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26. (10 分)如图，矩形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$DE// AC$，$CE// BD$。
(1)求证：四边形$OCED$为菱形。
(2)求证：$AE = BE$。
(3)若$AB = 1$，$AC=\sqrt{3}$，则菱形$OCED$的面积为
(1)求证：四边形$OCED$为菱形。
(2)求证：$AE = BE$。
(3)若$AB = 1$，$AC=\sqrt{3}$，则菱形$OCED$的面积为
$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
。答案
$（1）\because DE// AC$，CE// BD，$\therefore$四边形OCED为平行四边形，$\because$四边形ABCD是矩形，$\therefore OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，AC = BD，$\therefore OC = OD$，$\therefore\square OCED$为菱形$ （2）\because$四边形OCED为菱形，$\therefore ED = EC$，$\therefore\angle EDC=\angle ECD$，
$\because$四边形ABCD是矩形，$\therefore\angle ADC=\angle BCD$，$\therefore\angle ADE=\angle BCE. $在$\triangle ADE$和$\triangle BCE$中，AD = BC，$\angle ADE=\angle BCE$，ED = EC，$\therefore\triangle ADE\cong\triangle BCE(SAS)$，$\therefore AE = BE （3）\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\because$四边形ABCD是矩形，$\therefore\angle ADC=\angle BCD$，$\therefore\angle ADE=\angle BCE. $在$\triangle ADE$和$\triangle BCE$中，AD = BC，$\angle ADE=\angle BCE$，ED = EC，$\therefore\triangle ADE\cong\triangle BCE(SAS)$，$\therefore AE = BE （3）\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// AC$，$CE// BD$，
$\therefore$四边形$OCED$为平行四边形。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，$AC=BD$，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore$平行四边形$OCED$为菱形。
(2) 证明：
$\because$四边形$OCED$为菱形，
$\therefore ED=EC$，
$\therefore ∠ EDC=∠ ECD$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ ADC=∠ BCD=90°$，$AD=BC$，
$\therefore ∠ ADC+∠ EDC=∠ BCD+∠ ECD$，即$∠ ADE=∠ BCE$。
在$△ ADE$和$△ BCE$中，
$\begin{cases}AD=BC \\∠ ADE=∠ BCE \\ED=EC\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BCE(SAS)$，
$\therefore AE=BE$。
(3) 解：
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$AB=1$，$AC=\sqrt{3}$，
$\therefore BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2}=\sqrt{2}$，
$\therefore$矩形$ABCD$的面积$=AB· BC=1×\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
$\therefore S_{△ OCD}=\frac{1}{4}S_{矩形ABCD}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
$\because$菱形$OCED$的面积$=2S_{△ OCD}$，
$\therefore$菱形$OCED$的面积$=2×\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析；
(3) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查矩形、菱形的性质与判定，以及全等三角形的判定与性质，需熟练掌握相关几何定理，理清边与角的关系进行推理计算。
【难度系数】
0.6
(1) 证明：
$\because DE// AC$，$CE// BD$，
$\therefore$四边形$OCED$为平行四边形。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，$AC=BD$，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore$平行四边形$OCED$为菱形。
(2) 证明：
$\because$四边形$OCED$为菱形，
$\therefore ED=EC$，
$\therefore ∠ EDC=∠ ECD$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ ADC=∠ BCD=90°$，$AD=BC$，
$\therefore ∠ ADC+∠ EDC=∠ BCD+∠ ECD$，即$∠ ADE=∠ BCE$。
在$△ ADE$和$△ BCE$中，
$\begin{cases}AD=BC \\∠ ADE=∠ BCE \\ED=EC\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BCE(SAS)$，
$\therefore AE=BE$。
(3) 解：
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$AB=1$，$AC=\sqrt{3}$，
$\therefore BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2}=\sqrt{2}$，
$\therefore$矩形$ABCD$的面积$=AB· BC=1×\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
