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9. (★)下列计算错误的是 【 】
A.$\sqrt{14} × \sqrt{7} = 7\sqrt{2}$
B.$\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 8\sqrt{a}$
D.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$
A.$\sqrt{14} × \sqrt{7} = 7\sqrt{2}$
B.$\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 8\sqrt{a}$
D.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$
答案
D
解析
A. $\sqrt{14} × \sqrt{7} = \sqrt{14 × 7} = \sqrt{98} = \sqrt{49 × 2} = 7\sqrt{2}$，正确。
B. $\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = \sqrt{60 ÷ 5} = \sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$，正确。
C. $\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 3\sqrt{a} + 5\sqrt{a} = 8\sqrt{a}$，正确。
D. $3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$，与选项中的 $3$ 不符，错误。
10. (★★)已知一个长方形的周长为$4\sqrt{5}$，其中一边的长为$\sqrt{5} + \sqrt{3}$，则这个长方形的面积为 【 】
A.$12 + 2\sqrt{15}$
B.$2\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$
C.$4$
D.$2$
A.$12 + 2\sqrt{15}$
B.$2\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$
C.$4$
D.$2$
答案
【解析】：
已知长方形的周长为 $4\sqrt{5}$，则长与宽的和为 $2\sqrt{5}$。
设已知一边长为 $a = \sqrt{5} + \sqrt{3}$，另一边长为 $b$，则 $a + b = 2\sqrt{5}$。
解得 $b = 2\sqrt{5} - (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{5} - \sqrt{3}$。
面积为 $a × b = (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$。
【答案】：C（（这里原题选项最后选C是错误的，按照最终计算结果应为D） 修正：【答案】：D
已知长方形的周长为 $4\sqrt{5}$，则长与宽的和为 $2\sqrt{5}$。
设已知一边长为 $a = \sqrt{5} + \sqrt{3}$，另一边长为 $b$，则 $a + b = 2\sqrt{5}$。
解得 $b = 2\sqrt{5} - (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{5} - \sqrt{3}$。
面积为 $a × b = (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$。
【答案】：C（（这里原题选项最后选C是错误的，按照最终计算结果应为D） 修正：【答案】：D
11. (★★)计算：$6\sqrt{\frac{1}{3}} - (\sqrt{3} + 1)^2 =$.
答案
$-4$（填具体数字，本题答案为数字不需要选选项）
解析
首先，对第一项 $6\sqrt{\frac{1}{3}}$ 进行化简。
$6\sqrt{\frac{1}{3}} = 6 × \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = 6 × \frac{1}{\sqrt{3}} = 6 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$
接着，对第二项 $(\sqrt{3} + 1)^2$ 进行展开。
$(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 × \sqrt{3} × 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1$
最后，将两项相减。
$6\sqrt{\frac{1}{3}} - (\sqrt{3} + 1)^2 = 2\sqrt{3} - (3 + 2\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} = -4$
$6\sqrt{\frac{1}{3}} = 6 × \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = 6 × \frac{1}{\sqrt{3}} = 6 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$
接着，对第二项 $(\sqrt{3} + 1)^2$ 进行展开。
$(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 × \sqrt{3} × 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1$
最后，将两项相减。
$6\sqrt{\frac{1}{3}} - (\sqrt{3} + 1)^2 = 2\sqrt{3} - (3 + 2\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} = -4$
12. (★★)如图，在一个长方形中无重叠地放入面积分别为$32\ \mathrm{cm}^2$和$2\ \mathrm{cm}^2$的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为$\mathrm{cm}^2$.
答案
6
解析
∵面积为32 cm²的正方形边长为√32=4√2 cm，面积为2 cm²的正方形边长为√2 cm。
长方形的长为4√2 + √2=5√2 cm，宽为4√2 cm。
长方形面积=5√2×4√2=40 cm²。
阴影面积=长方形面积 - 两正方形面积=40 - 32 - 2=6 cm²。
长方形的长为4√2 + √2=5√2 cm，宽为4√2 cm。
长方形面积=5√2×4√2=40 cm²。
阴影面积=长方形面积 - 两正方形面积=40 - 32 - 2=6 cm²。
13. (★★)计算：
(1) $(10\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{12}) ÷ \sqrt{12}$；
(2) $(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$；
(3) $\frac{3}{2}\sqrt{20} × (-\sqrt{15}) × \frac{1}{3}\sqrt{48}$；
(4) $(2 + \sqrt{5})^{2050} · (2 - \sqrt{5})^{2049}$.
(1) $(10\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{12}) ÷ \sqrt{12}$；
(2) $(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$；
(3) $\frac{3}{2}\sqrt{20} × (-\sqrt{15}) × \frac{1}{3}\sqrt{48}$；
(4) $(2 + \sqrt{5})^{2050} · (2 - \sqrt{5})^{2049}$.
答案
(1) $15$；(2) $-6 -4\sqrt{3}$；(3) $-60$；(4) $-2-\sqrt{5}$
解析
(1) 原式$=10\sqrt{48}÷\sqrt{12}-6\sqrt{27}÷\sqrt{12}+4\sqrt{12}÷\sqrt{12}$
$=10\sqrt{4}-6\sqrt{\frac{9}{4}}+4$
$=10×2 -6×\frac{3}{2}+4$
$=20 -9 +4=15$
(2) 原式$=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2-[(\sqrt{6})^2+2\sqrt{6}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2]$
$=5 -3-(6 +2\sqrt{12}+2)$
$=2-(8 +4\sqrt{3})=-6 -4\sqrt{3}$
(3) 原式$=\frac{3}{2}×(-1)×\frac{1}{3}×\sqrt{20×15×48}$
$=-\frac{1}{2}×\sqrt{14400}$
$=-\frac{1}{2}×120=-60$
(4) 原式$=(2+\sqrt{5})^{2049}·(2-\sqrt{5})^{2049}·(2+\sqrt{5})$
$=[(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})]^{2049}·(2+\sqrt{5})$
$=(-1)^{2049}·(2+\sqrt{5})=-2-\sqrt{5}$
$=10\sqrt{4}-6\sqrt{\frac{9}{4}}+4$
$=10×2 -6×\frac{3}{2}+4$
$=20 -9 +4=15$
(2) 原式$=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2-[(\sqrt{6})^2+2\sqrt{6}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2]$
$=5 -3-(6 +2\sqrt{12}+2)$
$=2-(8 +4\sqrt{3})=-6 -4\sqrt{3}$
(3) 原式$=\frac{3}{2}×(-1)×\frac{1}{3}×\sqrt{20×15×48}$
$=-\frac{1}{2}×\sqrt{14400}$
$=-\frac{1}{2}×120=-60$
(4) 原式$=(2+\sqrt{5})^{2049}·(2-\sqrt{5})^{2049}·(2+\sqrt{5})$
$=[(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})]^{2049}·(2+\sqrt{5})$
$=(-1)^{2049}·(2+\sqrt{5})=-2-\sqrt{5}$
14. (★★)已知$a = \sqrt{5} + 2$，$b = \sqrt{5} - 2$，求$a + b$，$ab$及$a^2 + ab + b^2$的值.
答案
$a + b = 2\sqrt{5}$，$ab = 1$，$a^2 + ab + b^2 = 19$
解析
$a + b = (\sqrt{5} + 2) + (\sqrt{5} - 2) = 2\sqrt{5}$
$ab = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$
$a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 - ab = (2\sqrt{5})^2 - 1 = 20 - 1 = 19$
$ab = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$
$a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 - ab = (2\sqrt{5})^2 - 1 = 20 - 1 = 19$
