8. 如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.

8.(1)证明:∵DE和AF分别是△ABC的中位线和中线，∴AD=$\frac{1}{2}$AB,EF是△ABC的中位线，
　∴EF//AB,EF=$\frac{1}{2}$AB,∴EF=AD,
　∴四边形ADFE是平行四边形，∴AF与DE互相平分.
　(2)解:当AF=$\frac{1}{2}$BC时，四边形ADFE为矩形.
　理由:∵线段DE为△ABC的中位线，∴DE=$\frac{1}{2}$BC.
　∵AF=$\frac{1}{2}$BC,∴AF=DE.
　由(1)得，四边形ADFE是平行四边形,
　∴四边形ADFE为矩形.

9.（2023·惠山区期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，点F在BE上，连接DF.
（1）若∠ADE=∠ABC，∠EDF=∠ACB，求证：DF//AC；
（2）若D，E，F分别是AB，AC，BE的中点，连接CF，若四边形CEDF的面积为9，试求△ABC的面积.

9.(1)证明:∵∠ADE=∠ABC,
　∴DE//BC,∴∠AED=∠ACB.
　又∵∠EDF=∠ACB,∴∠AED=∠EDF,∴DF//AC.
　(2)解:∵D,E,F分别是AB,AC,BE的中点，
　∴DF是ABE的中位线，
　∴DF//AE,且DF=$\frac{1}{2}$AE,
　设$S_{\triangle DEF}$ = x，
　∵E是AC的中点，
　∴$S_{\triangle ADE}$ = $S_{\triangle CEF}$ = 2x.
　∵F是BE的中点，
　∴$S_{\triangle BDF}$ = $S_{\triangle DEF}$ = x，$S_{\triangle BCF}$ = $S_{\triangle CEF}$ = 2x，
　∴$S_{四边形CEDF}$ = 3x.
　∵$S_{四边形CEDF}$ = 9，∴3x = 9，∴x = 3，
　∴$S_{\triangle ABC}$ = 8×3 = 24.

10. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N. 若AB=CD，求证：∠BME=∠CNE.

10.证明:连接BD,取BD的中点H,连接HE，HF，如答图.
　　∵E,F分别是BC,AD的中点，
　　∴FH//BM,FH=$\frac{1}{2}$AB,EH//CN,EH=$\frac{1}{2}$CD,
　　∴∠BME=∠HFE,∠CNE=∠HEF.
　　∵AB=CD,∴FH=EH，
　　∴∠HFE=∠HEF,∴∠BME=∠CNE.