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4. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$.若$CD = 4$，$△ ABO$的周长是$11$，则$AC$与$BD$的长度之和为.
答案
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，OA=OC，OB=OD。
∵△ABO的周长是11，
∴AB+OA+OB=11，
∴OA+OB=11 - AB=11 - 4=7。
∵AC=2OA，BD=2OB，
∴AC+BD=2OA + 2OB=2(OA + OB)=2×7=14。
14
∴AB=CD=4，OA=OC，OB=OD。
∵△ABO的周长是11，
∴AB+OA+OB=11，
∴OA+OB=11 - AB=11 - 4=7。
∵AC=2OA，BD=2OB，
∴AC+BD=2OA + 2OB=2(OA + OB)=2×7=14。
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5. 在$□ ABCD$中，连接$AC$，$BD$，$AC = 8$，$BD = 6$，则$AD$长的取值范围是.
答案
在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$。
因为平行四边形的对角线互相平分，所以$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×8 = 4$，$DO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}×6 = 3$。
在$△ AOD$中，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
所以$AO - DO ＜ AD ＜ AO + DO$，即$4 - 3 ＜ AD ＜ 4 + 3$，$1 ＜ AD ＜ 7$。
故$AD$长的取值范围是$1 ＜ AD ＜ 7$。
$1 ＜ AD ＜ 7$
因为平行四边形的对角线互相平分，所以$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×8 = 4$，$DO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}×6 = 3$。
在$△ AOD$中，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
所以$AO - DO ＜ AD ＜ AO + DO$，即$4 - 3 ＜ AD ＜ 4 + 3$，$1 ＜ AD ＜ 7$。
故$AD$长的取值范围是$1 ＜ AD ＜ 7$。
$1 ＜ AD ＜ 7$
6. 如图，$□ ABCD$的周长是$60\ cm$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$△ BOC$的周长比$△ AOB$的周长小$6\ cm$，则$AB$的长为$cm$，$BC$的长为$cm$.
答案
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AO=OC（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。
∵□ABCD的周长是60cm，
∴2(AB+BC)=60，即AB+BC=30①。
∵△BOC的周长比△AOB的周长小6cm，
∴(AO+BO+AB)-(BO+OC+BC)=6。
又∵AO=OC，
∴AB-BC=6②。
联立①②，解得AB=18，BC=12。
18；12
∴AB=CD，AD=BC，AO=OC（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。
∵□ABCD的周长是60cm，
∴2(AB+BC)=60，即AB+BC=30①。
∵△BOC的周长比△AOB的周长小6cm，
∴(AO+BO+AB)-(BO+OC+BC)=6。
又∵AO=OC，
∴AB-BC=6②。
联立①②，解得AB=18，BC=12。
18；12
7. 如图，在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$∠ B = 90^{\circ}$.若$AD = 8$，$BC = DC = 13$，则$AD$，$BC$之间的距离是.
答案
过点D作DE⊥BC于点E。
∵AD//BC，∠B=90°，DE⊥BC，
∴四边形ABED为矩形，
∴AD=BE=8，AB=DE。
∵BC=13，
∴EC=BC-BE=13-8=5。
在Rt△DEC中，DC=13，EC=5，
由勾股定理得：DE²+EC²=DC²，
∴DE²=13²-5²=169-25=144，
∴DE=12，即AD，BC之间的距离为12。
12
∵AD//BC，∠B=90°，DE⊥BC，
∴四边形ABED为矩形，
∴AD=BE=8，AB=DE。
∵BC=13，
∴EC=BC-BE=13-8=5。
在Rt△DEC中，DC=13，EC=5，
由勾股定理得：DE²+EC²=DC²，
∴DE²=13²-5²=169-25=144，
∴DE=12，即AD，BC之间的距离为12。
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8. 如图，$O$是$□ ABCD$对角线的交点，过点$O$的直线分别交$AD$，$BC$于点$E$，$F$.求证：$DE = BF$.
答案
证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AD// BC$，$OA = OC$，
所以$∠ OAE=∠ OCF$，
在$△ AOE$和$\\COF$中，
$\begin{cases}∠ OAE = ∠ OCF\\OA = OC \\∠ AOE=∠ COF\end{cases}$
所以$△ AOE≌△ COF(ASA)$，
所以$AE = CF$，
因为$AD = BC$，
所以$AD - AE=BC - CF$，
即$DE = BF$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AD// BC$，$OA = OC$，
所以$∠ OAE=∠ OCF$，
在$△ AOE$和$\\COF$中，
$\begin{cases}∠ OAE = ∠ OCF\\OA = OC \\∠ AOE=∠ COF\end{cases}$
所以$△ AOE≌△ COF(ASA)$，
所以$AE = CF$，
因为$AD = BC$，
所以$AD - AE=BC - CF$，
即$DE = BF$。
