登录
1. 下列二次根式中，x 的取值范围是 $x ≥ 3$ 的是 ()
A.$\sqrt{3 - x}$
B.$\sqrt{x + 3}$
C.$\sqrt{x - 3}$
D.$\sqrt{\frac{1}{x - 3}}$
A.$\sqrt{3 - x}$
B.$\sqrt{x + 3}$
C.$\sqrt{x - 3}$
D.$\sqrt{\frac{1}{x - 3}}$
答案
C
解析
根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）及分式分母不为0的规则，逐一分析选项：
选项A：$3 - x ≥ 0$，解得$x ≤ 3$，不符合要求；
选项B：$x + 3 ≥ 0$，解得$x ≥ -3$，不符合要求；
选项C：$x - 3 ≥ 0$，解得$x ≥ 3$，符合要求；
选项D：需满足$x - 3 ＞ 0$（分母不为0且被开方数为正），解得$x ＞ 3$，不符合要求。
综上，符合条件的是选项C。
选项A：$3 - x ≥ 0$，解得$x ≤ 3$，不符合要求；
选项B：$x + 3 ≥ 0$，解得$x ≥ -3$，不符合要求；
选项C：$x - 3 ≥ 0$，解得$x ≥ 3$，符合要求；
选项D：需满足$x - 3 ＞ 0$（分母不为0且被开方数为正），解得$x ＞ 3$，不符合要求。
综上，符合条件的是选项C。
2. 已知二次根式$\sqrt{2a - 4}$与$\sqrt{3}$是同类二次根式，则 a 的值可以是 ()
A.5
B.6
C.7
D.8
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
D
解析
根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，依次代入选项验证：
1. 当a=5时，2a-4=6，$\sqrt{6}$为最简二次根式，被开方数6≠3，不是同类二次根式；
2. 当a=6时，2a-4=8，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，被开方数2≠3，不是同类二次根式；
3. 当a=7时，2a-4=10，$\sqrt{10}$为最简二次根式，被开方数10≠3，不是同类二次根式；
4. 当a=8时，2a-4=12，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，最简后被开方数为3，与$\sqrt{3}$是同类二次根式。
因此a的值可以是8。
1. 当a=5时，2a-4=6，$\sqrt{6}$为最简二次根式，被开方数6≠3，不是同类二次根式；
2. 当a=6时，2a-4=8，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，被开方数2≠3，不是同类二次根式；
3. 当a=7时，2a-4=10，$\sqrt{10}$为最简二次根式，被开方数10≠3，不是同类二次根式；
4. 当a=8时，2a-4=12，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，最简后被开方数为3，与$\sqrt{3}$是同类二次根式。
因此a的值可以是8。
3. 计算$\sqrt{12} - \sqrt{3}$的结果是 ()
A.9
B.$\sqrt{9}$
C.4
D.$\sqrt{3}$
A.9
B.$\sqrt{9}$
C.4
D.$\sqrt{3}$
答案
D
解析
先化简二次根式，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，再计算减法：$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
4. 下列计算正确的是 ()
A.$2\sqrt{3} + 5\sqrt{2} = 7\sqrt{5}$
B.$\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$
C.$\sqrt{28} ÷ \sqrt{7} = 2$
D.$\sqrt{(-3)^2} = -3$
A.$2\sqrt{3} + 5\sqrt{2} = 7\sqrt{5}$
B.$\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$
C.$\sqrt{28} ÷ \sqrt{7} = 2$
D.$\sqrt{(-3)^2} = -3$
答案
C
解析
选项A：$2\sqrt{3}$与$5\sqrt{2}$不是同类二次根式，无法合并，故A错误；
选项B：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}≠4\sqrt{3}$，故B错误；
选项C：根据二次根式除法法则，$\sqrt{28}÷\sqrt{7}=\sqrt{28÷7}=\sqrt{4}=2$，故C正确；
选项D：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3≠-3$，故D错误。
综上，计算正确的是C。
选项B：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}≠4\sqrt{3}$，故B错误；
选项C：根据二次根式除法法则，$\sqrt{28}÷\sqrt{7}=\sqrt{28÷7}=\sqrt{4}=2$，故C正确；
选项D：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3≠-3$，故D错误。
综上，计算正确的是C。
5. 化简：
(1)$\sqrt{75} = $；
(2)$\sqrt{13^2 - 12^2} = $；
(3)$\sqrt{6 × 12 × 18} = $；
(4)$\sqrt{72a^3b^2}(a ≥ 0, b ≥ 0) = $.
(1)$\sqrt{75} = $；
(2)$\sqrt{13^2 - 12^2} = $；
(3)$\sqrt{6 × 12 × 18} = $；
(4)$\sqrt{72a^3b^2}(a ≥ 0, b ≥ 0) = $.
答案
(1) $5\sqrt{3}$；(2) $5$；(3) $36$；(4) $6ab\sqrt{2a}$
解析
(1) $\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=\sqrt{25}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$；
(2) $\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{(13-12)(13+12)}=\sqrt{25}=5$；
(3) $\sqrt{6×12×18}=\sqrt{1296}=36$；
(4) 因$a≥0,b≥0$，$\sqrt{72a^3b^2}=\sqrt{36×2×a^2×a×b^2}=6ab\sqrt{2a}$。
(2) $\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{(13-12)(13+12)}=\sqrt{25}=5$；
(3) $\sqrt{6×12×18}=\sqrt{1296}=36$；
(4) 因$a≥0,b≥0$，$\sqrt{72a^3b^2}=\sqrt{36×2×a^2×a×b^2}=6ab\sqrt{2a}$。
6. 计算：$\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} + \sqrt{2} = $.
