28. (12 分)【学习新知】定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作“中方四边形”。
【概念理解】(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是()
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
【性质探究】(2)如图①，四边形$ABCD$是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形$ABCD$的两条结论：①，②。
【问题解决】(3)如图②，以锐角$△ ABC$的两边$AB$，$AC$为边长，分别向外侧作正方形$ABDE$和正方形$ACFG$，连接$BE$，$EG$，$GC$。求证：四边形$BCGE$是“中方四边形”。
【拓展应用】(4)如图③，已知四边形$ABCD$是“中方四边形”，$M$，$N$分别是$AB$，$CD$的中点。
①试探索$BD$与$MN$的数量关系，并说明理由；
②若$AB + CD$的最小值是 4，则$BD$的长度为。(不需要解答过程)

28. (1) D (2) $ AC = BD $，$ AC ⊥ BD $ (3) 如图，设四边形 $ BCGE $ 的边 $ BC $，$ CG $，$ GE $，$ BE $ 的中点分别为 $ M $，$ N $，$ R $，$ L $，连接 $ CE $ 交 $ AB $ 于 $ P $，连接 $ BG $ 交 $ CE $ 于 $ K $。$ \because $ 四边形 $ BCGE $ 各边中点分别为 $ M $，$ N $，$ R $，$ L $，$ \therefore MN $，$ RL $ 分别是 $ △ BCG $，$ △ BGE $ 的中位线，$ \therefore MN // BG $，$ MN = \frac{1}{2}BG $，$ RL // BG $，$ RL = \frac{1}{2}BG $，$ \therefore MN // RL $，$ MN = RL $，$ \therefore $ 四边形 $ MNRL $ 是平行四边形。$ \because $ 四边形 $ ABDE $ 和四边形 $ ACFG $ 都是正方形，$ \therefore AE = AB $，$ AG = AC $，$ ∠ EAB = ∠ GAC = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ EAC = ∠ BAG $，$ \therefore △ EAC ≌ △ BAG(SAS) $，$ \therefore CE = BG $，$ ∠ AEC = ∠ ABG $。又 $ \because RL = \frac{1}{2}BG $，$ RN = \frac{1}{2}CE $，$ \therefore RL = RN $，$ \therefore $ 平行四边形 $ MNRL $ 是菱形。$ \because ∠ EAB = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ AEP + ∠ APE = 90^{\circ} $。又 $ \because ∠ AEC = ∠ ABG $，$ ∠ APE = ∠ BPK $，$ \therefore ∠ ABG + ∠ BPK = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ BKP = 90^{\circ} $。又 $ \because MN // BG $，$ ML // CE $，$ \therefore ∠ LMN = 90^{\circ} $。$ \therefore $ 菱形 $ MNRL $ 是正方形，即原四边形 $ BCGE $ 是“中方四边形”
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(4) ① $ MN = \frac{\sqrt{2}}{2}BD $；理由略 ② $ 2\sqrt{2} $

【解析】
(1) 根据“中方四边形”的定义，结合各四边形中点四边形的性质：平行四边形的中点四边形是平行四边形，矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，正方形的中点四边形是正方形，因此正方形一定是“中方四边形”，故选D。
(2) 当原四边形的中点四边形是正方形时，原四边形的对角线满足相等且互相垂直，故结论为$AC=BD$，$AC⊥BD$。
(3) 取四边形$BCGE$的边$BC$，$CG$，$GE$，$BE$的中点分别为$M$，$N$，$R$，$L$，连接$CE$交$AB$于$P$，连接$BG$交$CE$于$K$。
① 由三角形中位线定理，$MN$是$△ BCG$的中位线，$RL$是$△ BGE$的中位线，故$MN// BG$，$MN=\frac{1}{2}BG$，$RL// BG$，$RL=\frac{1}{2}BG$，可得$MN// RL$且$MN=RL$，因此四边形$MNRL$是平行四边形；
② 因为四边形$ABDE$和$ACFG$是正方形，所以$AE=AB$，$AG=AC$，$∠ EAB=∠ GAC=90^{\circ}$，则$∠ EAB+∠ BAC=∠ GAC+∠ BAC$，即$∠ EAC=∠ BAG$，在$△ EAC$和$△ BAG$中，$\{\begin{array}{l}AE=AB\\ ∠ EAC=∠ BAG\\ AC=AG\end{array} $，故$△ EAC≌△ BAG(SAS)$，得$CE=BG$，$∠ AEC=∠ ABG$；
③ 由三角形中位线定理，$RL=\frac{1}{2}BG$，$RN=\frac{1}{2}CE$，结合$CE=BG$，得$RL=RN$，所以平行四边形$MNRL$是菱形；
④ 因为$∠ EAB=90^{\circ}$，所以$∠ AEP+∠ APE=90^{\circ}$，又$∠ AEC=∠ ABG$，$∠ APE=∠ BPK$，故$∠ ABG+∠ BPK=90^{\circ}$，则$∠ BKP=90^{\circ}$，即$BG⊥CE$。由$MN// BG$，$ML// CE$，得$∠ LMN=90^{\circ}$，因此菱形$MNRL$是正方形，即四边形$BCGE$是“中方四边形”。
(4) ① 取$AD$的中点$P$，连接$PM$，$PN$。
由三角形中位线定理，$PM$是$△ ABD$的中位线，$PN$是$△ ACD$的中位线，故$PM// BD$，$PM=\frac{1}{2}BD$，$PN// AC$，$PN=\frac{1}{2}AC$。
因为四边形$ABCD$是“中方四边形”，所以$AC=BD$且$AC⊥BD$，则$PM=PN$，$∠ MPN=90^{\circ}$，$△ PMN$是等腰直角三角形，因此$MN=\sqrt{2}PM=\frac{\sqrt{2}}{2}BD$；
② 当$AB+CD$取最小值4时，结合“中方四边形”的性质，可得$BD=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{D}$
(2) $\boldsymbol{AC=BD}$；$\boldsymbol{AC⊥BD}$（答案不唯一）
(3) 证明见解析
(4) ① $\boldsymbol{MN=\frac{\sqrt{2}}{2}BD}$；② $\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
【知识点】
中点四边形性质，三角形中位线定理，全等三角形判定与性质
【点评】
本题以新定义“中方四边形”为载体，综合考查了多个几何核心知识点，需要学生准确理解新定义，灵活运用三角形中位线、全等三角形、特殊四边形的性质与判定进行推理，对逻辑思维和知识综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3