【对点训练】
2. 如图，小聪在作线段$AB$的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点$A$和点$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧相交于$C$、$D$，连结$CD$。则直线$CD$即为所求。根据他的作图方法可知四边形$ADBC$一定是。

菱形

由作图可知，AC=BC=AD=BD，根据菱形的判定定理：四条边都相等的四边形是菱形，可得四边形ADBC是菱形。

【典例3】如图，在$□ ABCD$中，$E$、$F$分别是边$AD$、$BC$上的点，且$AE = CF$。

(1) 求证：$△ ABE≌△ CDF$；
(2) 请添加一个条件，使四边形$BFDE$为菱形，并证明。
(1) 证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB = CD$，$∠ A=∠ C$。
又∵$AE = CF$，
∴$△ ABE≌△ CDF(SAS)$。
(2) 解析：当$BF = FD$时，四边形$BFDE$是菱形。（答案不唯一）
证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD = BC$。
∵$AE = CF$，
∴$AD - AE = BC - CF$，
即$DE = BF$，
∴四边形$BFDE$是平行四边形。
∵$BF = FD$，
∴四边形$BFDE$是菱形。

(1) 证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB = CD$，$∠A = ∠C$。
又∵$AE = CF$，
∴$△ABE≌△CDF(SAS)$。
(2) 添加条件：$BE = BF$（答案不唯一）。
证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD = BC$。
∵$AE = CF$，
∴$AD - AE = BC - CF$，即$DE = BF$。
∴四边形$BFDE$是平行四边形。
∵$BE = BF$，
∴四边形$BFDE$是菱形。

【对点训练】
3. 如图，点$E$、$F$分别在$□ ABCD$的边$BC$、$AD$上，连结$AE$、$CF$，$AE// CF$，连结$AC$、$EF$相交于点$O$，请你从以下选项：①$AE = CE$；②$OA = OC$；③$AC⊥ EF$；④$OE = OF$中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形$AECF$是菱形。

(1) 你选择的补充条件是；(填序号)
(2) 根据你选择的补充条件，写出四边形$AECF$是菱形的证明过程。

(1) ③
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，即AF//EC。
又∵ AE//CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵ AC⊥EF，
∴ 平行四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

1. 如图，四边形$ABCD$中，$AC⊥ BD$于点$O$，则下列条件能判定该四边形是菱形的是()


A.$AB = BC$
B.$AC = BD$
C.$AB// CD$
D.$AC$、$BD$互相平分

D

已知$AC⊥BD$于点$O$，如果能具备先天条件（对角线互相平分），再具备$AC⊥BD$就可证明菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）。
选项A：若$AB=BC$，无法得到四边形$ABCD$是菱形，故错误。
选项B：若$AC = BD$，可得对角线相等且互相垂直，无法得到四边形$ABCD$是菱形，故错误。
选项C：若$AB// CD$，只能得到四边形$ABCD$是梯形，而不能得到四边形$ABCD$是菱形，故错误。
选项D：$AC$，$BD$互相平分时，四边形$ABCD$是平行四边形，又$AC⊥BD$，则四边形$ABCD$是菱形，故正确。