1. 在△ABC中,D是边BC的中点,连结AD.若点O在AD上,且AO∶OD= 2∶1,则点O是△ABC的 ( )
A.垂心
B.外心
C.重心
D.中心
A.垂心
B.外心
C.重心
D.中心
答案
C
解析
在△ABC中，D是BC中点，AD是中线。点O在AD上，且AO∶OD=2∶1。根据三角形重心的定义：三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。可知点O是△ABC的重心。
C
C
2. 如图,下面的网格是由边长相同的小正方形组成的,点A,B,C,D,E,F,G均在小正方形的顶点上,则△ABC的重心是 ( )
A.点G
B.点D
C.点E
D.点F
A.点G
B.点D
C.点E
D.点F
答案
B
解析
以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，设小正方形边长为1。
则点A(4,4)，B(0,0)，C(8,2)。
三角形重心坐标公式为$(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3})$。
计算得$x=\frac{4+0+8}{3}=4$，$y=\frac{4+0+2}{3}=2$。
点D坐标为(4,2)，故△ABC的重心是点D。
B
则点A(4,4)，B(0,0)，C(8,2)。
三角形重心坐标公式为$(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3})$。
计算得$x=\frac{4+0+8}{3}=4$，$y=\frac{4+0+2}{3}=2$。
点D坐标为(4,2)，故△ABC的重心是点D。
B
3. 如图,已知D是△ABC的重心,则下列结论错误的是 ( )
A.$AD= 2DE$
B.$AE= 2DE$
C.$BE= CE$
D.$S_{\triangle ABE}= S_{\triangle ACE}$
A.$AD= 2DE$
B.$AE= 2DE$
C.$BE= CE$
D.$S_{\triangle ABE}= S_{\triangle ACE}$
答案
B
解析
∵D是△ABC的重心，
∴AE是△ABC的中线，
∴BE=CE，C正确；
∵AE是中线，
∴S△ABE=S△ACE，D正确；
∵重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，
∴AD=2DE，A正确；
∵AE=AD+DE=2DE+DE=3DE，
∴B错误。
结论错误的是B。
B
4. 如图,AD经过△ABC的重心,E是AC的中点,过点E作$EG // BC$交AD于点G,若$BC= 12$,则线段GE的长为 ( )
A.6
B.4
C.5
D.3
A.6
B.4
C.5
D.3
答案
D
5. 如图,在△ABC中,E在AD上,且E是△ABC的重心,若$S_{\triangle ABC}= 36$,则$S_{\triangle DEC}$等于 ( )
A.3
B.4
C.6
D.9
A.3
B.4
C.6
D.9
答案
C
解析
证明：
∵E是△ABC的重心，
∴AD是△ABC的中线，且AE:ED=2:1，
∵AD是中线，
∴S△ADC=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×36=18，
∵AE:ED=2:1，
∴ED:AD=1:3，
∵△DEC与△DAC同高，
∴S△DEC=$\frac{1}{3}$S△ADC=$\frac{1}{3}$×18=6.
C
∵E是△ABC的重心，
∴AD是△ABC的中线，且AE:ED=2:1，
∵AD是中线，
∴S△ADC=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×36=18，
∵AE:ED=2:1，
∴ED:AD=1:3，
∵△DEC与△DAC同高，
∴S△DEC=$\frac{1}{3}$S△ADC=$\frac{1}{3}$×18=6.
C
6. 如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,AD与BE相交于点G.若$DG= 2$,则AG= ______.
]
]
答案
4
解析
证明：在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G。
∵三角形三条中线交于一点，该点为重心，
∴G是△ABC的重心。
∵重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，
∴AG = 2DG。
∵DG = 2，
∴AG = 2×2 = 4。
4
∵三角形三条中线交于一点，该点为重心，
∴G是△ABC的重心。
∵重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，
∴AG = 2DG。
∵DG = 2，
∴AG = 2×2 = 4。
4
7. 求证：相似三角形对应边上的中线长之比等于相似比.
要求：画出图形,并据此写出已知、求证和证明过程.
要求：画出图形,并据此写出已知、求证和证明过程.
答案
解:如图.已知:△A'B'C'∽△ABC,$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=k$,A'D'=D'B',AD=DB.求证:$\frac{D'C'}{DC}=k$.证明:
∵A'D'=D'B',AD=DB,
∴$A'D'=\frac{1}{2}A'B'$,$AD=\frac{1}{2}AB$,
∴$\frac{A'D'}{AD}=\frac{\frac{1}{2}A'B'}{\frac{1}{2}AB}=\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}$.在△A'D'C'和△ADC中,
∵$\frac{A'D'}{AD}=\frac{A'C'}{AC}$,且∠A'=∠A,
∴△A'D'C'∽△ADC,
∴$\frac{D'C'}{DC}=\frac{A'C'}{AC}=k$.
∵A'D'=D'B',AD=DB,
∴$A'D'=\frac{1}{2}A'B'$,$AD=\frac{1}{2}AB$,
∴$\frac{A'D'}{AD}=\frac{\frac{1}{2}A'B'}{\frac{1}{2}AB}=\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}$.在△A'D'C'和△ADC中,
∵$\frac{A'D'}{AD}=\frac{A'C'}{AC}$,且∠A'=∠A,
∴△A'D'C'∽△ADC,
∴$\frac{D'C'}{DC}=\frac{A'C'}{AC}=k$.
