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3. 四边形 ABCD 的对角线交于点 O，以下条件不能判定四边形 ABCD 是矩形的是().
A.AB = CD，AD = BC，∠BAD = 90°
B.OA = OB = OC = OD
C.AB = CD，AB // CD，AC = BD
D.AB = CD，AB // CD，OA = OC，OB = OD
A.AB = CD，AD = BC，∠BAD = 90°
B.OA = OB = OC = OD
C.AB = CD，AB // CD，AC = BD
D.AB = CD，AB // CD，OA = OC，OB = OD
答案
D
解析
1. 选项A：由AB=CD，AD=BC可判定四边形ABCD是平行四边形，结合∠BAD=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形。
2. 选项B：OA=OB=OC=OD，可知对角线AC=BD且互相平分，根据“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，可判定为矩形。
3. 选项C：AB=CD且AB//CD可判定四边形ABCD是平行四边形，结合AC=BD，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形。
4. 选项D：AB=CD且AB//CD可判定四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD是平行四边形的固有性质，无法判定为矩形。
2. 选项B：OA=OB=OC=OD，可知对角线AC=BD且互相平分，根据“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，可判定为矩形。
3. 选项C：AB=CD且AB//CD可判定四边形ABCD是平行四边形，结合AC=BD，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形。
4. 选项D：AB=CD且AB//CD可判定四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD是平行四边形的固有性质，无法判定为矩形。
4. 依据如图所标数据，下列四边形不一定为矩形的是().
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
A
解析
根据矩形的判定定理分析：
选项A：四边形两组对边分别相等，是平行四边形，但无直角，不一定是矩形；
选项B：三个内角为90°，符合“三个角是直角的四边形是矩形”，是矩形；
选项C：∠A、∠B为90°，可得AD//BC，结合AD=BC，判定为平行四边形，且有直角，符合“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，是矩形；
选项D：由勾股定理逆定理得∠B=90°，且两组对边分别相等，是平行四边形，结合直角，符合矩形判定，是矩形。
综上，不一定为矩形的是A。
选项A：四边形两组对边分别相等，是平行四边形，但无直角，不一定是矩形；
选项B：三个内角为90°，符合“三个角是直角的四边形是矩形”，是矩形；
选项C：∠A、∠B为90°，可得AD//BC，结合AD=BC，判定为平行四边形，且有直角，符合“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，是矩形；
选项D：由勾股定理逆定理得∠B=90°，且两组对边分别相等，是平行四边形，结合直角，符合矩形判定，是矩形。
综上，不一定为矩形的是A。
5. 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到点 E，使 DE = AD，连接 EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是().
A.AB = BE
B.CE ⊥ DE
C.∠ADB = 90°
D.BE ⊥ AB
A.AB = BE
B.CE ⊥ DE
C.∠ADB = 90°
D.BE ⊥ AB
答案
D
解析
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD=BC$。结合$DE=AD$，可得$DE// BC$且$DE=BC$，因此四边形DBCE是平行四边形。
2. 逐一分析选项：
选项A：$AB=BE$，D是AE中点，由等腰三角形三线合一得$BD⊥ AE$，即$∠ BDE=90°$，平行四边形DBCE有一个内角为直角，故为矩形。
选项B：$CE⊥ DE$，即$∠ CED=90°$，平行四边形DBCE有一个内角为直角，故为矩形。
选项C：$∠ ADB=90°$，则$∠ BDE=180°-∠ ADB=90°$，平行四边形DBCE有一个内角为直角，故为矩形。
选项D：$BE⊥ AB$，仅能推出$∠ ABE=90°$，无法推出平行四边形DBCE有内角为直角或对角线相等，不能使四边形DBCE成为矩形。
2. 逐一分析选项：
选项A：$AB=BE$，D是AE中点，由等腰三角形三线合一得$BD⊥ AE$，即$∠ BDE=90°$，平行四边形DBCE有一个内角为直角，故为矩形。