$\therefore S_{△ OCD}=\frac{1}{4}S_{矩形ABCD}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
$\because$菱形$OCED$的面积$=2S_{△ OCD}$，
$\therefore$菱形$OCED$的面积$=2×\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析；
(3) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查矩形、菱形的性质与判定，以及全等三角形的判定与性质，需熟练掌握相关几何定理，理清边与角的关系进行推理计算。
【难度系数】
0.6
27. (12 分)我们知道，$a^{2}+2ab + b^{2}$和$a^{2}-2ab + b^{2}$这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解。有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题。
例如：(1)分解因式：$x^{2}-2x - 3$。
解：原式$=x^{2}-2x + 1 - 1 - 3=(x - 1)^{2}-4=(x - 1)^{2}-2^{2}=(x - 1 + 2)(x - 1 - 2)=(x + 1)(x - 3)$。
(2)求代数式$x^{2}-2x - 3$的最小值。
解：原式$=x^{2}-2x + 1 - 4=(x - 1)^{2}-4$。
$\because(x - 1)^{2}≥0$，$\therefore(x - 1)^{2}-4≥ - 4$。
$\therefore$当$x = 1$时，代数式$x^{2}-2x - 3$有最小值$-4$。
结合以上材料解决下面的问题：
(1)若二次三项式$x^{2}-kx + 9$恰好是完全平方式，则$k$的值是
(2)分解因式：$x^{2}-8x + 15$。
(3)当$x$为何值时，$x^{2}-8x + 15$有最小值？最小值是多少？
例如：(1)分解因式：$x^{2}-2x - 3$。
解：原式$=x^{2}-2x + 1 - 1 - 3=(x - 1)^{2}-4=(x - 1)^{2}-2^{2}=(x - 1 + 2)(x - 1 - 2)=(x + 1)(x - 3)$。
(2)求代数式$x^{2}-2x - 3$的最小值。
解：原式$=x^{2}-2x + 1 - 4=(x - 1)^{2}-4$。
$\because(x - 1)^{2}≥0$，$\therefore(x - 1)^{2}-4≥ - 4$。
$\therefore$当$x = 1$时，代数式$x^{2}-2x - 3$有最小值$-4$。
结合以上材料解决下面的问题：
(1)若二次三项式$x^{2}-kx + 9$恰好是完全平方式，则$k$的值是
6 或 -6
。(2)分解因式：$x^{2}-8x + 15$。
(3)当$x$为何值时，$x^{2}-8x + 15$有最小值？最小值是多少？
答案
27. (1) 6 或 -6 (2) $ x^{2} - 8x + 15 = x^{2} - 8x + 4^{2} - 1 = (x - 4)^{2} - 1 = (x - 4)^{2} - 1^{2} = (x - 4 + 1)(x - 4 - 1) = (x - 3)(x - 5) $ (3) $ x^{2} - 8x + 15 = (x - 4)^{2} - 1 $。$ \because (x - 4)^{2} ≥ 0 $，$ \therefore (x - 4)^{2} - 1 ≥ -1 $，$ \therefore $ 当 $ x = 4 $ 时，代数式 $ x^{2} - 8x + 15 $ 有最小值 -1
解析
【解析】
(1) 完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，在$x^2 - kx + 9$中，$a=x$，$b=3$，则$-kx=\pm2× x×3$，解得$k=\pm6$。
(2) 分解因式：
$\begin{aligned}原式&=x^2 - 8x + 16 - 1\\&=(x - 4)^2 - 1^2\\&=(x - 4 + 1)(x - 4 - 1)\\&=(x - 3)(x - 5)\end{aligned}$
(3) 求最小值：
$\begin{aligned}原式&=x^2 - 8x + 16 - 1\\&=(x - 4)^2 - 1\end{aligned}$
$\because (x - 4)^2≥0$，$\therefore (x - 4)^2 - 1≥ -1$，
$\therefore$当$x = 4$时，代数式$x^2 - 8x + 15$有最小值$-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\pm6}$；
(2) $\boldsymbol{(x - 3)(x - 5)}$；
(3) 当$\boldsymbol{x = 4}$时，最小值为$\boldsymbol{-1}$。
【知识点】
完全平方公式、配方法因式分解、代数式最值
【点评】
本题考查配方法的综合应用，涵盖因式分解与代数式最值求解，需熟练运用完全平方公式、平方差公式，理解非负数性质在最值问题中的作用，提升配方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，在$x^2 - kx + 9$中，$a=x$，$b=3$，则$-kx=\pm2× x×3$，解得$k=\pm6$。
(2) 分解因式：
$\begin{aligned}原式&=x^2 - 8x + 16 - 1\\&=(x - 4)^2 - 1^2\\&=(x - 4 + 1)(x - 4 - 1)\\&=(x - 3)(x - 5)\end{aligned}$
(3) 求最小值：
$\begin{aligned}原式&=x^2 - 8x + 16 - 1\\&=(x - 4)^2 - 1\end{aligned}$
$\because (x - 4)^2≥0$，$\therefore (x - 4)^2 - 1≥ -1$，
$\therefore$当$x = 4$时，代数式$x^2 - 8x + 15$有最小值$-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\pm6}$；
(2) $\boldsymbol{(x - 3)(x - 5)}$；
(3) 当$\boldsymbol{x = 4}$时，最小值为$\boldsymbol{-1}$。
【知识点】
完全平方公式、配方法因式分解、代数式最值
【点评】
本题考查配方法的综合应用，涵盖因式分解与代数式最值求解，需熟练运用完全平方公式、平方差公式，理解非负数性质在最值问题中的作用，提升配方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