答案
$2\sqrt{2}-1$
解析
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因为$1＜\sqrt{2}$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，则$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$。将其代入原式计算：$\sqrt{2}-1+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1$。
7. 计算：
（1）$-\sqrt{3} × \sqrt{(-25) × (-64)}$；
（2）$\sqrt{1\frac{1}{3}} ÷ \sqrt{2\frac{1}{3}} × \sqrt{1\frac{3}{4}}$；
（3）$\sqrt{3a^2} ÷ 3\sqrt{\frac{a}{2}} · \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2a}{3}}(a ＞ 0)$；
（4）$(\sqrt{\frac{8}{27}} - 2\sqrt{3}) × \sqrt{6}$.
（1）$-\sqrt{3} × \sqrt{(-25) × (-64)}$；
（2）$\sqrt{1\frac{1}{3}} ÷ \sqrt{2\frac{1}{3}} × \sqrt{1\frac{3}{4}}$；
（3）$\sqrt{3a^2} ÷ 3\sqrt{\frac{a}{2}} · \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2a}{3}}(a ＞ 0)$；
（4）$(\sqrt{\frac{8}{27}} - 2\sqrt{3}) × \sqrt{6}$.
答案
解：
（1）$-\sqrt{3} × \sqrt{(-25) × (-64)}$
$=-\sqrt{3} × \sqrt{25×64}$
$=-\sqrt{3} × (\sqrt{25}×\sqrt{64})$
$=-\sqrt{3} × (5×8)$
$=-40\sqrt{3}$
（2）$\sqrt{1\frac{1}{3}} ÷ \sqrt{2\frac{1}{3}} × \sqrt{1\frac{3}{4}}$
$=\sqrt{\frac{4}{3}} ÷ \sqrt{\frac{7}{3}} × \sqrt{\frac{7}{4}}$
$=\sqrt{\frac{4}{3}÷\frac{7}{3}×\frac{7}{4}}$
$=\sqrt{\frac{4}{3}×\frac{3}{7}×\frac{7}{4}}$
$=\sqrt{1}$
$=1$
（3）$\sqrt{3a^2} ÷ 3\sqrt{\frac{a}{2}} · \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2a}{3}}(a ＞ 0)$
$=(1÷3×\frac{1}{2})×\sqrt{3a^2÷\frac{a}{2}×\frac{2a}{3}}$
$=\frac{1}{6}×\sqrt{3a^2×\frac{2}{a}×\frac{2a}{3}}$
$=\frac{1}{6}×\sqrt{4a^2}$
$=\frac{1}{6}×2a$
$=\frac{a}{3}$
（4）$(\sqrt{\frac{8}{27}} - 2\sqrt{3}) × \sqrt{6}$
$=\sqrt{\frac{8}{27}}×\sqrt{6} - 2\sqrt{3}×\sqrt{6}$
$=\sqrt{\frac{8}{27}×6} - 2\sqrt{3×6}$
$=\sqrt{\frac{16}{9}} - 2\sqrt{18}$
$=\frac{4}{3} - 2×3\sqrt{2}$
$=\frac{4}{3} - 6\sqrt{2}$
（1）$-\sqrt{3} × \sqrt{(-25) × (-64)}$
$=-\sqrt{3} × \sqrt{25×64}$
$=-\sqrt{3} × (\sqrt{25}×\sqrt{64})$
$=-\sqrt{3} × (5×8)$
$=-40\sqrt{3}$
（2）$\sqrt{1\frac{1}{3}} ÷ \sqrt{2\frac{1}{3}} × \sqrt{1\frac{3}{4}}$
$=\sqrt{\frac{4}{3}} ÷ \sqrt{\frac{7}{3}} × \sqrt{\frac{7}{4}}$
$=\sqrt{\frac{4}{3}÷\frac{7}{3}×\frac{7}{4}}$
$=\sqrt{\frac{4}{3}×\frac{3}{7}×\frac{7}{4}}$
$=\sqrt{1}$
$=1$
（3）$\sqrt{3a^2} ÷ 3\sqrt{\frac{a}{2}} · \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2a}{3}}(a ＞ 0)$
$=(1÷3×\frac{1}{2})×\sqrt{3a^2÷\frac{a}{2}×\frac{2a}{3}}$
$=\frac{1}{6}×\sqrt{3a^2×\frac{2}{a}×\frac{2a}{3}}$
$=\frac{1}{6}×\sqrt{4a^2}$
$=\frac{1}{6}×2a$
$=\frac{a}{3}$
（4）$(\sqrt{\frac{8}{27}} - 2\sqrt{3}) × \sqrt{6}$
$=\sqrt{\frac{8}{27}}×\sqrt{6} - 2\sqrt{3}×\sqrt{6}$
$=\sqrt{\frac{8}{27}×6} - 2\sqrt{3×6}$
$=\sqrt{\frac{16}{9}} - 2\sqrt{18}$
$=\frac{4}{3} - 2×3\sqrt{2}$
$=\frac{4}{3} - 6\sqrt{2}$
