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13. 如图，$ ∠ BAC = 90° $，$ AB = AC = 3\sqrt{2} $，延长 $ CB $ 到点 $ E $，使 $ BE = \dfrac{1}{3}CB $，则 $ AE $ 的长是.
答案
$\boldsymbol{\sqrt{34}}$
解析
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=3\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+18}=6$。
2. 由$BE=\dfrac{1}{3}CB$，得$BE=\dfrac{1}{3}×6=2$。
3. 过点$A$作$AF⊥ BC$于$F$，$\because△ ABC$是等腰直角三角形，$\therefore AF=BF=\dfrac{1}{2}BC=3$（等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，且平分斜边）。
4. 延长$CB$到$E$，故$EF=BE+BF=2+3=5$。
5. 在$Rt△ AFE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$。
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+18}=6$。
2. 由$BE=\dfrac{1}{3}CB$，得$BE=\dfrac{1}{3}×6=2$。
3. 过点$A$作$AF⊥ BC$于$F$，$\because△ ABC$是等腰直角三角形，$\therefore AF=BF=\dfrac{1}{2}BC=3$（等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，且平分斜边）。
4. 延长$CB$到$E$，故$EF=BE+BF=2+3=5$。
5. 在$Rt△ AFE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$。
14. 在 $ △ ABC $ 中，已知 $ AB = 15 $，$ AC = 13 $，高 $ AD = 12 $，则 $ △ ABC $ 的周长是.
答案
32或42
解析
本题需分两种情况讨论：
1. 当高$AD$在$△ ABC$内部时：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$；
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$；
则$BC=BD+CD=9+5=14$，$△ ABC$的周长为$15+13+14=42$。
2. 当高$AD$在$△ ABC$外部时：
同理可得$BD=9$，$CD=5$，则$BC=BD-CD=9-5=4$；
$△ ABC$的周长为$15+13+4=32$。
综上，$△ ABC$的周长为32或42。
1. 当高$AD$在$△ ABC$内部时：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$；
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$；
则$BC=BD+CD=9+5=14$，$△ ABC$的周长为$15+13+14=42$。
2. 当高$AD$在$△ ABC$外部时：
同理可得$BD=9$，$CD=5$，则$BC=BD-CD=9-5=4$；
$△ ABC$的周长为$15+13+4=32$。
综上，$△ ABC$的周长为32或42。
15. 如图是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为 49，小正方形面积为 4，若用 $ x $，$ y $ 表示直角三角形的两直角边($ x ＞ y $).则下列四个说法：① $ x^{2} + y^{2} = 49 $，② $ x - y = 2 $，③ $ 2xy + 4 = 49 $，④ $ x + y = 9 $，其中正确的是.(填写序号)
答案
①②③
解析
1. 大正方形面积为49，边长为7，根据勾股定理，直角三角形斜边为7，故$x^{2}+y^{2}=7^{2}=49$，①正确；
2. 小正方形面积为4，边长为2，由图可知$x-y=2$，②正确；
3. 四个直角三角形面积和为$4×\frac{1}{2}xy=2xy$，大正方形面积=四个直角三角形面积+小正方形面积，即$2xy+4=49$，③正确；
4. 由$x-y=2$得$(x-y)^{2}=4$，即$x^{2}-2xy+y^{2}=4$，代入$x^{2}+y^{2}=49$，得$49-2xy=4$，$2xy=45$；则$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=49+45=94$，故$x+y=\sqrt{94}≠9$，④错误。
综上，正确的是①②③。
2. 小正方形面积为4，边长为2，由图可知$x-y=2$，②正确；
3. 四个直角三角形面积和为$4×\frac{1}{2}xy=2xy$，大正方形面积=四个直角三角形面积+小正方形面积，即$2xy+4=49$，③正确；
4. 由$x-y=2$得$(x-y)^{2}=4$，即$x^{2}-2xy+y^{2}=4$，代入$x^{2}+y^{2}=49$，得$49-2xy=4$，$2xy=45$；则$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=49+45=94$，故$x+y=\sqrt{94}≠9$，④错误。
综上，正确的是①②③。
三、解答题
16. 如图，在长方形 $ ABCD $ 中，$ AB = 8 $，$ BC = 4 $，将长方形沿 $ AC $ 折叠，点 $ D $ 落在点 $ D' $ 处，求重叠部分 $ △ AFC $ 的面积.
16. 如图，在长方形 $ ABCD $ 中，$ AB = 8 $，$ BC = 4 $，将长方形沿 $ AC $ 折叠，点 $ D $ 落在点 $ D' $ 处，求重叠部分 $ △ AFC $ 的面积.
