1. 如图所示,圆锥的侧面展开图可能是下列图中的( )
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
D
2. 已知一个圆锥的底面半径为 2,母线长为 10,则这个圆锥的侧面积为( )
A.20π
B.40π
C.10π
D.40
A.20π
B.40π
C.10π
D.40
答案
A
解析
圆锥侧面积公式为$S = \pi r l$（其中$r$为底面半径，$l$为母线长）。
已知$r = 2$，$l = 10$，则$S=\pi×2×10 = 20\pi$。
A
已知$r = 2$，$l = 10$，则$S=\pi×2×10 = 20\pi$。
A
3. 圆锥轴截面的等腰三角形的顶角为 60°,这个圆锥的母线长为 8 cm,则这个圆锥的高为( )
A.4√3 cm
B.8√3 cm
C.4 cm
D.8 cm
A.4√3 cm
B.8√3 cm
C.4 cm
D.8 cm
答案
A
解析
解：圆锥轴截面为等腰三角形，顶角为$60°$，母线长为$8\,cm$。
该等腰三角形两腰为母线，底角为$\frac{180° - 60°}{2} = 60°$，故轴截面为等边三角形，所以圆锥底面直径等于母线长$8\,cm$，底面半径$r = 4\,cm$。
圆锥的高$h$、底面半径$r$和母线$l$构成直角三角形，由勾股定理得：$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\,cm$。
A
该等腰三角形两腰为母线，底角为$\frac{180° - 60°}{2} = 60°$，故轴截面为等边三角形，所以圆锥底面直径等于母线长$8\,cm$，底面半径$r = 4\,cm$。
圆锥的高$h$、底面半径$r$和母线$l$构成直角三角形，由勾股定理得：$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\,cm$。
A
4. 如图,已知扇形 AOB 的半径为 6 cm,圆心角的度数为 120°,若将此扇形围成一个圆锥的侧面,则围成的圆锥的底面积为( )
$ A. 4π cm^2 B. 6π cm^2 C. 9π cm^2 D. 12π cm^2$
$ A. 4π cm^2 B. 6π cm^2 C. 9π cm^2 D. 12π cm^2$
答案
A
解析
解：扇形弧长 $ l = \frac{120°}{360°} × 2\pi × 6 = 4\pi \, cm$。
圆锥底面周长等于扇形弧长，即 $ 2\pi r = 4\pi $，解得 $ r = 2 \, cm$。
圆锥底面积 $ S = \pi r^2 = \pi × 2^2 = 4\pi \, cm^2$。
答案：A
圆锥底面周长等于扇形弧长，即 $ 2\pi r = 4\pi $，解得 $ r = 2 \, cm$。
圆锥底面积 $ S = \pi r^2 = \pi × 2^2 = 4\pi \, cm^2$。
答案：A
5. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,AB= 3,BC= 5。若把 Rt△ABC 绕直线 AC 旋转一周,则所得圆锥的侧面积为( )
A.6π
B.9π
C.12π
D.15π
A.6π
B.9π
C.12π
D.15π
答案
D
解析
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5。
由勾股定理，得AC=$\sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，所得圆锥的底面半径r=AB=3，母线长l=BC=5。
圆锥侧面积公式为$S=\pi rl$，则$S=\pi×3×5=15\pi$。
D
由勾股定理，得AC=$\sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，所得圆锥的底面半径r=AB=3，母线长l=BC=5。
圆锥侧面积公式为$S=\pi rl$，则$S=\pi×3×5=15\pi$。
D
6. 已知圆锥的底面直径为 2 cm,侧面积为$ 10π cm^2,$则该圆锥的母线长为______cm。
答案
10
解析
圆锥底面直径为$2\,cm$，则底面半径$r = 1\,cm$，底面周长$C=2\pi r=2\pi×1 = 2\pi\,cm$。
设母线长为$l\,cm$，侧面积公式为$S=\frac{1}{2}Cl$，已知侧面积$S = 10\pi\,cm^2$，则：
$\frac{1}{2}×2\pi× l=10\pi$
化简得$\pi l=10\pi$，解得$l = 10$。
10
设母线长为$l\,cm$，侧面积公式为$S=\frac{1}{2}Cl$，已知侧面积$S = 10\pi\,cm^2$，则：
$\frac{1}{2}×2\pi× l=10\pi$
化简得$\pi l=10\pi$，解得$l = 10$。
10
7. 已知圆锥的母线长为 5 cm,侧面积为$ 15π cm^2,$则这个圆锥的底面半径为______cm。
答案
3
解析
设圆锥的底面半径为$r$ cm。
圆锥侧面积公式为$S = \pi r l$（其中$l$为母线长）。
已知$l = 5$，$S = 15\pi$，则$\pi r × 5 = 15\pi$。
解得$r = 3$。
3
圆锥侧面积公式为$S = \pi r l$（其中$l$为母线长）。
已知$l = 5$，$S = 15\pi$，则$\pi r × 5 = 15\pi$。
解得$r = 3$。
3
8. 一个圆锥的主视图如下,根据图中标出的数据(单位：cm),计算得到这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为______。
答案
120°
解析
解：由圆锥主视图可知，圆锥底面直径为$2\,cm$，则底面半径$r = 1\,cm$，圆锥的高$h = 2\sqrt{2}\,cm$。
圆锥的母线长$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{1 + 8}=3\,cm$。
圆锥底面周长$C = 2\pi r=2\pi×1 = 2\pi\,cm$。
设侧面展开图圆心角的度数为$n^{\circ}$，则$\frac{n\pi l}{180}=C$，即$\frac{n\pi×3}{180}=2\pi$。
解得$n = 120$。
120°
圆锥的母线长$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{1 + 8}=3\,cm$。
圆锥底面周长$C = 2\pi r=2\pi×1 = 2\pi\,cm$。
设侧面展开图圆心角的度数为$n^{\circ}$，则$\frac{n\pi l}{180}=C$，即$\frac{n\pi×3}{180}=2\pi$。
解得$n = 120$。
120°
9. 一个直角三角形,两条直角边分别为 3 cm 和 4 cm,斜边为 5 cm。
(1)如果以 3 cm 的边所在直线为轴旋转一周(如图 1),得到的圆锥的全面积为多少(结果保留 π)？
(2)如果以斜边所在直线为轴旋转一周(如图 2),得到的立体图形的全面积为多少(结果保留 π)？
(1)如果以 3 cm 的边所在直线为轴旋转一周(如图 1),得到的圆锥的全面积为多少(结果保留 π)？
(2)如果以斜边所在直线为轴旋转一周(如图 2),得到的立体图形的全面积为多少(结果保留 π)？
答案
解:
(1)S全=π×4×5+π×4²=36π(cm²).
(2)S全=π×$\frac{12}{5}$×4+π×$\frac{12}{5}$×3=$\frac{84}{5}$π(cm²).
(1)S全=π×4×5+π×4²=36π(cm²).
(2)S全=π×$\frac{12}{5}$×4+π×$\frac{12}{5}$×3=$\frac{84}{5}$π(cm²).
