13. 如图,在四边形$ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,且$AC=BD,E,F$分别是$AB,CD$的中点,$EF$分别交$BD,AC$于点$G,H$.求证:$OG=OH$.

证明：
取AD的中点P，连接PE，PF。
∵E是AB的中点，P是AD的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE//BD，PE=$\frac{1}{2}$BD。
同理，PF是△ACD的中位线，
∴PF//AC，PF=$\frac{1}{2}$AC。
∵AC=BD，
∴PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE。
∵PE//BD，
∴∠PEF=∠OGH。
∵PF//AC，
∴∠PFE=∠OHG。
∴∠OGH=∠OHG，
∴OG=OH。

14. (1)如图①,在四边形$ABCD$中,$AB=CD,E,F$分别是$AD,BC$的中点,连接$FE$并延长,分别与$BA,CD$的延长线交于点$M,N$.求证:$∠ BME=∠ CNE$;
(2)如图②,在四边形$ADBC$中,$AB$与$CD$相交于点$O,AB=CD,E,F$分别是$BC,AD$的中点,连接$EF$,分别交$DC,AB$于点$M,N$,判断$△ OMN$的形状,请直接写出结论;
(3) 如图③,在$△ ABC$中,$AC＞AB$,点$D$在$AC$上,$AB=CD,E,F$分别是$BC,AD$的中点,连接$EF$并延长,与$BA$的延长线交于点$G$,若$∠ EFC=60°$,连接$GD$,判断$△ AGD$的形状并证明;
(4)如图④,在四边形$ABCD$中,$E,F$分别是$AD,BC$的中点,$AB=5,CD=12,EF=\boldsymbol{\frac{13}{2}}$,试求$∠ BMF+∠ CNF$的度数.

14. (1)如图①,连接$BD$,取$BD$的中点$H$,连接$HE,FH$.
∵点$E,H$分别是$AD,BD$的中点,
∴$EH// AB,EH=\dfrac{1}{2}AB$,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴$∠ BME=∠ HEF$.
∵$F,H$分别是$BC,BD$的中点,
∴$FH// CD,FH=\dfrac{1}{2}CD$.
∴$∠ CNE=∠ HFE$.
∵$AB=CD$,
∴$EH=FH$.
∴$∠ HEF=∠ HFE$,
∴$∠ BME=∠ CNE$.
(2)$△ OMN$为等腰三角形.
如图②,取$AC$的中点$P$,连接$PF,PE$,则$PE=\dfrac{1}{2}AB,PE// AB$,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴$∠ PEF=∠ ANF$.
同理$PF=\dfrac{1}{2}CD,PF// CD$,
∴$∠ PFE=∠ CME$.
又
∵$AB=CD$,
∴$PE=PF$,
∴$∠ PFE=∠ PEF$,
∴$∠ CME=∠ ANF$,
∴$∠ OMN=∠ ONM,OM=ON$,
∴$△ OMN$为等腰三角形.
(3)$△ AGD$是直角三角形
证明:如图③,连接$BD$,取$BD$的中点$H$,连接$HF,HE$.
∵点$F$是$AD$的中点,点$H$是$BD$的中点,
∴$HF// AB,HF=\dfrac{1}{2}AB$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
同理,$HE// CD,HE=\dfrac{1}{2}CD$.
∵$AB=CD$,
∴$HF=HE$.
∵$∠ EFC=60°$,
∴$∠ HEF=60°$,
∴$△ EHF$是等边三角形,
∴$∠ BGF=∠ HFE=∠ EFC=∠ AFG=60°$,
∴$△ AGF$是等边三角形.
∵$AF=FD$,
∴$GF=FD$,
∴$∠ FGD=∠ FDG=30°$,
∴$∠ AGD=90°$,即$△ AGD$是直角三角形.
(4)如图④,连接$BD$,取$BD$的中点$H$,连接$EH,HF$.
∵$E,F$分别是$AD,BC$的中点,
∴$EH// AB,EH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{5}{2},HF// CD,HF=\dfrac{1}{2}CD=6$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴$∠ HEF=∠ BMF,∠ HFE=∠ CNF$.
又
∵$EF=\dfrac{13}{2}$,
∴$EF^{2}=\dfrac{169}{4}$.
∵$EH^{2}=\dfrac{25}{4},HF^{2}=36,EF^{2}=EH^{2}+HF^{2}$,
∴$△ EHF$是直角三角形.
∴$∠ EHF=90°$,
∴$∠ HEF+∠ HFE=90°$,
∴$∠ BMF+∠ CNF=90°$.