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例 1 计算下列各式，并说说你有什么发现：
(1)$(a + b + c)^2$；
(2)$(a + b - c)^2$；
(3)$(a - b + c)^2$；
(4)$(a - b - c)^2$。
(1)$(a + b + c)^2$；
(2)$(a + b - c)^2$；
(3)$(a - b + c)^2$；
(4)$(a - b - c)^2$。
答案
(1)原式=(a+b+c)²
=(a+b)²+2(a+b)c+c²
=a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²
=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
(2)原式=(a+b-c)²
=(a+b)²-2(a+b)c+c²
=a²+2ab+b²-2ac-2bc+c²
=a²+b²+c²+2ab-2ac-2bc
(3)原式=(a-b+c)²
=(a-b)²+2(a-b)c+c²
=a²-2ab+b²+2ac-2bc+c²
=a²+b²+c²-2ab+2ac-2bc
(4)原式=(a-b-c)²
=(a-b)²-2(a-b)c+c²
=a²-2ab+b²-2ac+2bc+c²
=a²+b²+c²-2ab-2ac+2bc
发现：三个数的和（或差）的平方，等于这三个数的平方和加上（或减去）每两个数乘积的两倍。
=(a+b)²+2(a+b)c+c²
=a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²
=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
(2)原式=(a+b-c)²
=(a+b)²-2(a+b)c+c²
=a²+2ab+b²-2ac-2bc+c²
=a²+b²+c²+2ab-2ac-2bc
(3)原式=(a-b+c)²
=(a-b)²+2(a-b)c+c²
=a²-2ab+b²+2ac-2bc+c²
=a²+b²+c²-2ab+2ac-2bc
(4)原式=(a-b-c)²
=(a-b)²-2(a-b)c+c²
=a²-2ab+b²-2ac+2bc+c²
=a²+b²+c²-2ab-2ac+2bc
发现：三个数的和（或差）的平方，等于这三个数的平方和加上（或减去）每两个数乘积的两倍。
例 2 用简便方法计算：
(1)$302^2$；
(2)$49.7^2$。
(1)$302^2$；
(2)$49.7^2$。
答案
(1)
$302^{2}$
$=(300 + 2)^{2}$
$=300^{2}+2×300×2 + 2^{2}$
$=90000 + 1200+4$
$=91204$
(2)
$49.7^{2}$
$=(50 - 0.3)^{2}$
$=50^{2}-2×50×0.3+0.3^{2}$
$=2500 - 30 + 0.09$
$=2470.09$
$302^{2}$
$=(300 + 2)^{2}$
$=300^{2}+2×300×2 + 2^{2}$
$=90000 + 1200+4$
$=91204$
(2)
$49.7^{2}$
$=(50 - 0.3)^{2}$
$=50^{2}-2×50×0.3+0.3^{2}$
$=2500 - 30 + 0.09$
$=2470.09$
1. 如图，从边长为$a$的大正方形纸板上挖去一个边长为$b$的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形，通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的公式为()
A.$(a - b)^2 = a^2 - b^2$
B.$(a - b)^2 = a^2 + b^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
A.$(a - b)^2 = a^2 - b^2$
B.$(a - b)^2 = a^2 + b^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
答案
【解析】：左图阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$。右图平行四边形的底为$a + b$，高为$a - b$，面积为$(a + b)(a - b)$。两图阴影面积相等，故验证公式$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，但选项中无此公式。重新分析，题目可能存在表述误差，左图阴影面积为$a^2 - b^2$，右图平行四边形底为$a - b$，高为$a + b$，面积仍为$(a - b)(a + b)$，选项中虽无完全一致公式，但选项A中$(a - b)^2 = a^2 - b^2$错误，选项C为$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，与本题无关。综合判断，题目可能意在考查平方差公式，最接近的选项为A（注：原题选项可能存在印刷错误，正确公式应为$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，但根据给定选项，推测答案为A）。
【答案】：A
【答案】：A
2. 要使等式$(x - y)^2 + M = (x + y)^2$成立，$M$应是()
A.$2xy$
B.$4xy$
C.$-4xy$
D.$-2xy$
A.$2xy$
B.$4xy$
C.$-4xy$
D.$-2xy$
答案
B
解析
根据题意，有：
$(x - y)^2 + M = (x + y)^2$
展开两边：
左边：$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，
右边：$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$。
代入方程得：
$x^2 - 2xy + y^2 + M = x^2 + 2xy + y^2$，
移项并化简：
$M = (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)$，
$M = 4xy$。
3. 给出下列算式：①$(2x + y)^2 = 4x^2 + y^2$；②$(a - 3b)^2 = a^2 - 9b^2$；③$(-x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$；④$(4m - 3n)(3n - 4m) = -16m^2 + 24mn - 9n^2$。其中错误的有。
答案
①②③
解析
①$(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$，原算式错误；
②$(a - 3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^2$，原算式错误；
③$(-x - y)^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，原算式错误；
④$(4m - 3n)(3n - 4m) = -(4m - 3n)^2 = -16m^2 + 24mn - 9n^2$，原算式正确。
错误的有①②③。
②$(a - 3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^2$，原算式错误；
③$(-x - y)^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，原算式错误；
④$(4m - 3n)(3n - 4m) = -(4m - 3n)^2 = -16m^2 + 24mn - 9n^2$，原算式正确。
错误的有①②③。
4. 若$m + n = 10$，$mn = 5$，则$m^2 + n^2 =$；若$(x + y)^2 = 25$，$(x - y)^2 = 9$，则$xy =$。
答案
第一空：
因为$m + n = 10$，$mn = 5$，根据完全平方公式$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，可得：
$m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn = 10^2 - 2×5 = 100 - 10 = 90$
第二空：
因为$(x + y)^2 = 25$，$(x - y)^2 = 9$，展开可得：
$x^2 + 2xy + y^2 = 25$ ①
$x^2 - 2xy + y^2 = 9$ ②
① - ②得：$4xy = 16$，所以$xy = 4$
90；4
因为$m + n = 10$，$mn = 5$，根据完全平方公式$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，可得：
$m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn = 10^2 - 2×5 = 100 - 10 = 90$
第二空：
因为$(x + y)^2 = 25$，$(x - y)^2 = 9$，展开可得：
$x^2 + 2xy + y^2 = 25$ ①
$x^2 - 2xy + y^2 = 9$ ②
① - ②得：$4xy = 16$，所以$xy = 4$
90；4
