8. (★)方程 $ y = 1 - x $ 与方程 $ 3x + 2y = 5 $ 的公共解是【 】

A.$ \begin{cases} x = -3, \\ y = -2 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 3, \\ y = -2 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = -3, \\ y = 4 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases} $

B

将方程$y = 1 - x$代入$3x + 2y = 5$中，得到$3x + 2(1 - x) = 5$，即$3x + 2 - 2x = 5$，化简得$x + 2 = 5$，解得$x = 3$。
把$x = 3$代入$y = 1 - x$，可得$y = 1 - 3 = -2$。
所以公共解是$\begin{cases}x = 3\\y = -2\end{cases}$。

9. (★★)为开展阳光体育活动，某班计划花费 35 元购买毽子和跳绳两种体育用品，已知毽子单价 3 元，跳绳单价 5 元，则购买方案有【 】

A.1 种
B.2 种
C.3 种
D.4 种

B

设购买毽子$x$个，跳绳$y$根，依题意得$3x + 5y = 35$，$x,y$为正整数。整理得$x = \frac{35 - 5y}{3}$。当$y=1$时，$x=10$；当$y=4$时，$x=5$；当$y=7$时，$x=0$（不合题意，舍去）。故有2种购买方案。

10. (★)下列方程是二元一次方程的是【 】

A.$ xy - 1 = 0 $
B.$ 2x + 3y = 4 $
C.$ \frac{2}{x} - 3y = \frac{1}{2} $
D.$ x^2 - 2x = 0 $

B

根据二元一次方程的定义，需满足两个条件：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1次的整式方程。
选项A中$xy$项的次数是$2$次，不符合二元一次方程的定义；
选项B满足二元一次方程的定义；
选项C中$\frac{2}{x}$不是整式项，该方程不是整式方程，不符合二元一次方程的定义；
选项D中$x$的次数是$2$次，不符合二元一次方程的定义。

11. (★)下列方程组是二元一次方程组的是【 】

A.$ \begin{cases} x + y = 4, \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} 2a - 3b = 11, \\ 5b - 4c = 6 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x^2 = 9, \\ y = 2x \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x + y = 8, \\ x^2 - y = 4 \end{cases} $

A

二元一次方程组需要满足以下条件：包含两个未知数，每个方程都是整式方程，且含有每个未知数的项的次数都是1。
A选项：方程组中的两个方程都只含有两个未知数x和y，且每个未知数的次数都是1，满足二元一次方程组的定义。
B选项：方程组中含有三个未知数a，b，c，不满足二元一次方程组只有两个未知数的条件。
C选项：第一个方程$x^2 = 9$中，未知数x的次数是2，不满足二元一次方程组中未知数次数为1的条件。
D选项：第二个方程$x^2 - y = 4$中，未知数x的次数是2，不满足二元一次方程组中未知数次数为1的条件。
综上所述，只有A选项满足二元一次方程组的所有条件。

12. (★)关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程 $ 3x + y = 7 $ 的正整数解有【 】

A.1 组
B.2 组
C.3 组
D.4 组

B

由已知方程$3x + y = 7$，可整理得到$y = 7 - 3x$。
由于要求正整数解，则$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且$x$，$y$为整数。
当$x = 1$时，$y = 7 - 3 × 1 = 4$，符合条件；
当$x = 2$时，$y = 7 - 3 × 2 = 1$，符合条件；
当$x ≥ 3$时，$y = 7 - 3x ≤ -2$，不满足正整数条件。
因此，正整数解共有2组，分别为$(1, 4)$和$(2, 1)$。

13. (★)二元一次方程组 $ \begin{cases} 2x + y = 10, \\ x = 2y \end{cases} $ 的解是【 】

A.$ \begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = 4, \\ y = 2 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = 2, \\ y = 4 \end{cases} $

C

将第二个方程$x = 2y$代入第一个方程$2x + y = 10$中，得到$2×(2y) + y = 10$，即$4y + y = 10$，$5y = 10$，解得$y = 2$。
把$y = 2$代入$x = 2y$，可得$x = 2×2 = 4$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 2.\end{cases}$

14. (★★)已知 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = -3 \end{cases} $ 是二元一次方程 $ ax - 3y = 0 $ 的解，则点 $ (a, 3 - a) $ 所在的象限是【 】

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

B

将$x=2$，$y=-3$代入$ax - 3y = 0$，得$2a - 3×(-3) = 0$，即$2a + 9 = 0$，解得$a = -\frac{9}{2}$。则$3 - a = 3 - (-\frac{9}{2}) = 3 + \frac{9}{2} = \frac{15}{2}$。所以点$(a, 3 - a)$为$(-\frac{9}{2}, \frac{15}{2})$，在第二象限。

15. (★★)若 $ \begin{cases}x = a, \\ y = b\end{cases}$ 是方程 $ 2x + y = 0 $ 的解，则 $ 6a + 3b + 2 = $ ______ 。

由题意知，$x = a$ 和 $y = b$ 是方程 $2x + y = 0$ 的解，代入得：
$2a + b = 0$，
两边同时乘以3，得：
$6a + 3b = 0$，
加上2得：
$6a + 3b + 2 = 2$，
故答案为$2$。

16. (★★)《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八。人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 8 钱，还多 18 钱。问：合伙人数、羊价各是多少？设人数为 $ x $ 人，羊价为 $ y $ 钱，则可列方程组为【 】

A.$ \begin{cases} y - 5x = 45, \\ y - 8x = 18 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} y - 5x = 45, \\ 8x - y = 18 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} 5x - y = 45, \\ y - 8x = 18 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} 5x - y = 45, \\ 8x - y = 18 \end{cases} $

B

根据题意，每人出5钱，还差45钱，可得羊价$ y = 5x + 45 $，即$ y - 5x = 45 $；每人出8钱，还多18钱，可得羊价$ y = 8x - 18 $，即$ 8x - y = 18 $。故方程组为$\begin{cases} y - 5x = 45 \\ 8x - y = 18 \end{cases}$。

17. (★★)已知甲种物品每个重 4 kg，乙种物品每个重 7 kg，现有甲种物品 $ x $ 个，乙种物品 $ y $ 个，共重 76 kg。
(1) 列出关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程；
(2) 若 $ x = 12 $，则 $ y = $；
(3) 若乙种物品有 8 个，则甲种物品有个；
(4) 写出满足条件的 $ x $，$ y $ 的全部整数解。

（1）根据题意得：
$4x + 7y = 76$。

（2）将$x = 12$代入$4x + 7y = 76$得：
$4 × 12 + 7y = 76$，
$48 + 7y = 76$，
$7y = 28$，
$y = 4$。
故答案为$4$。

（3）将$y = 8$代入$4x + 7y = 76$得：
$4x + 7 × 8 = 76$，
$4x + 56 = 76$，
$4x = 20$，
$x = 5$。
故答案为$5$。

（4）由$4x + 7y = 76$，得：
$x = \frac{76 - 7y}{4}$，
即$x = 19 - \frac{7}{4}y$，
为使$x$，$y$都是正整数，且$x=\frac{76-7y}{4} \ge 1$,（$y$为正整数）
尝试得出：
当$y=0$时，$x=19$，
当$y=4$时，$x=12$，
当$y=8$时，$x=5$，
当$y=12$时，$x=-2$（不符合）
故满足条件的$x$，$y$的全部整数解为
$\begin{cases} x = 19 \\ y = 0 \end{cases}$，
$\begin{cases} x = 12 \\ y = 4 \end{cases}$，
$\begin{cases} x = 5 \\ y = 8 \end{cases}$。