选项B：$CE⊥ DE$，即$∠ CED=90°$，平行四边形DBCE有一个内角为直角，故为矩形。
选项C：$∠ ADB=90°$，则$∠ BDE=180°-∠ ADB=90°$，平行四边形DBCE有一个内角为直角，故为矩形。
选项D：$BE⊥ AB$，仅能推出$∠ ABE=90°$，无法推出平行四边形DBCE有内角为直角或对角线相等，不能使四边形DBCE成为矩形。
6. 已知▱ABCD，从①AB = BC；②∠ABC = 90°；③AC = BD；④AC ⊥ BD 四个条件中，选一个作为补充条件，使得▱ABCD 是矩形. 选择的条件可以是.(写出所有的可能，填写序号即可)
答案
②③
解析
根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。分析各条件：
①AB=BC，平行四边形邻边相等，是菱形，不是矩形；
②∠ABC=90°，平行四边形有一个内角为直角，是矩形；
③AC=BD，平行四边形对角线相等，是矩形；
④AC⊥BD，平行四边形对角线互相垂直，是菱形，不是矩形。
因此符合条件的是②③。
①AB=BC，平行四边形邻边相等，是菱形，不是矩形；
②∠ABC=90°，平行四边形有一个内角为直角，是矩形；
③AC=BD，平行四边形对角线相等，是矩形；
④AC⊥BD，平行四边形对角线互相垂直，是菱形，不是矩形。
因此符合条件的是②③。
7. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 OB = 2OC，点 E，F 分别为线段 OB，OD 的中点，连接 AE，EC，CF，FA，求证四边形 AECF 是矩形.
答案
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）。
∵点E，F分别为线段OB，OD的中点，
∴OE = $\frac{1}{2}$OB，OF = $\frac{1}{2}$OD，
∴OE=OF。
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵OB=2OC，OE = $\frac{1}{2}$OB，
∴OE=OC，
∴EF=OE+OF=2OE=2OC。
又∵AC=2OC，
∴EF=AC。
∴平行四边形AECF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）。
∵点E，F分别为线段OB，OD的中点，
∴OE = $\frac{1}{2}$OB，OF = $\frac{1}{2}$OD，
∴OE=OF。
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵OB=2OC，OE = $\frac{1}{2}$OB，
∴OE=OC，
∴EF=OE+OF=2OE=2OC。
又∵AC=2OC，
∴EF=AC。
∴平行四边形AECF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
8. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD，AE 分别平分∠BAC 和∠CAF，AD 交 BC 于点 D，AE = DC. 求证四边形 ADCE 是矩形.
答案
证明：
∵ AB = AC，AD平分∠BAC，
∴ AD⊥BC，即∠ADC = 90°，
∵ AD平分∠BAC，AE平分∠CAF，
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠CAE = $\frac{1}{2}$∠CAF，
∵ ∠BAC + ∠CAF = 180°，
∴ ∠CAD + ∠CAE = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠CAF) = 90°，即∠DAE = 90°，
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠ACB，
又∵ ∠CAF = ∠B + ∠ACB = 2∠ACB，AE平分∠CAF，
∴ ∠CAE = ∠ACB，
∴ AE//DC，
又∵ AE = DC，
∴ 四边形ADCE是平行四边形，
又∵ ∠ADC = 90°，
∴ 平行四边形ADCE是矩形。
∵ AB = AC，AD平分∠BAC，
∴ AD⊥BC，即∠ADC = 90°，
∵ AD平分∠BAC，AE平分∠CAF，
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠CAE = $\frac{1}{2}$∠CAF，
∵ ∠BAC + ∠CAF = 180°，
∴ ∠CAD + ∠CAE = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠CAF) = 90°，即∠DAE = 90°，
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠ACB，
又∵ ∠CAF = ∠B + ∠ACB = 2∠ACB，AE平分∠CAF，
∴ ∠CAE = ∠ACB，
∴ AE//DC，
又∵ AE = DC，
∴ 四边形ADCE是平行四边形，
又∵ ∠ADC = 90°，
∴ 平行四边形ADCE是矩形。