答案
解：
∵ 四边形 $ ABCD $ 是长方形，
∴ $ AB // CD $，$ ∠ B = 90° $，$ BC = AD = 4 $，
∴ $ ∠ DCA = ∠ CAB $。
由折叠性质知 $ △ ADC ≌ △ AD'C $，
∴ $ ∠ D'CA = ∠ DCA $，
∴ $ ∠ D'CA = ∠ CAB $，
∴ $ AF = CF $。
设 $ AF = x $，则 $ CF = x $，$ BF = AB - AF = 8 - x $。
在 $ \mathrm{Rt} △ BCF $ 中，由勾股定理得：
$ BC^2 + BF^2 = CF^2 $，
即 $ 4^2 + (8 - x)^2 = x^2 $，
展开得：$ 16 + 64 - 16x + x^2 = x^2 $，
化简得：$ 80 - 16x = 0 $，
解得 $ x = 5 $。
∴ $ S_{△ AFC} = \frac{1}{2} × AF × BC = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10 $。
答：重叠部分 $ △ AFC $ 的面积为 $ 10 $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是长方形，
∴ $ AB // CD $，$ ∠ B = 90° $，$ BC = AD = 4 $，
∴ $ ∠ DCA = ∠ CAB $。
由折叠性质知 $ △ ADC ≌ △ AD'C $，
∴ $ ∠ D'CA = ∠ DCA $，
∴ $ ∠ D'CA = ∠ CAB $，
∴ $ AF = CF $。
设 $ AF = x $，则 $ CF = x $，$ BF = AB - AF = 8 - x $。
在 $ \mathrm{Rt} △ BCF $ 中，由勾股定理得：
$ BC^2 + BF^2 = CF^2 $，
即 $ 4^2 + (8 - x)^2 = x^2 $，
展开得：$ 16 + 64 - 16x + x^2 = x^2 $，
化简得：$ 80 - 16x = 0 $，
解得 $ x = 5 $。
∴ $ S_{△ AFC} = \frac{1}{2} × AF × BC = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10 $。
答：重叠部分 $ △ AFC $ 的面积为 $ 10 $。
17. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ CE $ 是斜边 $ AB $ 上的高，角平分线 $ BD $ 交 $ CE $ 于点 $ M $.
（1）求证 $ CM = CD $.
（2）若 $ AB = 10 $，$ AC = 8 $，求 $ CM $ 的长度.
（1）求证 $ CM = CD $.
（2）若 $ AB = 10 $，$ AC = 8 $，求 $ CM $ 的长度.
答案
（1）证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD。
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB+∠CBD=90°。
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠BME+∠ABD=90°。
又∵∠BME=∠CMD（对顶角相等），
∴∠CMD+∠ABD=90°。
∵∠CBD=∠ABD，
∴∠CDB=∠CMD，
∴CM=CD。
（2）解：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
过点D作DF⊥AB于点F，
∵BD平分∠ABC，∠ACB=90°，DF⊥AB，
∴CD=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设CD=DF=x，则AD=AC-CD=8-x。
在Rt△BCD和Rt△BFD中，
$\begin{cases}BD=BD\\CD=DF\end{cases}$
∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），
∴BF=BC=6，
∴AF=AB-BF=10-6=4。
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$AD^2=AF^2+DF^2$，
即$(8-x)^2=4^2+x^2$，
展开得：$64-16x+x^2=16+x^2$，
化简得：$16x=48$，
解得：$x=3$。
由（1）知CM=CD，
∴CM=3。
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD。
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB+∠CBD=90°。
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠BME+∠ABD=90°。
又∵∠BME=∠CMD（对顶角相等），
∴∠CMD+∠ABD=90°。
∵∠CBD=∠ABD，
∴∠CDB=∠CMD，
∴CM=CD。
（2）解：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
过点D作DF⊥AB于点F，
∵BD平分∠ABC，∠ACB=90°，DF⊥AB，
∴CD=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设CD=DF=x，则AD=AC-CD=8-x。
在Rt△BCD和Rt△BFD中，
$\begin{cases}BD=BD\\CD=DF\end{cases}$
∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），
∴BF=BC=6，
∴AF=AB-BF=10-6=4。
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$AD^2=AF^2+DF^2$，
即$(8-x)^2=4^2+x^2$，
展开得：$64-16x+x^2=16+x^2$，
化简得：$16x=48$，
解得：$x=3$。
由（1）知CM=CD，
∴CM=3。
