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6. 如图，已知在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$于$D$，$AC = 20$，$BC = 15$，$DB = 9$。（1）求$DC$的长；（2）求$AB$的长。
答案
6. 解:(1)$ \because CD ⊥ AB $，
$ \therefore ∠ ADC = ∠ BDC = 90^{\circ} $，
在$ Rt△ ACD $中
$ \therefore CD = \sqrt{BC^{2} - BD^{2}} = \sqrt{15^{2} - 9^{2}} $
$ = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 $.
(2)在$ Rt△ ACD $中
$ \therefore AD = \sqrt{AC^{2} - CD^{2}} $
$ = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 $，
$ \therefore AB = AD + DB = 16 + 9 = 25 $.
$ \therefore ∠ ADC = ∠ BDC = 90^{\circ} $，
在$ Rt△ ACD $中
$ \therefore CD = \sqrt{BC^{2} - BD^{2}} = \sqrt{15^{2} - 9^{2}} $
$ = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 $.
(2)在$ Rt△ ACD $中
$ \therefore AD = \sqrt{AC^{2} - CD^{2}} $
$ = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 $，
$ \therefore AB = AD + DB = 16 + 9 = 25 $.
7. 如果一个直角三角形的两条边长分别为$3\mathrm{cm}$，$4\mathrm{cm}$，则这个三角形的面积是多少平方厘米？
答案
7. 解:①当3和4是直角边时，
$ \therefore S_{△} = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6cm^{2} $.
②当4为斜边时，3为直角边，
$ \therefore $ 另一直角边为$ \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{7}cm $，
$ \therefore S_{△} = \frac{1}{2} × 3 × \sqrt{7} = \frac{3\sqrt{7}}{2}cm^{2} $.
$ \therefore S_{△} = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6cm^{2} $.
②当4为斜边时，3为直角边，
$ \therefore $ 另一直角边为$ \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{7}cm $，
$ \therefore S_{△} = \frac{1}{2} × 3 × \sqrt{7} = \frac{3\sqrt{7}}{2}cm^{2} $.
1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ 1 = ∠ 2$，$CD = 1.5$，$BD = 2.5$。求$AC$的长。
答案
1. 解:过D作$ DE ⊥ AB $，垂足为E，
$ \because ∠ 1 = ∠ 2 $，又$ ∠ C = 90^{\circ} $，即$ DC ⊥ AC $，
$ \therefore CD = DE = 1.5 $，
在$ Rt△ BDE $中，
$ BE = \sqrt{BD^{2} - DE^{2}} = \sqrt{2.5^{2} - 1.5^{2}} = 2 $.
$ \because CD = DE $，$ AD = AD $，
$ \therefore Rt△ ACD ≌ Rt△ AED $，
$ \therefore AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} $，
即$ (AC + 2)^{2} = AC^{2} + (1.5 + 2.5)^{2} $，
解得$ AC = 3 $.
$ \because ∠ 1 = ∠ 2 $，又$ ∠ C = 90^{\circ} $，即$ DC ⊥ AC $，
$ \therefore CD = DE = 1.5 $，
在$ Rt△ BDE $中，
$ BE = \sqrt{BD^{2} - DE^{2}} = \sqrt{2.5^{2} - 1.5^{2}} = 2 $.
$ \because CD = DE $，$ AD = AD $，
$ \therefore Rt△ ACD ≌ Rt△ AED $，
$ \therefore AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} $，
即$ (AC + 2)^{2} = AC^{2} + (1.5 + 2.5)^{2} $，
解得$ AC = 3 $.
2. 如图，已知在矩形$ABCD$中，$AB = 8\mathrm{cm}$，$BC = 10\mathrm{cm}$，在边$CD$上取一点$E$，将$△ ADE$折叠，使点$D$恰好落在$BC$边上与点$F$重合，求$CE$的长。
答案
2. 解:$ \because $ 四边形ABCD是矩形，
$ \therefore AD = BC = 10cm $，$ CD = AB = 8cm $，
根据题意得:$ Rt△ ADE ≌ Rt△ AFE $，
$ \therefore ∠ AFE = 90^{\circ} $，$ AF = 10cm $，$ EF = DE $.
设$ CE = xcm $，$ \therefore DE = EF = CD - CE = (8 - x)cm $.
在$ Rt△ ABF $中由勾股定理得:
$ AB^{2} + BF^{2} = AF^{2} $，
即$ 8^{2} + BF^{2} = 10^{2} $，
$ \therefore BF = 6cm $，
$ \therefore CF = BC - BF = 10 - 6 = 4cm $.
在$ Rt△ ECF $中，由勾股定理可得:
$ EF^{2} = CE^{2} + CF^{2} $，
即$ (8 - x)^{2} = x^{2} + 4^{2} $，
$ \therefore 64 - 16x + x^{2} = x^{2} + 16 $，
$ \therefore x = 3(cm) $，
即$ CE = 3cm $.
$ \therefore AD = BC = 10cm $，$ CD = AB = 8cm $，
根据题意得:$ Rt△ ADE ≌ Rt△ AFE $，
$ \therefore ∠ AFE = 90^{\circ} $，$ AF = 10cm $，$ EF = DE $.
设$ CE = xcm $，$ \therefore DE = EF = CD - CE = (8 - x)cm $.
在$ Rt△ ABF $中由勾股定理得:
$ AB^{2} + BF^{2} = AF^{2} $，
即$ 8^{2} + BF^{2} = 10^{2} $，
$ \therefore BF = 6cm $，
$ \therefore CF = BC - BF = 10 - 6 = 4cm $.
在$ Rt△ ECF $中，由勾股定理可得:
$ EF^{2} = CE^{2} + CF^{2} $，
即$ (8 - x)^{2} = x^{2} + 4^{2} $，
$ \therefore 64 - 16x + x^{2} = x^{2} + 16 $，
$ \therefore x = 3(cm) $，
即$ CE = 3cm $.
3. 如图，在一棵树距离地面$10\mathrm{m}$高的$B$处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树$20\mathrm{m}$处的池塘的$A$处；另一只爬到树顶$D$后直接跃到$A$处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？
答案
3. 解:由题意知$ AD + DB = BC微 + CA $，且$ CA = 20m $，$ BC = 10m $.
设$ BD = xm $，则$ AD = (30 - x)m $，
$ \because $ 在$ Rt△ ACD $中，$ CD^{2} + CA^{2} = AD^{2} $，
$ \therefore (30 - x)^{2} = (10 + x)^{2} + 20^{2} $，
$ \therefore $ 解得$ x = 5m $，
$ \therefore $ 树高为$ CD = 10 + x = 15m $.
答:树高为15m.
设$ BD = xm $，则$ AD = (30 - x)m $，
$ \because $ 在$ Rt△ ACD $中，$ CD^{2} + CA^{2} = AD^{2} $，
$ \therefore (30 - x)^{2} = (10 + x)^{2} + 20^{2} $，
$ \therefore $ 解得$ x = 5m $，
$ \therefore $ 树高为$ CD = 10 + x = 15m $.
答:树高为15m.
