1. (★)在 $ x + y = 6 $ 和 $ 2x + y = 8 $ 这两个方程中，每个方程都含有 ______ 个未知数($ x $ 和 $ y $)，且含有未知数的式子都是 ______ ，含有未知数的项的次数都是 ______ ，像这样的方程叫作二元一次方程。把上面两个方程合在一起，写成 $ \begin{cases}x + y = 6, \\ 2x + y = 8,\end{cases}$ 就组成了一个方程组，方程组中含有 ______ 个未知数，且含有未知数的式子都是 ______ ，含有未知数的项的次数都是 ______ ，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。

两；整式；1；两；整式；1

2. (★)一般地，使二元一次方程两边的值相等的的值，叫作二元一次方程的解。二元一次方程组的两个方程的解，叫作二元一次方程组的解。

两个未知数；公共

3. (★)已知两个二元一次方程：① $ 3x - y_1 = 0 $，② $ 7x - 2y_2 = 2 $。
(1) 对于给出的 $ x $ 的值，在下表中分别写出对应的 $ y_1 $，$ y_2 $ 的值；

(2) 请你写出方程组 $ \begin{cases} 3x - y = 0, \\ 7x - 2y = 2 \end{cases} $ 的解。

(1)
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y_1$ | -6 | -3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 |
| $y_2$ | -8 | -$\frac{9}{2}$ | -1 | $\frac{5}{2}$ | 6 | $\frac{19}{2}$ | 13 |
当$x = - 2$时，
对于方程$3x - y_1 = 0$，$y_1 = 3x=3×(-2)= - 6$；
对于方程$7x - 2y_2 = 2$，$-14 - 2y_2 = 2$，$-2y_2 = 16$，$y_2 = - 8$。
当$x = - 1$时，
对于方程$3x - y_1 = 0$，$y_1 = 3x = 3×(-1)= - 3$；
对于方程$7x - 2y_2 = 2$，$-7 - 2y_2 = 2$，$-2y_2 = 9$，$y_2 = -\frac{9}{2}$。
当$x = 0$时，
对于方程$3x - y_1 = 0$，$y_1 = 3x = 0$；
对于方程$7x - 2y_2 = 2$，$- 2y_2 = 2$，$y_2 = - 1$。
当$x = 1$时，
对于方程$3x - y_1 = 0$，$y_1 = 3x = 3$；
对于方程$7x - 2y_2 = 2$，$7 - 2y_2 = 2$，$-2y_2 = -5$，$y_2 = \frac{5}{2}$。
当$x = 2$时，
对于方程$3x - y_1 = 0$，$y_1 = 3x = 6$；
对于方程$7x - 2y_2 = 2$，$14 - 2y_2 = 2$，$-2y_2 = -12$，$y_2 = 6$。
当$x = 3$时，
对于方程$3x - y_1 = 0$，$y_1 = 3x = 9$；
对于方程$7x - 2y_2 = 2$，$21 - 2y_2 = 2$，$-2y_2 = -19$，$y_2 = \frac{19}{2}$。
当$x = 4$时，
对于方程$3x - y_1 = 0$，$y_1 = 3x = 12$；
对于方程$7x - 2y_2 = 2$，$28 - 2y_2 = 2$，$-2y_2 = -26$，$y_2 = 13$。
(2)
由$3x - y = 0$可得$y = 3x$，
将$y = 3x$代入$7x - 2y = 2$中，
得$7x - 2×3x = 2$，
$7x - 6x = 2$，
$x = 2$。
把$x = 2$代入$y = 3x$，得$y = 3×2 = 6$。
所以方程组$\begin{cases}3x - y = 0, \\7x - 2y = 2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2, \\y = 6\end{cases}$

4. (★)金山银山不如绿水青山。某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买 4 棵松树苗和 3 棵梭梭树苗共需要 180 元，购买 1 棵梭梭树苗比 1 棵松树苗少花费 10 元。设每棵松树苗 $ x $ 元，每棵梭梭树苗 $ y $ 元，则列出的方程组是。

$\begin{cases}4x + 3y = 180 \\ x - y = 10\end{cases}$

根据题意，设每棵松树苗$x$元，每棵梭梭树苗$y$元。
因为购买$4$棵松树苗和$3$棵梭梭树苗共需要$180$元，所以可列方程$4x + 3y = 180$；
又因为购买$1$棵梭梭树苗比$1$棵松树苗少花费$10$元，所以可列方程$x - y = 10$。
故列出的方程组是$\begin{cases}4x + 3y = 180 \\ x - y = 10\end{cases}$。

5. (★)下列方程属于二元一次方程的是【 】

A.$ x + 2 = 3 $
B.$ \frac{1}{x} + y = 0 $
C.$ xy = 5 $
D.$ 2x = y - 1 $

D

二元一次方程指含有两个未知数且未知数的次数都是1的整式方程。
选项A：$x + 2 = 3$只含有一个未知数，不是二元一次方程。
选项B：$\frac{1}{x}+y = 0$，$\frac{1}{x}$不是整式，该方程不是整式方程，所以不是二元一次方程。
选项C：$xy = 5$，未知数的次数是$1 + 1 = 2$次，不是二元一次方程。
选项D：$2x = y - 1$，含有两个未知数$x$和$y$，且它们的次数都是1，是二元一次方程。

6. (★)下列方程组是二元一次方程组的是【 】

A.$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x - y = 1, \\ z + y = 5 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} \frac{1}{x} + 2y = 1, \\ x - 3y = 5 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} 3x + 5y = 10, \\ 8x - 7y = 25 \end{cases} $

D

二元一次方程组需要满足以下条件：包含两个未知数、方程组中的每个方程都是整式方程、每个方程都含有一次项。
选项A中第二个方程$x^2 + y^2 = 13$，未知数的次数是二次，不满足二元一次方程的条件。
选项B中含有三个未知数$x,y,z$，不满足二元一次方程组只有两个未知数的条件。
选项C中第一个方程$\frac{1}{x} + 2y = 1$，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件。
选项D中的两个方程都只含有两个未知数$x,y$，都是整式方程且都是一次方程，满足二元一次方程组的条件。

7. (★)已知 $ x^{m - 3} + y^{2 - n} = 6 $ 是关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程，则 $ m - n = $。

根据二元一次方程的定义，方程中$x$和$y$的最高次数都应为1。
对于$x$的次数，有：
$m - 3 = 1$，
解得：
$m = 4$。
对于$y$的次数，有：
$2 - n = 1$，
解得：
$n = 1$。
所以$m - n = 4 - 1 = 3$。
故答案为：$3$。