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2. 一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含$30^{\circ}$角的直角三角形纸片拼成一个四边形，下列拼成的四边形中，不是菱形的是()
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
菱形的判定方法之一是四条边都相等的四边形是菱形。
选项A：将四个含$30^{\circ}$角的直角三角形纸片的斜边重合，四个小直角在外围，拼成的四边形四条边相等，所以是菱形。
选项B：把四个含$30^{\circ}$角的直角三角形纸片的较长的直角边重合，较短的直角边在外围，拼成的四边形四条边相等，所以是菱形。
选项C：用四个含$30^{\circ}$角的直角三角形纸片拼成的这个图形，四条边不都相等，所以不是菱形。
选项D：将四个含$30^{\circ}$角的直角三角形纸片的较短的直角边重合，斜边在外围，拼成的四边形四条边相等，所以是菱形。
选项A：将四个含$30^{\circ}$角的直角三角形纸片的斜边重合，四个小直角在外围，拼成的四边形四条边相等，所以是菱形。
选项B：把四个含$30^{\circ}$角的直角三角形纸片的较长的直角边重合，较短的直角边在外围，拼成的四边形四条边相等，所以是菱形。
选项C：用四个含$30^{\circ}$角的直角三角形纸片拼成的这个图形，四条边不都相等，所以不是菱形。
选项D：将四个含$30^{\circ}$角的直角三角形纸片的较短的直角边重合，斜边在外围，拼成的四边形四条边相等，所以是菱形。
3. 四个点$A$、$B$、$C$、$D$在同一平面内，从①$AB// CD$；②$AB = CD$；③$AC⊥ BD$；④$AD = BC$；⑤$AD// BC$，这五个条件中任选三个，能使四边形$ABCD$是菱形的选法有()
A.$1$种
B.$2$种
C.$3$种
D.$4$种
A.$1$种
B.$2$种
C.$3$种
D.$4$种
答案
D
解析
要使四边形$ABCD$是菱形，需先判定为平行四边形，再满足菱形的特殊条件（对角线垂直或邻边相等）。已知条件中无邻边相等条件，故需结合“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。
平行四边形的判定组合及对应菱形条件：
1. ①$AB// CD$，②$AB = CD$（一组对边平行且相等）→平行四边形，加③$AC⊥BD$（对角线垂直）→菱形（组合①②③）；
2. ①$AB// CD$，⑤$AD// BC$（两组对边平行）→平行四边形，加③$AC⊥BD$→菱形（组合①⑤③）；
3. ④$AD = BC$，⑤$AD// BC$（一组对边平行且相等）→平行四边形，加③$AC⊥BD$→菱形（组合④⑤③）；
4. ②$AB = CD$，④$AD = BC$（两组对边相等）→平行四边形，加③$AC⊥BD$→菱形（组合②④③）。
共4种选法。
平行四边形的判定组合及对应菱形条件：
1. ①$AB// CD$，②$AB = CD$（一组对边平行且相等）→平行四边形，加③$AC⊥BD$（对角线垂直）→菱形（组合①②③）；
2. ①$AB// CD$，⑤$AD// BC$（两组对边平行）→平行四边形，加③$AC⊥BD$→菱形（组合①⑤③）；
3. ④$AD = BC$，⑤$AD// BC$（一组对边平行且相等）→平行四边形，加③$AC⊥BD$→菱形（组合④⑤③）；
4. ②$AB = CD$，④$AD = BC$（两组对边相等）→平行四边形，加③$AC⊥BD$→菱形（组合②④③）。
共4种选法。
4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 3$，$D$为斜边$AB$上一点，以$CD$、$CB$为边作平行四边形$CDEB$，当$AD =$时，平行四边形$CDEB$为菱形。
答案
7/5
解析
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得AB=5。要使平行四边形CDEB为菱形，需CB=CD（邻边相等的平行四边形是菱形），即CD=3。设AD=x，则DB=5-x。建立坐标系，C(0,0)，A(4,0)，B(0,3)，AB方程为y=-3/4x+3。D在AB上，坐标为(4(5-x)/5, 3x/5)。CD=3，故√[(4(5-x)/5)²+(3x/5)²]=3，平方化简得5x²-32x+35=0，解得x=7/5（x=5舍去），即AD=7/5。
5. 如图，在菱形$ABCD$中，将对角线$AC$分别向两端延长到点$E$和$F$，使得$AE = CF$。连结$DE$、$DF$、$BE$、$BF$。
求证：四边形$BEDF$是菱形。
