9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 4$,$BC= 8$,$D为BC$边上一点,$BD= 2$.求证:$\angle BDA= \angle BAC$.
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]
答案
证明:在△ABC 中,AB=4,BC=8,BD=2,
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$,$\frac{BD}{BA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BA}$.
又
∵∠ABD=∠CBA,
∴△ABD∽△CBA,
∴∠BDA=∠BAC.
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$,$\frac{BD}{BA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BA}$.
又
∵∠ABD=∠CBA,
∴△ABD∽△CBA,
∴∠BDA=∠BAC.
10. 如图,$AB是\odot O$的直径,$D,E$是半圆上任意两点,连结$AD,DE,AE与BD相交于点C$,要使$\triangle ADC与\triangle ABD$相似,可以添加一个条件.下列添加的条件中错误的是( )
A.$\angle ACD= \angle DAB$
B.$AD= DE$
C.$AD\cdot AB= CD\cdot BD$
D.$AD^{2}= BD\cdot CD$
A.$\angle ACD= \angle DAB$
B.$AD= DE$
C.$AD\cdot AB= CD\cdot BD$
D.$AD^{2}= BD\cdot CD$
答案
C
解析
要使$\triangle ADC$与$\triangle ABD$相似，已知$\angle ADC = \angle ABD$（公共角），需再添加一组对应角相等或夹公共角的两边成比例。
选项A：若$\angle ACD = \angle DAB$，且$\angle ADC = \angle ADB$（公共角），则$\triangle ADC \sim \triangle ADB$（AA），条件正确。
选项B：若$AD = DE$，则$\angle DAE = \angle DEA$。又$\angle DEA = \angle DBA$（同弧所对圆周角相等），故$\angle DAC = \angle DBA$，且$\angle ADC = \angle ADB$，则$\triangle ADC \sim \triangle ADB$（AA），条件正确。
选项C：若$AD \cdot AB = CD \cdot BD$，则$\frac{AD}{CD} = \frac{BD}{AB}$。但$\angle ADC$与$\angle ABD$并非$\frac{AD}{CD}$和$\frac{BD}{AB}$的夹角，无法判定相似，条件错误。
选项D：若$AD^2 = BD \cdot CD$，则$\frac{AD}{BD} = \frac{CD}{AD}$，且$\angle ADC = \angle ADB$（公共角），则$\triangle ADC \sim \triangle ADB$（SAS），条件正确。
答案：C
选项A：若$\angle ACD = \angle DAB$，且$\angle ADC = \angle ADB$（公共角），则$\triangle ADC \sim \triangle ADB$（AA），条件正确。
选项B：若$AD = DE$，则$\angle DAE = \angle DEA$。又$\angle DEA = \angle DBA$（同弧所对圆周角相等），故$\angle DAC = \angle DBA$，且$\angle ADC = \angle ADB$，则$\triangle ADC \sim \triangle ADB$（AA），条件正确。
选项C：若$AD \cdot AB = CD \cdot BD$，则$\frac{AD}{CD} = \frac{BD}{AB}$。但$\angle ADC$与$\angle ABD$并非$\frac{AD}{CD}$和$\frac{BD}{AB}$的夹角，无法判定相似，条件错误。
选项D：若$AD^2 = BD \cdot CD$，则$\frac{AD}{BD} = \frac{CD}{AD}$，且$\angle ADC = \angle ADB$（公共角），则$\triangle ADC \sim \triangle ADB$（SAS），条件正确。
答案：C
11. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$.爱思考的小聪学了本节课后,进行了如下推理:
$\because AD// BC$,$\therefore\triangle AOD\backsim\triangle COB$,$\therefore\frac{AO}{CO}= \frac{DO}{BO}$.又$\because\angle AOB= \angle DOC$,$\therefore\triangle AOB\backsim\triangle DOC$.
你认为小聪的推理正确吗？写出你的观点.
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$\because AD// BC$,$\therefore\triangle AOD\backsim\triangle COB$,$\therefore\frac{AO}{CO}= \frac{DO}{BO}$.又$\because\angle AOB= \angle DOC$,$\therefore\triangle AOB\backsim\triangle DOC$.
你认为小聪的推理正确吗？写出你的观点.
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答案
解:不正确.理由如下:
$\frac{AO}{CO}=\frac{DO}{BO}$与∠AOB=∠DOC 不能构成△AOB∽△DOC 的条件,因为边的对应关系错误.
$\frac{AO}{CO}=\frac{DO}{BO}$与∠AOB=∠DOC 不能构成△AOB∽△DOC 的条件,因为边的对应关系错误.
12. 如图,在正方形$ABCD$中,$E是AD$的中点,点$F在CD$上,且$CF= 3FD$.
(1)求证:$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$.
(2)$\triangle ABE与\triangle BEF$相似吗？为什么？
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(1)求证:$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$.
(2)$\triangle ABE与\triangle BEF$相似吗？为什么？
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答案
解:
(1)证明:
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴∠A=∠D=90°,AB=AD=CD.
设 AB=AD=CD=4a,
∵E 为边 AD 的中点,CF=3FD,
∴AE=DE=2a,DF=a,
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{4a}{2a}=2$,$\frac{AE}{DF}=\frac{2a}{a}=2$,
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$.
又
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABE∽△DEF.
(2)相似.理由如下:
∵△ABE∽△DEF,
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$,∠ABE=∠DEF.
∵∠AEB=∠DFE,∠ABE=∠DEF,
∠AEB+∠DEF=∠AEB+∠ABE=90°,
∴∠BEF=90°.
又
∵$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BE}=\frac{1}{2}$,∠A=∠BEF=90°,
∴△ABE∽△EBF.
(1)证明:
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴∠A=∠D=90°,AB=AD=CD.
设 AB=AD=CD=4a,
∵E 为边 AD 的中点,CF=3FD,
∴AE=DE=2a,DF=a,
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{4a}{2a}=2$,$\frac{AE}{DF}=\frac{2a}{a}=2$,
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$.
又
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABE∽△DEF.
(2)相似.理由如下:
∵△ABE∽△DEF,
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$,∠ABE=∠DEF.
∵∠AEB=∠DFE,∠ABE=∠DEF,
∠AEB+∠DEF=∠AEB+∠ABE=90°,
∴∠BEF=90°.
又
∵$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BE}=\frac{1}{2}$,∠A=∠BEF=90°,
∴△ABE∽△EBF.
