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1. (★)填空：
(1) $ m(a + b + c) =$，$(m + n)(a + b) =$；
(2) $(am + bm) ÷ m =$，$(a + b)(a - b) =$；
(3) $(a + b)^2 =$，$(a - b)^2 =$.
(4) 在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用.
$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 =$.
(1) $ m(a + b + c) =$，$(m + n)(a + b) =$；
(2) $(am + bm) ÷ m =$，$(a + b)(a - b) =$；
(3) $(a + b)^2 =$，$(a - b)^2 =$.
(4) 在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用.
$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 =$.
答案
(1) $ma + mb + mc$，$ma + mb + na + nb$；
(2) $a + b$，$a^2 - b^2$；
(3) $a^2 + 2ab + b^2$，$a^2 - 2ab + b^2$；
(4) $5 + 2\sqrt{6}$。
(2) $a + b$，$a^2 - b^2$；
(3) $a^2 + 2ab + b^2$，$a^2 - 2ab + b^2$；
(4) $5 + 2\sqrt{6}$。
解析
(1) 根据乘法分配律，$m(a + b + c) = ma + mb + mc$；根据多项式乘法法则，$(m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb$。
(2) 根据多项式除以单项式法则，$(am + bm) ÷ m = a + b$；根据平方差公式，$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。
(3) 根据完全平方公式，$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
(4) 利用完全平方公式，$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$。
(2) 根据多项式除以单项式法则，$(am + bm) ÷ m = a + b$；根据平方差公式，$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。
(3) 根据完全平方公式，$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
(4) 利用完全平方公式，$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$。
2. (★)下列各式计算错误的是 【 】
A.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 1$
C.$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = 1$
D.$\frac{6 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} - 1$
A.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 1$
C.$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = 1$
D.$\frac{6 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} - 1$
答案
B
解析
A. $\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$，计算正确；
B. $\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{3} = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，而$\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$，原计算过程错误；
C. $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5}^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$，计算正确；
D. $\frac{6 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} - 1$，计算正确。
B. $\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{3} = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，而$\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$，原计算过程错误；
C. $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5}^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$，计算正确；
D. $\frac{6 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} - 1$，计算正确。
3. (★)计算：$\sqrt{3} × \sqrt{6} - \sqrt{2} =$.
答案
$2\sqrt{2}$
解析
首先，根据二次根式的乘法法则，计算 $\sqrt{3} × \sqrt{6}$：
$\sqrt{3} × \sqrt{6} = \sqrt{3 × 6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
（这里利用了 $\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$进行化简）
接着，进行减法运算：
$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{3} × \sqrt{6} = \sqrt{3 × 6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
（这里利用了 $\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$进行化简）
接着，进行减法运算：
$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
4. (★)计算$\sqrt{2}(\sqrt{2} + 2)$的结果是 【 】
A.$2 + 2\sqrt{2}$
B.$2 + \sqrt{2}$
C.$4$
D.$3\sqrt{2}$
A.$2 + 2\sqrt{2}$
B.$2 + \sqrt{2}$
C.$4$
D.$3\sqrt{2}$
答案
A
解析
$\sqrt{2}(\sqrt{2} + 2) = \sqrt{2} × \sqrt{2} + \sqrt{2} × 2 = 2 + 2\sqrt{2}$
5. (★)计算$(\sqrt{12} - \sqrt{3}) ÷ \sqrt{3}$的结果是 【 】
A.$-1$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$1$
A.$-1$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$1$
答案
D
解析
$(\sqrt{12} - \sqrt{3}) ÷ \sqrt{3} = \sqrt{12}÷\sqrt{3} - \sqrt{3}÷\sqrt{3} = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$
6. (★)计算$(\sqrt{24} - 3\sqrt{15} + 2\sqrt{2\frac{2}{3}}) × \sqrt{2}$的结果是 【 】
A.$\frac{20}{3}\sqrt{3} - 3\sqrt{30}$
B.$3\sqrt{30} - \frac{2}{3}\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{30} - \frac{2}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{20}{3}\sqrt{3} - \sqrt{30}$
A.$\frac{20}{3}\sqrt{3} - 3\sqrt{30}$
B.$3\sqrt{30} - \frac{2}{3}\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{30} - \frac{2}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{20}{3}\sqrt{3} - \sqrt{30}$
答案
A
解析
先化简括号内各项：
