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8. 观察下列各式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{1}{5}}$，…
请你猜想：
(1)$\sqrt{4 + \frac{1}{6}} = $，$\sqrt{5 + \frac{1}{7}} = $；
(2)计算$\sqrt{14 + \frac{1}{16}}$(请写出推导过程)；
(3)用含自然数$n(n ≥ 1)$的代数式表示规律并证明.
$\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{1}{5}}$，…
请你猜想：
(1)$\sqrt{4 + \frac{1}{6}} = $，$\sqrt{5 + \frac{1}{7}} = $；
(2)计算$\sqrt{14 + \frac{1}{16}}$(请写出推导过程)；
(3)用含自然数$n(n ≥ 1)$的代数式表示规律并证明.
答案
解：
(1) $\sqrt{4 + \frac{1}{6}} = 5\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{5 + \frac{1}{7}} = 6\sqrt{\frac{1}{7}}$；
(2) $\sqrt{14 + \frac{1}{16}}$
$=\sqrt{\frac{14×16 + 1}{16}}$
$=\sqrt{\frac{224 + 1}{16}}$
$=\sqrt{\frac{225}{16}}$
$=\frac{15}{4}$
(3) 规律：$\sqrt{n + \frac{1}{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（$n$为自然数，$n≥1$）
证明：
左边$=\sqrt{n + \frac{1}{n+2}}$
$=\sqrt{\frac{n(n+2) + 1}{n+2}}$
$=\sqrt{\frac{n^2 + 2n + 1}{n+2}}$
$=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}$
$=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
左边=右边，故等式成立。
(1) $\sqrt{4 + \frac{1}{6}} = 5\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{5 + \frac{1}{7}} = 6\sqrt{\frac{1}{7}}$；
(2) $\sqrt{14 + \frac{1}{16}}$
$=\sqrt{\frac{14×16 + 1}{16}}$
$=\sqrt{\frac{224 + 1}{16}}$
$=\sqrt{\frac{225}{16}}$
$=\frac{15}{4}$
(3) 规律：$\sqrt{n + \frac{1}{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（$n$为自然数，$n≥1$）
证明：
左边$=\sqrt{n + \frac{1}{n+2}}$
$=\sqrt{\frac{n(n+2) + 1}{n+2}}$
$=\sqrt{\frac{n^2 + 2n + 1}{n+2}}$
$=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}$
$=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
左边=右边，故等式成立。
9. 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简$|a + 1| - \sqrt{(b - 1)^2} + \sqrt{(a - b)^2} = $.
答案
$-2a$
解析
根据数轴可知：$-2 ＜ a ＜ -1$，$1 ＜ b ＜ 2$，由此判断符号：$a+1 ＜ 0$，$b-1 ＞ 0$，$a-b ＜ 0$。
根据绝对值与二次根式的性质化简：
$|a+1|=-(a+1)$，$\sqrt{(b-1)^2}=|b-1|=b-1$，$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|=-(a-b)$。
代入原式计算：
$\begin{align}&|a + 1| - \sqrt{(b - 1)^2} + \sqrt{(a - b)^2}\\=&-(a+1)-(b-1)+[-(a-b)]\\=&-a-1-b+1-a+b\\=&-2a\end{align}$
根据绝对值与二次根式的性质化简：
$|a+1|=-(a+1)$，$\sqrt{(b-1)^2}=|b-1|=b-1$，$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|=-(a-b)$。
代入原式计算：
$\begin{align}&|a + 1| - \sqrt{(b - 1)^2} + \sqrt{(a - b)^2}\\=&-(a+1)-(b-1)+[-(a-b)]\\=&-a-1-b+1-a+b\\=&-2a\end{align}$
10. 若$4 + \sqrt{7}$的小数部分是 a，$4 - \sqrt{7}$的小数部分是 b，则$ab + 5b = $.