求证：四边形$BEDF$是菱形。
答案
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA（菱形四条边相等，对角线平分内角）。
∵AE=CF，
∴AE+AC=CF+AC，即CE=AF。
在△AFD和△CEB中，
AF=CE，∠FAD=∠ECB，AD=CB，
∴△AFD≌△CEB（SAS），∴DF=BE。
同理，△AFB≌△CED（SAS），∴BF=DE。
∵AD=CD，∠DAE=∠DCF（等角的补角相等），AE=CF，
∴△DAE≌△DCF（SAS），∴DE=DF。
∵DF=BE，BF=DE，DE=DF，
∴DE=DF=BF=BE，
∴四边形BEDF是菱形（四边相等的四边形是菱形）。
结论：四边形BEDF是菱形。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA（菱形四条边相等，对角线平分内角）。
∵AE=CF，
∴AE+AC=CF+AC，即CE=AF。
在△AFD和△CEB中，
AF=CE，∠FAD=∠ECB，AD=CB，
∴△AFD≌△CEB（SAS），∴DF=BE。
同理，△AFB≌△CED（SAS），∴BF=DE。
∵AD=CD，∠DAE=∠DCF（等角的补角相等），AE=CF，
∴△DAE≌△DCF（SAS），∴DE=DF。
∵DF=BE，BF=DE，DE=DF，
∴DE=DF=BF=BE，
∴四边形BEDF是菱形（四边相等的四边形是菱形）。
结论：四边形BEDF是菱形。
6. （推理能力）如图，在菱形$ABCD$中。
(1) 点$E$、$F$在$AC$所在直线上，分别从$A$、$C$两点同时出发，以相同的速度相向而行，求证：两点相遇前，四边形$EBFD$是菱形；
(2) $M$、$N$两点分别从$A$、$B$两点沿直线$AC$同时出发，以相同的速度背向而行，求证：在任意时刻所得到的四边形$MBND$是菱形。
(1) 点$E$、$F$在$AC$所在直线上，分别从$A$、$C$两点同时出发，以相同的速度相向而行，求证：两点相遇前，四边形$EBFD$是菱形；
(2) $M$、$N$两点分别从$A$、$B$两点沿直线$AC$同时出发，以相同的速度背向而行，求证：在任意时刻所得到的四边形$MBND$是菱形。
答案
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴对角线$AC$与$BD$互相垂直平分，设交点为$O$，则$AO=CO$，$BO=DO$，$AC⊥BD$。
∵点$E$、$F$分别从$A$、$C$同时出发，以相同速度相向而行，相遇前$AE=CF$。
∴$AO - AE = CO - CF$，即$EO=FO$。
∵$BO=DO$，∴四边形$EBFD$对角线互相平分，为平行四边形。
又∵$AC⊥BD$，即$EF⊥BD$，
∴平行四边形$EBFD$是菱形。
(2) 证明：
设菱形$ABCD$对角线$AC$、$BD$交于点$O$，则$AO=CO$，$BO=DO$，$AC⊥BD$。
设运动时间为$t$，速度为$v$，则$AM=BN=vt$（注：此处原题可能存在笔误，应为$N$从$C$出发，否则无法沿直线$AC$运动，修正后$CN=vt$）。
∵$M$、$N$背向而行，∴$OM=AO + AM$，$ON=CO + CN$。
∵$AO=CO$，$AM=CN$，∴$OM=ON$。
∵$BO=DO$，∴四边形$MBND$对角线互相平分，为平行四边形。
又∵$AC⊥BD$，即$MN⊥BD$，
∴平行四边形$MBND$是菱形。
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴对角线$AC$与$BD$互相垂直平分，设交点为$O$，则$AO=CO$，$BO=DO$，$AC⊥BD$。
∵点$E$、$F$分别从$A$、$C$同时出发，以相同速度相向而行，相遇前$AE=CF$。
∴$AO - AE = CO - CF$，即$EO=FO$。
∵$BO=DO$，∴四边形$EBFD$对角线互相平分，为平行四边形。
又∵$AC⊥BD$，即$EF⊥BD$，
∴平行四边形$EBFD$是菱形。
(2) 证明：
设菱形$ABCD$对角线$AC$、$BD$交于点$O$，则$AO=CO$，$BO=DO$，$AC⊥BD$。
设运动时间为$t$，速度为$v$，则$AM=BN=vt$（注：此处原题可能存在笔误，应为$N$从$C$出发，否则无法沿直线$AC$运动，修正后$CN=vt$）。
∵$M$、$N$背向而行，∴$OM=AO + AM$，$ON=CO + CN$。
∵$AO=CO$，$AM=CN$，∴$OM=ON$。
∵$BO=DO$，∴四边形$MBND$对角线互相平分，为平行四边形。
又∵$AC⊥BD$，即$MN⊥BD$，
∴平行四边形$MBND$是菱形。
