12. 设$a = \sqrt{8 - 2x}$，$b = \sqrt{5x + 4}$，$c = \sqrt{x + 2}$.
（1）当 x 取什么实数时，a，b，c 都有意义？
（2）若 a，b，c 为 Rt△ABC 的三边，求 x 的值.

解：（1）要使$a$，$b$，$c$都有意义，需满足：
$\begin{cases}8 - 2x ≥ 0 \\5x + 4 ≥ 0 \\x + 2 ≥ 0\end{cases}$
解不等式$8 - 2x ≥ 0$，得$x ≤ 4$；
解不等式$5x + 4 ≥ 0$，得$x ≥ -\frac{4}{5}$；
解不等式$x + 2 ≥ 0$，得$x ≥ -2$；
综上，$x$的取值范围是$-\frac{4}{5} ≤ x ≤ 4$。
（2）分三种情况讨论：
①当$b$为斜边时，由勾股定理得$a^2 + c^2 = b^2$，
即$(8 - 2x) + (x + 2) = 5x + 4$，
化简得：$10 - x = 5x + 4$，
移项合并得：$6x = 6$，
解得：$x = 1$，
经检验，$x=1$在$-\frac{4}{5} ≤ x ≤ 4$范围内，符合条件；
②当$a$为斜边时，由勾股定理得$b^2 + c^2 = a^2$，
即$(5x + 4) + (x + 2) = 8 - 2x$，
化简得：$6x + 6 = 8 - 2x$，
移项合并得：$8x = 2$，
解得：$x = \frac{1}{4}$，
经检验，$x=\frac{1}{4}$在$-\frac{4}{5} ≤ x ≤ 4$范围内，符合条件；
③当$c$为斜边时，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$，
即$(8 - 2x) + (5x + 4) = x + 2$，
化简得：$3x + 12 = x + 2$，
移项合并得：$2x = -10$，
解得：$x = -5$，
经检验，$x=-5$不在$-\frac{4}{5} ≤ x ≤ 4$范围内，舍去；
综上，$x$的值为$1$或$\frac{1}{4}$。

13. 在学习二次根式后，小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$6 + 2\sqrt{5} = 1 + 5 + 2\sqrt{5} = 1^2 + 2\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (1 + \sqrt{5})^2$.
(1)在空格中填上合适的数，使等式成立： + $\sqrt{3} = (1 + 3\sqrt{3})^2$.
(2)$11 + 4\sqrt{7}$的算术平方根为.
(3)化简：$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} + \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2\sqrt{12}} + ··· + \sqrt{2n + 1 - 2\sqrt{n(n + 1)}}$(n 为正整数).

解：
(1) $\because (1 + 3\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2×1×3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2 = 1 + 6\sqrt{3} + 27 = 28 + 6\sqrt{3}$，
$\therefore$ 空格处依次填28，6。
(2) 设$11 + 4\sqrt{7} = (a + b\sqrt{7})^2$（$a$、$b$为正整数），
展开得$a^2 + 7b^2 + 2ab\sqrt{7} = 11 + 4\sqrt{7}$，
则$\begin{cases}a^2 + 7b^2 = 11\\2ab = 4\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 2\\b = 1\end{cases}$，
$\therefore 11 + 4\sqrt{7} = (2 + \sqrt{7})^2$，
故$11 + 4\sqrt{7}$的算术平方根为$2 + \sqrt{7}$。
(3) $\because 2n + 1 - 2\sqrt{n(n+1)} = (\sqrt{n+1})^2 - 2\sqrt{n}·\sqrt{n+1} + (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})^2$，
又$\because \sqrt{n+1} ＞ \sqrt{n}$，
$\therefore \sqrt{2n + 1 - 2\sqrt{n(n+1)}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$，
则原式$= (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$
$= \sqrt{n+1} - 1$。