x_{m+1}-\overline{x}_{2})^{2}+(x_{m+2}-\overline{x}_{2})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x}_{2})^{2}$
$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+m(\overline{x}_{1}-\overline{x})^{2}+(n - m)(\overline{x}_{2}-\overline{x})^{2}$
$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}$组间离差平方和

【解析】
根据离差平方和的定义，前$m$个数据的离差平方和为每个数据与该组平均数差的平方和，即$d_1^2=(x_{1}-\overline{x}_{1})^{2}+(x_{2}-\overline{x}_{1})^{2}+···+(x_{m}-\overline{x}_{1})^{2}$；后$(n-m)$个数据的离差平方和为每个数据与该组平均数差的平方和，即$d_2^2=(x_{m+1}-\overline{x}_{2})^{2}+(x_{m+2}-\overline{x}_{2})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x}_{2})^{2}$。
总体离差平方和$d^2$可分解为组内离差平方和与组间离差平方和之和，即$d^2=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+m(\overline{x}_{1}-\overline{x})^{2}+(n - m)(\overline{x}_{2}-\overline{x})^{2}$，其中$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}$是组内离差平方和；$d_{12}^2 = m(\overline{x}_1 - \overline{x})^2 + (n - m)(\overline{x}_2 - \overline{x})^2$称为组间离差平方和。
【答案】
$d_1^2=(x_{1}-\overline{x}_{1})^{2}+(x_{2}-\overline{x}_{1})^{2}+···+(x_{m}-\overline{x}_{1})^{2}$；$d_2^2=(x_{m+1}-\overline{x}_{2})^{2}+(x_{m+2}-\overline{x}_{2})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x}_{2})^{2}$；$d^2=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+m(\overline{x}_{1}-\overline{x})^{2}+(n - m)(\overline{x}_{2}-\overline{x})^{2}$；$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}$；组间离差平方和
【知识点】
离差平方和分解，组内组间离差平方和
【点评】
本题考查离差平方和的定义及分解，需理解组内、组间离差平方和的概念，以及它们与总体离差平方和的关系，是数据离散程度相关概念的基础考查。
【难度系数】
0.4