5. 如图4，在$△ ABC$中，$EG// BC$，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$G$，若$S_{△ AEG}=\dfrac{1}{3}S_{\mathrm{四边形}EBGG}$，则$\dfrac{AE}{AB}=$。

$\dfrac{1}{2}$

因为$EG// BC$，所以$△ AEG ∽ △ ABC$。设$S_{△ AEG}=x$，则$S_{\mathrm{四边形}EBGC}=3x$，故$S_{△ ABC}=x+3x=4x$，因此$\dfrac{S_{△ AEG}}{S_{△ ABC}}=\dfrac{1}{4}$。根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$(\dfrac{AE}{AB})^2=\dfrac{1}{4}$，又线段长度为正，所以$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{1}{2}$。

6. 如图5，将$△ ABC$沿$BC$边向右平移得到$△ DEF$，$DE$交$AC$于点$G$。若$BC:EC=3:1$，$S_{△ ADG}=16$，则$S_{△ CEG}=$。

4

1. 由平移性质得：$AD// BC$，$AD=BE$。
2. 因为$BC:EC=3:1$，所以$BE=BC-EC=3-1=2$，即$AD:EC=2:1$。
3. 由$AD// EC$，可得$△ ADG∽△ CEG$，相似比为$2:1$。
4. 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$S_{△ ADG}:S_{△ CEG}=4:1$。
5. 已知$S_{△ ADG}=16$，则$S_{△ CEG}=16÷4=4$。

三、解答题
1. 如图6，$△ ABC∽△ DEF$，求未知边$x$，$y$的长度。

解：
∵△ABC∽△DEF，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$，
即$\frac{x}{12}=\frac{y}{7}=\frac{4}{8}$。
∵$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{x}{12}=\frac{1}{2}$，解得$x=6$；
$\frac{y}{7}=\frac{1}{2}$，解得$y=\frac{7}{2}$。
答：$x$的长度为6，$y$的长度为$\frac{7}{2}$。

2. 如图7，$△ ABC∽△ A'B'C'$，它们的周长分别为60和72，且$AB=15$，$B'C'=24$，求$BC$，$A'B'$，$A'C'$的长。

解：
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$C_{△ ABC}=60$，$C_{△ A'B'C'}=72$，
∴相似比为$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ A'B'C'}}=\frac{60}{72}=\frac{5}{6}$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{5}{6}$。
∵$AB=15$，
∴$\frac{15}{A'B'}=\frac{5}{6}$，解得$A'B'=15×\frac{6}{5}=18$。
∵$B'C'=24$，
∴$\frac{BC}{24}=\frac{5}{6}$，解得$BC=24×\frac{5}{6}=20$。
∵$C_{△ A'B'C'}=72$，
∴$A'C'=72 - A'B' - B'C'=72 - 18 - 24=30$。
答：$BC$的长为20，$A'B'$的长为18，$A'C'$的长为30。