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一、选择题
1. 已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$，则$\dfrac{a+b}{b}$的值是()
A. $\dfrac{8}{5}$
B. $\dfrac{3}{5}$
C. $\dfrac{3}{2}$
D. $\dfrac{5}{8}$
1. 已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$，则$\dfrac{a+b}{b}$的值是()
A. $\dfrac{8}{5}$
B. $\dfrac{3}{5}$
C. $\dfrac{3}{2}$
D. $\dfrac{5}{8}$
答案
解：
因为$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$，
所以$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}=\dfrac{a}{b}+1$，
将$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$代入得：
$\dfrac{3}{5}+1=\dfrac{3}{5}+\dfrac{5}{5}=\dfrac{8}{5}$。
故选A。
因为$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$，
所以$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}=\dfrac{a}{b}+1$，
将$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$代入得：
$\dfrac{3}{5}+1=\dfrac{3}{5}+\dfrac{5}{5}=\dfrac{8}{5}$。
故选A。
2. 等腰三角形$ABC$和$DEF$相似，其相似比为$3:4$，则它们底边上对应高的比为()
A.$3:4$
B.$4:3$
C.$1:2$
D.$2:1$
A.$3:4$
B.$4:3$
C.$1:2$
D.$2:1$
答案
A
解析
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比。已知等腰三角形ABC与DEF的相似比为3:4，故它们底边上对应高的比为3:4。
3. 已知$△ ABC∽△ A_{1}B_{1}C_{1}$，且$AB:A_{1}B_{1}=1:2$，则$△ ABC$与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$的面积比为()
A.$1:1$
B.$1:2$
C.$1:4$
D.$1:8$
A.$1:1$
B.$1:2$
C.$1:4$
D.$1:8$
答案
C
解析
已知$△ ABC∽△ A_{1}B_{1}C_{1}$，相似比$AB:A_{1}B_{1}=1:2$。根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积比为$1^2:2^2=1:4$。
4. 如图1，边长为4的等边$△ ABC$中，$DE$为中位线，则四边形$BCED$的面积为()
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
答案
B
解析
1. 因为DE是等边$△ ABC$的中位线，所以$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，可得$△ ADE ∽ △ ABC$，相似比为$\frac{1}{2}$。
2. 根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，因此$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
3. 计算等边$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$。
4. 由此可得$S_{△ ADE}=\frac{1}{4}×4\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
5. 四边形$BCED$的面积为：$S_{四边形BCED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
2. 根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，因此$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
3. 计算等边$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$。
4. 由此可得$S_{△ ADE}=\frac{1}{4}×4\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
5. 四边形$BCED$的面积为：$S_{四边形BCED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
5. 如图2，在$□ ABCD$中，$E$是$BC$的中点，且$∠ AEC=∠ DCE$，下列结论不正确的是()
A.$BF=\dfrac{1}{2}DF$
B.$S_{△ FAD}=2S_{△ FBE}$
C.四边形$AECD$是等腰梯形
D.$∠ AEB=∠ ADC$
A.$BF=\dfrac{1}{2}DF$
B.$S_{△ FAD}=2S_{△ FBE}$
C.四边形$AECD$是等腰梯形
D.$∠ AEB=∠ ADC$
答案
B
解析
1. 分析选项C：
四边形ABCD是平行四边形，故$AD// BC$（即$AD// EC$）。
已知$∠ AEC=∠ DCE$，且$AD≠ EC$（E是BC中点，$BC=AD$，则$EC=\frac{1}{2}AD$），根据等腰梯形判定，四边形AECD是等腰梯形，C正确。
2. 分析选项D：
由平行四边形性质得$∠ ADC=∠ ABC$。
因为$∠ AEB+∠ AEC=180°$，$∠ ABC+∠ DCE=180°$（$AB// DC$，同旁内角互补），且$∠ AEC=∠ DCE$，所以$∠ AEB=∠ ADC$，D正确。
3. 分析选项A：
因为$AD// BC$，所以$△ FAD∽△ FEB$，相似比为$AD:BE=2:1$（E是BC中点，$AD=BC$）。
根据相似三角形对应边成比例，$DF:BF=2:1$，即$BF=\frac{1}{2}DF$，A正确。
4. 分析选项B：
相似三角形面积比为相似比的平方，即$S_{△ FAD}:S_{△ FBE}=4:1$，故$S_{△ FAD}=4S_{△ FBE}$，B错误。
四边形ABCD是平行四边形，故$AD// BC$（即$AD// EC$）。
已知$∠ AEC=∠ DCE$，且$AD≠ EC$（E是BC中点，$BC=AD$，则$EC=\frac{1}{2}AD$），根据等腰梯形判定，四边形AECD是等腰梯形，C正确。
2. 分析选项D：
由平行四边形性质得$∠ ADC=∠ ABC$。
因为$∠ AEB+∠ AEC=180°$，$∠ ABC+∠ DCE=180°$（$AB// DC$，同旁内角互补），且$∠ AEC=∠ DCE$，所以$∠ AEB=∠ ADC$，D正确。
3. 分析选项A：
因为$AD// BC$，所以$△ FAD∽△ FEB$，相似比为$AD:BE=2:1$（E是BC中点，$AD=BC$）。
根据相似三角形对应边成比例，$DF:BF=2:1$，即$BF=\frac{1}{2}DF$，A正确。
4. 分析选项B：