$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$2\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{8}{3}}=2×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$；
括号内合并同类二次根式：$2\sqrt{6}+\frac{4\sqrt{6}}{3}=\frac{10\sqrt{6}}{3}$，故括号内为$\frac{10\sqrt{6}}{3}-3\sqrt{15}$；
再乘以$\sqrt{2}$：$\frac{10\sqrt{6}}{3}×\sqrt{2}-3\sqrt{15}×\sqrt{2}=\frac{10\sqrt{12}}{3}-3\sqrt{30}=\frac{20\sqrt{3}}{3}-3\sqrt{30}$。
$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$2\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{8}{3}}=2×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$；
括号内合并同类二次根式：$2\sqrt{6}+\frac{4\sqrt{6}}{3}=\frac{10\sqrt{6}}{3}$，故括号内为$\frac{10\sqrt{6}}{3}-3\sqrt{15}$；
再乘以$\sqrt{2}$：$\frac{10\sqrt{6}}{3}×\sqrt{2}-3\sqrt{15}×\sqrt{2}=\frac{10\sqrt{12}}{3}-3\sqrt{30}=\frac{20\sqrt{3}}{3}-3\sqrt{30}$。
7. (★)计算$(-\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$的结果是 【 】
A.$-1$
B.$1$
C.$\pm 1$
D.$-5 - 2\sqrt{6}$
A.$-1$
B.$1$
C.$\pm 1$
D.$-5 - 2\sqrt{6}$
答案
D
解析
原式可变形为$-(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=-(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}$，
根据$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，这里$a = \sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，则$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=3 + 2\sqrt{6}+2=5 + 2\sqrt{6}$。
所以$-(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}=-(5 + 2\sqrt{6})=-5 - 2\sqrt{6}$。
根据$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，这里$a = \sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，则$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=3 + 2\sqrt{6}+2=5 + 2\sqrt{6}$。
所以$-(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}=-(5 + 2\sqrt{6})=-5 - 2\sqrt{6}$。
8. (★★)计算：
(1) $\sqrt{\frac{1}{3}} × (2\sqrt{12} - \sqrt{75})$；
(2) $2\sqrt{3} - \sqrt{3} × \frac{1}{2}\sqrt{5} ÷ 2\sqrt{20}$；
(3) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})$；
(4) $(1 - 2\sqrt{3})(1 + 2\sqrt{3}) - (2\sqrt{3} - 1)^2 + 2(\sqrt{5} + \sqrt{3})$.
(1) $\sqrt{\frac{1}{3}} × (2\sqrt{12} - \sqrt{75})$；
(2) $2\sqrt{3} - \sqrt{3} × \frac{1}{2}\sqrt{5} ÷ 2\sqrt{20}$；
(3) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})$；
(4) $(1 - 2\sqrt{3})(1 + 2\sqrt{3}) - (2\sqrt{3} - 1)^2 + 2(\sqrt{5} + \sqrt{3})$.
答案
(1)
$\sqrt{\frac{1}{3}} × (2\sqrt{12} - \sqrt{75})$
$=\sqrt{\frac{1}{3}} × (2×2\sqrt{3} - 5\sqrt{3})$
$=\sqrt{\frac{1}{3}} × (4\sqrt{3} - 5\sqrt{3})$
$=\sqrt{\frac{1}{3}} × (-\sqrt{3})$
$=-\sqrt{\frac{1}{3} × 3}$
$=-1$
(2)
$2\sqrt{3} - \sqrt{3} × \frac{1}{2}\sqrt{5} ÷ 2\sqrt{20}$
$=2\sqrt{3} - \sqrt{3} × \frac{1}{2}\sqrt{5} ÷ (4\sqrt{5})$
$=2\sqrt{3} - \sqrt{3} × \frac{1}{2}\sqrt{5} × \frac{1}{4\sqrt{5}}$
$=2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{8}$
$=\frac{16\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{8}$
$=\frac{15\sqrt{3}}{8}$
(3)
$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})$
$=(2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2$
$=12 - 18$
$=-6$
(4)
$(1 - 2\sqrt{3})(1 + 2\sqrt{3}) - (2\sqrt{3} - 1)^2 + 2(\sqrt{5} + \sqrt{3})$
$=1 - (2\sqrt{3})^2 - (12 - 4\sqrt{3} + 1) + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$
$=1 - 12 - 13 + 4\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$
$=-24 + 6\sqrt{3} + 2\sqrt{5}$
$\sqrt{\frac{1}{3}} × (2\sqrt{12} - \sqrt{75})$
$=\sqrt{\frac{1}{3}} × (2×2\sqrt{3} - 5\sqrt{3})$
$=\sqrt{\frac{1}{3}} × (4\sqrt{3} - 5\sqrt{3})$
$=\sqrt{\frac{1}{3}} × (-\sqrt{3})$
$=-\sqrt{\frac{1}{3} × 3}$
$=-1$
(2)
$2\sqrt{3} - \sqrt{3} × \frac{1}{2}\sqrt{5} ÷ 2\sqrt{20}$
$=2\sqrt{3} - \sqrt{3} × \frac{1}{2}\sqrt{5} ÷ (4\sqrt{5})$
$=2\sqrt{3} - \sqrt{3} × \frac{1}{2}\sqrt{5} × \frac{1}{4\sqrt{5}}$
$=2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{8}$
$=\frac{16\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{8}$
$=\frac{15\sqrt{3}}{8}$
(3)
$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})$
$=(2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2$
$=12 - 18$
$=-6$
(4)
$(1 - 2\sqrt{3})(1 + 2\sqrt{3}) - (2\sqrt{3} - 1)^2 + 2(\sqrt{5} + \sqrt{3})$
$=1 - (2\sqrt{3})^2 - (12 - 4\sqrt{3} + 1) + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$
$=1 - 12 - 13 + 4\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$
$=-24 + 6\sqrt{3} + 2\sqrt{5}$