答案
2
解析
1. 确定$\sqrt{7}$的范围：因为$2^2=4＜7＜9=3^2$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$；
2. 求小数部分$a$和$b$：
由$6＜4+\sqrt{7}＜7$，得$a=(4+\sqrt{7})-6=\sqrt{7}-2$；
由$1＜4-\sqrt{7}＜2$，得$b=(4-\sqrt{7})-1=3-\sqrt{7}$；
3. 计算$ab+5b$：
提取公因式得$b(a+5)$，代入$a$、$b$：
$a+5=\sqrt{7}-2+5=\sqrt{7}+3$，
则$b(a+5)=(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})=3^2-(\sqrt{7})^2=9-7=2$。
2. 求小数部分$a$和$b$：
由$6＜4+\sqrt{7}＜7$，得$a=(4+\sqrt{7})-6=\sqrt{7}-2$；
由$1＜4-\sqrt{7}＜2$，得$b=(4-\sqrt{7})-1=3-\sqrt{7}$；
3. 计算$ab+5b$：
提取公因式得$b(a+5)$，代入$a$、$b$：
$a+5=\sqrt{7}-2+5=\sqrt{7}+3$，
则$b(a+5)=(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})=3^2-(\sqrt{7})^2=9-7=2$。
11. 计算：
（1）$(\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2027} × (\sqrt{6} + \sqrt{5})^{2026}$；
（2）$(1 - \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 - (-1 - \sqrt{3} - \sqrt{5})^2$.
（1）$(\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2027} × (\sqrt{6} + \sqrt{5})^{2026}$；
（2）$(1 - \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 - (-1 - \sqrt{3} - \sqrt{5})^2$.
答案
解：
（1）$(\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2027} × (\sqrt{6} + \sqrt{5})^{2026}$
$=(\sqrt{6} - \sqrt{5})×[(\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})]^{2026}$
$=(\sqrt{6} - \sqrt{5})×[(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2]^{2026}$
$=(\sqrt{6} - \sqrt{5})×(6 - 5)^{2026}$
$=(\sqrt{6} - \sqrt{5})×1^{2026}$
$=\sqrt{6} - \sqrt{5}$
（2）$(1 - \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 - (-1 - \sqrt{3} - \sqrt{5})^2$
$=[(1 - \sqrt{3} + \sqrt{5}) + (-1 - \sqrt{3} - \sqrt{5})][(1 - \sqrt{3} + \sqrt{5}) - (-1 - \sqrt{3} - \sqrt{5})]$
$=(1 - \sqrt{3} + \sqrt{5} - 1 - \sqrt{3} - \sqrt{5})(1 - \sqrt{3} + \sqrt{5} + 1 + \sqrt{3} + \sqrt{5})$
$=(-2\sqrt{3})(2 + 2\sqrt{5})$
$=-4\sqrt{3}(1 + \sqrt{5})$
$=-4\sqrt{3} - 4\sqrt{15}$
（1）$(\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2027} × (\sqrt{6} + \sqrt{5})^{2026}$
$=(\sqrt{6} - \sqrt{5})×[(\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})]^{2026}$
$=(\sqrt{6} - \sqrt{5})×[(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2]^{2026}$
$=(\sqrt{6} - \sqrt{5})×(6 - 5)^{2026}$
$=(\sqrt{6} - \sqrt{5})×1^{2026}$
$=\sqrt{6} - \sqrt{5}$
（2）$(1 - \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 - (-1 - \sqrt{3} - \sqrt{5})^2$
$=[(1 - \sqrt{3} + \sqrt{5}) + (-1 - \sqrt{3} - \sqrt{5})][(1 - \sqrt{3} + \sqrt{5}) - (-1 - \sqrt{3} - \sqrt{5})]$
$=(1 - \sqrt{3} + \sqrt{5} - 1 - \sqrt{3} - \sqrt{5})(1 - \sqrt{3} + \sqrt{5} + 1 + \sqrt{3} + \sqrt{5})$
$=(-2\sqrt{3})(2 + 2\sqrt{5})$
$=-4\sqrt{3}(1 + \sqrt{5})$
$=-4\sqrt{3} - 4\sqrt{15}$