相似三角形面积比为相似比的平方，即$S_{△ FAD}:S_{△ FBE}=4:1$，故$S_{△ FAD}=4S_{△ FBE}$，B错误。
6. 如图3，在$□ ABCD$中，$AB=10$，$AD=15$，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，交$DC$的延长线于点$F$，$BG⊥ AE$于点$G$，若$BG=8$，则$△ CEF$的周长为()
A.16
B.17
C.24
D.25
A.16
B.17
C.24
D.25
答案
A
解析
1. 在平行四边形$ABCD$中，$AB// DC$，$AD=BC=15$，$∠ DAE=∠ AEB$。
2. 因为$AE$平分$∠ BAD$，所以$∠ BAE=∠ DAE$，故$∠ BAE=∠ AEB$，则$AB=BE=10$，因此$EC=BC-BE=15-10=5$。
3. 在$Rt△ ABG$中，由勾股定理得$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，根据等腰三角形三线合一，$AE=2AG=12$。
4. $△ ABE$的周长为$AB+BE+AE=10+10+12=32$。
5. 因为$AB// CF$，所以$△ CEF∽△ BEA$，相似比为$\frac{EC}{BE}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
6. 根据相似三角形周长比等于相似比，得$△ CEF$的周长为$32×\frac{1}{2}=16$。
2. 因为$AE$平分$∠ BAD$，所以$∠ BAE=∠ DAE$，故$∠ BAE=∠ AEB$，则$AB=BE=10$，因此$EC=BC-BE=15-10=5$。
3. 在$Rt△ ABG$中，由勾股定理得$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，根据等腰三角形三线合一，$AE=2AG=12$。
4. $△ ABE$的周长为$AB+BE+AE=10+10+12=32$。
5. 因为$AB// CF$，所以$△ CEF∽△ BEA$，相似比为$\frac{EC}{BE}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
6. 根据相似三角形周长比等于相似比，得$△ CEF$的周长为$32×\frac{1}{2}=16$。
二、填空题
1. 已知两地的实际距离为$250\ \mathrm{m}$，用$1:5000$的比例尺画图，图上两地的距离应画$\mathrm{cm}$。
1. 已知两地的实际距离为$250\ \mathrm{m}$，用$1:5000$的比例尺画图，图上两地的距离应画$\mathrm{cm}$。
答案
解：
250m = 25000cm
设图上两地的距离为$ x $ cm，根据比例尺的定义（相似比）得：
$\frac{x}{25000} = \frac{1}{5000}$
解得：$ x = \frac{25000×1}{5000} = 5 $
答：图上两地的距离应画$ 5 $ cm。
250m = 25000cm
设图上两地的距离为$ x $ cm，根据比例尺的定义（相似比）得：
$\frac{x}{25000} = \frac{1}{5000}$
解得：$ x = \frac{25000×1}{5000} = 5 $
答：图上两地的距离应画$ 5 $ cm。
2. 若$△ ABC∽△ DEF$，已知$△ ABC$与$△ DEF$的面积分别为$81\ \mathrm{cm}^{2}$与$36\ \mathrm{cm}^{2}$，且$AB=12\ \mathrm{cm}$，则$DE$=$\mathrm{cm}$。
答案
8
解析
根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方。
1. 计算△ABC与△DEF的面积比：$81:36=9:4$；
2. 由面积比等于相似比的平方，得相似比为$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$；
3. 因为$△ABC∽△DEF$，$AB$与$DE$是对应边，所以$\frac{AB}{DE}=\frac{3}{2}$；
4. 已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，代入得$\frac{12}{DE}=\frac{3}{2}$，解得$DE=8\ \mathrm{cm}$。
1. 计算△ABC与△DEF的面积比：$81:36=9:4$；
2. 由面积比等于相似比的平方，得相似比为$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$；
3. 因为$△ABC∽△DEF$，$AB$与$DE$是对应边，所以$\frac{AB}{DE}=\frac{3}{2}$；
4. 已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，代入得$\frac{12}{DE}=\frac{3}{2}$，解得$DE=8\ \mathrm{cm}$。
3. 若$△ ABC∽△ A'B'C'$，已知$BC=18\ \mathrm{cm}$，$CA=15\ \mathrm{cm}$，$AB=21\ \mathrm{cm}$，$△ A'B'C'$的最短边长为$5\ \mathrm{cm}$，则$△ A'B'C'$的周长为。
答案
18cm
解析
1. 计算△ABC的周长：18+15+21=54(cm)；2. 确定△ABC的最短边为15cm，△A'B'C'的最短边为5cm，相似比为3:1；3. 根据相似三角形的周长比等于相似比，设△A'B'C'的周长为x，可得54/x=3/1，解得x=18(cm)。
4. 在$△ ABC$和$△ A_{1}B_{1}C_{1}$中，$∠ A=∠ A_{1}$，$∠ B=∠ B_{1}$，$AB=35\ \mathrm{cm}$，$A_{1}B_{1}=14\ \mathrm{cm}$，它们的面积差是$588\ \mathrm{cm}^{2}$，则较大三角形的面积是。
答案
700
解析
1. 由∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，得△ABC∽△A₁B₁C₁（两角分别相等的两个三角形相似）；
2. 相似比为$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{35}{14}=\frac{5}{2}$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知两三角形面积比为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$；
3. 设较大三角形面积为$25x$，较小三角形面积为$4x$，由面积差为$588\ \mathrm{cm}^2$，列方程：$25x - 4x = 588$；
4. 解得$x=28$，则较大三角形面积为$25×28=700\ \mathrm{cm}^2$。
2. 相似比为$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{35}{14}=\frac{5}{2}$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知两三角形面积比为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$；
3. 设较大三角形面积为$25x$，较小三角形面积为$4x$，由面积差为$588\ \mathrm{cm}^2$，列方程：$25x - 4x = 588$；
4. 解得$x=28$，则较大三角形面积为$25×28=700\ \mathrm{cm}^2$。
