7. 在正方形网格中，$ △ ABC $ 的形状如图所示，则 $ △ ABC $ 是().


A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定

A

设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边的平方：
$AB^2 = 2^2 + 3^2 = 13$，
$BC^2 = 6^2 + 4^2 = 52$，
$AC^2 = 8^2 + 1^2 = 65$。
因为$AB^2 + BC^2 = 13 + 52 = 65 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ABC$是直角三角形。

8. 如图，有一张直角三角形纸片 $ ABC $，两直角边 $ AC = 5 $，$ BC = 10 $.将 $ △ ABC $ 折叠，使点 $ B $ 与点 $ A $ 重合，折痕为 $ DE $，点 $ D $ 在 $ BC $ 上，则 $ DC $ 的长是().


A.$ \dfrac{25}{2} $
B.$ \dfrac{15}{2} $
C.$ \dfrac{25}{4} $
D.$ \dfrac{15}{4} $

D

设$DC=x$，由折叠性质可知$AD=BD=10-x$。在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理：$AC^2 + DC^2 = AD^2$，代入数据得$5^2 + x^2 = (10-x)^2$。展开等式并化简：$25+x^2=100-20x+x^2$，消去$x^2$后解得$20x=75$，即$x=\frac{15}{4}$。

9. 如图，在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AC = 4 $，$ BC = 3 $，分别以两直角边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为().


A.6
B.$ \dfrac{25}{4} $
C.$ 4π - 6 $
D.$ \dfrac{25}{12}π $

A

1. 根据勾股定理，计算斜边$AB$的长度：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$；
2. 分别计算各部分面积：
以$AC$为直径的半圆面积：$S_1=\frac{1}{2}π×(\frac{4}{2})^2=2π$；
以$BC$为直径的半圆面积：$S_2=\frac{1}{2}π×(\frac{3}{2})^2=\frac{9π}{8}$；
以$AB$为直径的半圆面积：$S_3=\frac{1}{2}π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25π}{8}$；
$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积：$S_{△}=\frac{1}{2}×3×4=6$；
3. 阴影部分面积为：$S_{\mathrm{阴影}}=S_1+S_2+S_{△}-S_3=2π+\frac{9π}{8}+6-\frac{25π}{8}=6$。

10. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $，$ BC = a $，$ AC = b $，$ AB = c $，$ CD = h $.则下列结论中，正确的是().
① 当 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $ 时，$ ∠ ACB = 90° $.
② 当 $ ∠ ACB = 90° $ 时，$ a + b = c + h $.
③ 当 $ ∠ ACB = 90° $ 时，$ \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} = \dfrac{1}{h^{2}} $.
④ 当 $ ∠ ACB = 90° $ 时，$ ab = ch $.


A.①②
B.①②④
C.①③④
D.①②③④

C

1. 分析①：根据勾股定理的逆定理，若$a^2 + b^2 = c^2$，则$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB = 90°$，故①正确。
2. 分析②：设$a=3$，$b=4$，$c=5$，满足$∠ ACB=90°$，则$h=\frac{3×4}{5}=2.4$，$a+b=7$，$c+h=7.4$，$7≠7.4$，故②错误。
3. 分析③：当$∠ ACB=90°$时，由面积公式得$ab=ch$，即$h=\frac{ab}{c}$。则$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$，又$a^2+b^2=c^2$，代入得$\frac{c^2}{a^2b^2}=\frac{1}{h^2}$，故③正确。
4. 分析④：当$∠ ACB=90°$时，$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，化简得$ab=ch$，故④正确。
综上，正确的是①③④。

二、填空题
11. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $ 的对边分别为 $ a $，$ b $，$ c $.若 $ c = 10 $，$ a : b = 3 : 4 $，则 $ ab $ 的值是.

解：
设 $ a = 3k $，$ b = 4k $（$ k ＞ 0 $），
因为 $ ∠ C = 90° $，根据勾股定理得：
$ a^2 + b^2 = c^2 $，
将 $ a = 3k $，$ b = 4k $，$ c = 10 $ 代入得：
$ (3k)^2 + (4k)^2 = 10^2 $，
$ 9k^2 + 16k^2 = 100 $，
$ 25k^2 = 100 $，
$ k^2 = 4 $，
因为 $ k ＞ 0 $，所以 $ k = 2 $，
则 $ a = 3×2 = 6 $，$ b = 4×2 = 8 $，
$ ab = 6×8 = 48 $。

12. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = 20 $，$ BC = 15 $，$ AD = 24 $，$ ∠ B = ∠ D = 90° $，则 $ CD $ 的长是.

7

连接AC。
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 625$，故$AC=25$。
在Rt△ADC中，∠D=90°，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 25^2 - 24^2 = 49$，故$CD=7$。