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13. 如图，在 $ △ A B C $ 中，$ ∠ A C B = 90 ^ { \circ } $，以 $ A C $ 为一边向形外作正方形 $ A C D E $，连接 $ B E $，交 $ A C $ 于点 $ F $，$ F G // A E $，$ F G $ 交 $ A B $ 于点 $ G $.判断 $ F C $ 与 $ F G $ 是否相等，并说明理由.
答案
解：FC=FG
∵FG//AE
∴$\frac {GF}{AE}=\frac {BF}{BE}$
∵四边形ACDE是正方形
∴CF//DE，AE=DE
∴$\frac {CF}{DE}=\frac {BF}{BE}$
∴$\frac {GF}{AE}=\frac {CF}{DE}$
又
∵AE=DE
∴FC=FG
∵FG//AE
∴$\frac {GF}{AE}=\frac {BF}{BE}$
∵四边形ACDE是正方形
∴CF//DE，AE=DE
∴$\frac {CF}{DE}=\frac {BF}{BE}$
∴$\frac {GF}{AE}=\frac {CF}{DE}$
又
∵AE=DE
∴FC=FG
解析
【解析】
$FC=FG$，理由如下：
1. 因为$FG// AE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{GF}{AE}=\frac{BF}{BE}$。
2. 由于四边形$ACDE$是正方形，所以$CF// DE$，且$AE=DE$。
3. 由$CF// DE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{CF}{DE}=\frac{BF}{BE}$。
4. 结合上述两个比例式，可得$\frac{GF}{AE}=\frac{CF}{DE}$，又因为$AE=DE$，所以$FC=FG$。
【答案】
$FC=FG$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，正方形的性质
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理与正方形性质的综合运用，核心是利用平行线得到对应线段的比例关系，再结合正方形的边相等的性质推导出线段相等，需准确识别对应线段的比例关系。
$FC=FG$，理由如下：
1. 因为$FG// AE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{GF}{AE}=\frac{BF}{BE}$。
2. 由于四边形$ACDE$是正方形，所以$CF// DE$，且$AE=DE$。
3. 由$CF// DE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{CF}{DE}=\frac{BF}{BE}$。
4. 结合上述两个比例式，可得$\frac{GF}{AE}=\frac{CF}{DE}$，又因为$AE=DE$，所以$FC=FG$。
【答案】
$FC=FG$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，正方形的性质
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理与正方形性质的综合运用，核心是利用平行线得到对应线段的比例关系，再结合正方形的边相等的性质推导出线段相等，需准确识别对应线段的比例关系。
14. 如图，在 $ △ A B C $ 中，点 $ D $、$ E $ 分别在 $ A B $、$ A C $ 上，且 $ D E // B C $，点 $ F $ 在 $ B C $ 上.设 $ △ A D E $ 与 $ △ A B C $ 的面积之比为 $ 1 : 9 $，求 $ △ A D E $ 与 $ △ D E F $ 的面积之比.
答案
解：∵DE//BC
∴$\frac {S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac {AE}{AC})^2=\frac 19$
∴$\frac {AE}{AC}=\frac 13$，$\frac {AE}{EC}=\frac 12$
∴$\frac {S_{△ADE}}{S_{△DEC}}=\frac 12$
∵DE//BC
∴$S_{△DEC}=S_{△DEF}$
∴$\frac {S_{△ADE}}{S_{△DEF}}=\frac 12$
∴$\frac {S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac {AE}{AC})^2=\frac 19$
∴$\frac {AE}{AC}=\frac 13$，$\frac {AE}{EC}=\frac 12$
∴$\frac {S_{△ADE}}{S_{△DEC}}=\frac 12$
∵DE//BC
∴$S_{△DEC}=S_{△DEF}$
∴$\frac {S_{△ADE}}{S_{△DEF}}=\frac 12$
解析
【解析】
∵ $DE// BC$
∴ $\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{AE}{AC})^2=\frac{1}{9}$
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$
∴ $\frac{S_{△ADE}}{S_{△DEC}}=\frac{1}{2}$
∵ $DE// BC$
∴ $S_{△DEC}=S_{△DEF}$
∴ $\frac{S_{△ADE}}{S_{△DEF}}=\frac{1}{2}$，即$△ADE$与$△DEF$的面积之比为$1:2$
【答案】
$1:2$
【知识点】
相似三角形的性质；平行线间等积三角形；同高三角形面积比
【点评】
本题主要考查相似三角形的性质及平行线间三角形面积的关系，解题关键是利用相似三角形面积比与相似比的关系求出线段比，再结合同高三角形面积比等于底的比、平行线间同底三角形面积相等，建立各三角形面积的联系。
∵ $DE// BC$
∴ $\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{AE}{AC})^2=\frac{1}{9}$
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$
∴ $\frac{S_{△ADE}}{S_{△DEC}}=\frac{1}{2}$
∵ $DE// BC$
∴ $S_{△DEC}=S_{△DEF}$
∴ $\frac{S_{△ADE}}{S_{△DEF}}=\frac{1}{2}$，即$△ADE$与$△DEF$的面积之比为$1:2$
【答案】
$1:2$
【知识点】
相似三角形的性质；平行线间等积三角形；同高三角形面积比
【点评】
本题主要考查相似三角形的性质及平行线间三角形面积的关系，解题关键是利用相似三角形面积比与相似比的关系求出线段比，再结合同高三角形面积比等于底的比、平行线间同底三角形面积相等，建立各三角形面积的联系。
