15. 如图，点 $ P $ 在矩形 $ O A B C $ 的边 $ O A $ 上，过点 $ P $ 作 $ B P $ 的垂线，交 $ O C $ 或 $ O C $ 的延长线于点 $ Q $，设 $ O A $ 的长度为 $ a $，$ O C $ 的长度为 $ b ( a ＞ b ) $，当点 $ P $ 从点 $ O $ 出发沿 $ O A $ 方向运动到什么位置时，线段 $ O Q $ 的长度最大？最大长度是多少？

解：由矩形​OABC，​​PQ⊥BP​
可得​∠QPO=90°-∠BPA=∠PBA​
∴​△QOP∽△PAB​
∴$​\frac {OQ}{OP}=\frac {PA}{AB}$，​即$​\frac {OQ}{OP}=\frac {a-OP}b​$
得$​OQ=-\frac {OP^2}b+\frac {a}bOP=-\frac 1{b}(OP-\frac a{2})^2+\frac {a^2}{4b}​$
∴当$​OP=\frac a{2}​$时，​OQ​长度最大，最大长度是$​\frac {a^2}{4b}​$

【解析】
∵四边形OABC是矩形，PQ⊥BP，
∴∠QOP=∠PAB=90°，∠QPO=90°-∠BPA=∠PBA，
∴△QOP∽△PAB，
∴$\frac{OQ}{OP}=\frac{PA}{AB}$，
设$OP=x$，则$PA=a-x$，$AB=b$，代入得：
$\frac{OQ}{x}=\frac{a-x}{b}$，
整理得$OQ=-\frac{1}{b}x^2+\frac{a}{b}x=-\frac{1}{b}(x-\frac{a}{2})^2+\frac{a^2}{4b}$，
∵$-\frac{1}{b}＜0$，
∴当$x=\frac{a}{2}$时，OQ取得最大值，最大值为$\frac{a^2}{4b}$，即当点P运动到OA的中点时，OQ长度最大。
【答案】
当点P运动到OA的中点（即$OP=\frac{a}{2}$）时，线段OQ的长度最大，最大长度是$\frac{a^2}{4b}$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 二次函数的最值
3. 矩形的性质
【点评】
本题通过证明三角形相似建立二次函数模型，利用二次函数的性质求最值，将几何问题转化为代数问题，体现了数形结合的数学思想，需熟练掌握相似三角形的判定及二次函数的性质。

16. 如图，$ △ A B C $ 是 $ \odot O $ 的内接三角形，$ O E ⊥ A B $，垂足为 $ E $，$ O E $ 的反向延长线交 $ A C $ 于点 $ D $，交 $ B C $ 的延长线于点 $ F $.$ △ A O D $ 与 $ △ F C D $ 相似吗？为什么？

解：​△AOD∽△FCD​
延长​AO​交$​\odot O​$于点​G，​连接​CG​

则​∠G=∠B​
∵​AG​是直径
∴​∠ACG=90°​
∴​∠GAC=90°-∠G​
∵​OE⊥AB​
∴​∠F=90°-∠B​
∴​∠GAC=∠F​
又​∠ODA=∠CDF​
∴​△AOD∽△FCD​

【解析】
$△ AOD ∽ △ FCD$，理由如下：
延长$AO$交$\odot O$于点$G$，连接$CG$。
1. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ G = ∠ B$；
2. 因为$AG$是$\odot O$的直径，所以$∠ ACG = 90°$（直径所对的圆周角是直角），则$∠ GAC = 90° - ∠ G$；
3. 已知$OE ⊥ AB$，所以$∠ FEB = 90°$，在$Rt△ FEB$中，$∠ F = 90° - ∠ B$；
4. 结合$∠ G = ∠ B$，可推出$∠ GAC = ∠ F$；
5. 又因为$∠ ODA = ∠ CDF$（对顶角相等），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ AOD ∽ △ FCD$。
【答案】
$△ AOD$与$△ FCD$相似，理由见上述解析。
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题通过构造直径所对的圆周角这一辅助线，借助圆周角定理、直角三角形的性质找到相等的角，结合对顶角相等，利用相似三角形的判定定理完成证明，构造合适的辅助线是解题的核心突破口。